Besser als Lotto?

Thema: Lotterien und Erwartungswerte

Meine Pfadigruppe macht auch dieses Jahr wieder beim österreichweiten Losverkauf mit. Dabei erwähnen wir gerne, dass die Chancen auf den Hauptgewinn größer sind als im Lotto. Diese Behauptung erscheint plausibel, wenn man bedenkt, dass es insgesamt 200 000 Lose und 2 790 Warentreffer gibt. Somit liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei immerhin 1,395 Prozent und man könnte auch sagen, dass mindestens jedes hundertste Los gewinnt. Für den Hauptgewinn wiederum beträgt die Chance 0,0005 Prozent. Doch wie gut schneidet die Pfadilotterie im Vergleich zu den ganzjährig spielbaren Alternativen  ab?

Ein Los der diesjährigen Lotterie (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Um das zu beantworten, versuchen wir herauszufinden, wie sehr sich die Investition lohnt. Ein Los kostet 2 Euro und der Wert aller Preise beläuft sich heuer auf insgesamt 119 980 Euro. Ein Treffer ist also durchschnittlich ungefähr 43 Euro wert, aber wir müssen natürlich auch berücksichtigen dass es viele Nieten gibt. Abgesehen davon wäre es viel interessanter zu wissen, mit welchem durchschnittlichen Gewinn wir rechnen dürfen. Da auf jedem Los die Werte der einzelnen Preise* aufgeschlüsselt sind, können wir den Erwartungswert berechnen. Wir müssen lediglich darauf achten bei jedem Gegenwert vorher noch den Kaufpreis eines Loses abzuziehen:

𝔼(X) = (6 398 € + 1 203 € + 1 093 € + 638 € ⋅ 6 + 158 € ⋅ 180 + 28 € ⋅ 2600 – 2 € ⋅ 197 210) : 200 000 =
(113 762 € –  394 420 €) : 200 000 = – 280 658 € : 200 000 ≈ – 1,40 €

Nach Abzug des Lospreises stehen wir tatsächlich mit einem durchschnittlichen Verlust von 1,40 Euro da. Zum Vergleich: Beim österreichischen 6 aus 45 ist der zu erwartende Verlust ungefähr 76 Cent und beim deutschen 6 aus 49 ungefähr 70 Cent. In dieser Hinsicht schneidet die Pfadilotterie also schlechter ab. Allerdings sollten wir an dieser Stelle noch die Gewinnausschüttung näher betrachten, denn normalerweise fließt ungefähr die Hälfte der Einnahmen wieder an jene Teilnehmenden zurück, die einen Treffer landen und der Rest wird einbehalten.

Bei der Pfadilotterie gibt es jedoch noch einen weiteren Unterschied zu herkömmlichen Lotterien. Neben den Preisen, die es zu gewinnen gibt, kommt nämlich auch noch ungefähr die Hälfte vom Erlös des Losverkaufs der jeweiligen Gruppe zugute. In diesem Fall hat man also nicht nur die Chance einen Preis zu ergattern, sondern kann auch gleichzeitig eine gemeinnützige Organisation finanziell unterstützen. Außerdem ermöglicht der Losverkauf Kindern und Jugendlichen den Umgang mit Geld zu lernen und das ist, meines Erachtens, auf jeden Fall eine gute Sache.

Johannes C. Huber (rät davon ab den Erwartungswert als Verkaufsargument zu nutzen)

* Trefferverzeichnis:
Haupttreffer
1. Preis: Reisegutschein (6 400 €)
2. Preis: KlimaTicket Ö Classic Familie (1 205 €)
3. Preis: KlimaTicket Ö Classic (1 095 €)
4.-10. Preis: Reisegutscheine (je 640 €)
Serientreffer
180 Sneakers (je 160 €)
2 600 Hervis-Gutschein (je 30 €)

Quellen:

• Koth M. (1997): Mathematikaufgaben zum Lotto 6 aus 45.
• Steiner S.: Hinter den Kulissen der Glücksspiele. Lotto 6 aus 45 und andere Lotteriespiele.
  

Manchmal genügt kein Wink mit dem Zaunpfahl

Thema: Zeitaufgaben und Intervalle

Ich lasse meine Schulklassen gerne selbst Textbeispiele schreiben, weil ich der Meinung bin, dass man viel lernt, wenn man eine Aufgabe im wahrsten Sinne des Wortes von Anfang bis Ende durcharbeitet. Die Kinder müssen dabei nämlich nicht nur einen Aufgabentext formulieren, sondern auch eine Musterlösung, d. h. Rechenweg, Ergebnis und Antwortsatz ausarbeiten. Ein Schüler hatte folgende Idee*:

"Ein Youtuber nimmt ein Video auf, das insgesamt drei Stunden und sechzehn Minuten dauert.
Wie viele Pausen macht er, wenn er die Aufnahme alle vierzehn Minuten unterbricht?"

Diese Aufgabe gefällt mir persönlich sehr gut, weil sie nicht nur Multiplikation und Division vebindet, sondern auch eine kleine Falle in Form eines sogenannten off by one-error beinhaltet, d. h. wir erhalten ein Ergebnis, das um 1 größer oder kleiner ist, als die tatsächliche Lösung. Um die Frage zu beantworten, wandeln wir zunächst die Zeitangabe in Minuten um, indem wie die Anzahl der Stunden mit der Anzahl der Minuten pro Stunde multiplizieren:

3 Stunden + 16 Minuten = 3 ∙ 60 Minuten + 16 Minuten = 180 Minuten + 16 Minuten = 196 Minuten

Als Nächstes teilen wir die Länge des Videos durch jene des Intervalls von einer Pause bis zur nächsten:

196 Minuten : 14 Minuten = 14

Wir würden also zu dem Schluss kommen, dass er insgesamt vierzehn Pausen macht, aber insofern wir das Ende des Videos nicht ebenfalls als Pause zählen, ist das leider falsch, wie wir hier nachprüfen können:

Es liegen nur dreizehn echte Pausen dazwischen. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Ich habe die Aufgabe in einer Unterrichtsstunde besprochen und dabei versucht, den Kindern diesen Denkfehler in Form eines typischen Schultages mit insgesamt sechs Unterrichtsstunden zu veranschaulichen. Die Länge der Pausen dazwischen ist zwar nicht einheitlich geregelt, aber eine Unterrichtseinheit entspricht meist 50 Minuten.

Wir können also einfach die gesamte Unterrichtszeit aufsummieren und das Ergebnis durch 50 Minuten teilen, um auf die vermeintliche Anzahl der Pausen zu kommen. Den Kindern wird dann jedoch relativ schnell klar, dass sie an einem solchen Schultag eben nicht sechs, sondern nur fünf Pausen haben. Der Vorteil dieser Herangehensweise ist, dass sie das auch auf ihrem Stundenplan nachzählen können, um sich selbst davon zu überzeugen. Doch was ist hier schiefgelaufen?

Das Problem hängt damit zusammen, dass wir nur ausgerechnet haben, wie viele Unterrichtseinheiten in die gesamte Unterrichtszeit hineinpassen (was wir eigentlich schon von Beginn an wussten) und nicht, wie viele Pausen dazwischen liegen. Es gibt nämlich einen Unterschied zwischen Intervalllängen und -grenzen bzw. zwischen Elementen in einer Reihe und den Abständen dazwischen.

Ein typisches Beispiel, das ebenfalls einen solchen off by one-error erzeugt, ist die Frage, wie viele Zaunpfähle wir für einen Zaun mit vorgegebener Länge benötigen, wobei wir wissen, wie lange ein Stück Zaun zwischen zwei Pfählen ist. Auch hier würden wir die Zaunlänge durch die Anzahl der Stücke teilen, aber in diesem Fall ist das Ergebnis um eins zu wenig, weil wir einen zusätzlichen Zaunpfahl am Ende benötigen (es sei denn wir haben einen in sich geschlossenen Zaun). Deshalb wird diese Art von Fehler auch als Zaunpfahlfehler bezeichnet.

Johannes C. Huber (wäre froh, wenn er nach jeder Unterrichtsstunde eine Pause machen könnte)

* Ich habe den Angabentext ein wenig abgeändert.

Die Weltmeere in einer Hand

Thema: Weltmeere und Kugeloberfläche

Dieser Beitrag ist am 05.12.2023 auch im Standard erschienen.

Eine Frage, die ich meinen Schulklassen gerne stelle, ist, wie groß ein Gefäß sein müsste, mit dem das ganze Wasser auf einem Globus gefasst werden kann. Das Gemeine an der Sache ist, dass wir im Allgemeinen zwar ganz gut darin sind, Längen zu schätzen und auch mit Flächen einigermaßen zurechtkommen, doch bei einem Volumina tun wir uns im Allgemeinen eher schwer. Neben der Umwandlung verschiedener Raummaße kommt hier unter Umständen auch noch hinzu, dass wir von einer falschen Vorstellung des Sachverhalts ausgehen.

Um das Ganze zu veranschaulichen, stelle ich zunächst ein paar Gläser in unterschiedlicher Größe neben einen einfachen Schulglobus und lasse dann das Publikum kurz überlegen:

Welches Gefäß wäre groß genug für das Wasser auf einem Globus? (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Viele Leute unterliegen hier möglicherweise einem Trugschluss, weil es so wirkt, als ob das Wasser einen verhätnismäßig großen Anteil an unserem Heimatplaneten hat, und tendieren deshalb eher zu den größeren Gefäßen. Es stimmt zwar, dass ein Großteil der Erde mit Wasser bedeckt ist, aber das bedeutet noch nicht automatisch, dass sie auch großteils aus Wasser besteht. Wir müssen nämlich beachten, dass selbst die tiefsten Stellen der Ozeane im Vergleich zum Erddurchmesser verschwindend klein sind. In anderen Worten: Die Weltmeere wären auf einem Globus nicht viel mehr als ein dünner Wasserfilm.

Wir werden nun mit ein wenig Schulmathematik aus der Unterstufe zeigen, dass das Gefäß bei weitem nicht so groß sein muss wie zum Beispiel die Blumenvase ganz rechts (je nach Ausstattung verwende ich stattdessen auch Karaffen). Dafür brauchen wir folgende Maße:

• Durchmesser/Radius der Erde: ~ 12 742 km bzw. 6 371 km

• Durchmesser/Radius des Globus: 30 cm bzw. 15 cm

• Formel für die Kugeloberfläche (da die Erde annähernd kugelförmig ist): O = d²π = 4r²π

• durchschnittliche Meerestiefe: ~ 3,8 km

Die Oberfläche der Erde beträgt in Wirklichkeit ungefähr 510 Millionen Quadratkilometer, was wir mit der Formel selbst nachrechnen können. Für den Globus kommen wir mit derselben Vorgehensweise auf ungefähr 2 827 Quadratzentimeter. Da allerdings nicht die gesamt Erdoberfläche mit Wasser bedeckt ist, sondern nur ungefähr 71 Prozent, multiplizieren wir das Ergebnis noch mit dem entsprechenden Faktor, um die gesuchte Menge zu erhalten:

2 827 cm² ⋅ 0,71 ≈ 2007 cm²

Im nächsten Schritt stellen wir eine Verhältnisgleichung auf, um die durchschnittliche Meerestiefe ebenfalls auf die Größenordnung des Globus hinunterzuskalieren:

30 cm : 12 472 km = x cm : 3,8 km
12 742x = 114
x = 0,0091404746632 cm

Zum Schluss tun wir so, als ob das Meer überall gleich tief ist und multiplizieren die mit Wasser bedeckte Oberfläche mit dem ermittelten Wert für die Meerestiefe, um das ungefähre Wasservolumen auf dem Globus zu ermitteln:

 2 007 ⋅ 0,0091404746632 ≈ 18 cm³

Die Ozeane auf dem Globus würden also nicht einmal 20 Milliliter (= 2 Zentiliter) entsprechen und passen somit in ein einfaches Stamperl hinein. Das Tolle an Veranschaulichungen wie dieser ist, dass man damit in allen Klassen der Unterstufe bei unterschiedlichen Stoffgebieten des Mathematikunterrichts anknüpfen kann, wie zum Beispiel "Maßeinheiten" in der fünften, "Prozentrechnung" in der sechsten, "Verhältnisse und Proportionen" in der siebten oder "Kugelgeometrie" in der achten Schulstufe.

Johannes C. Huber (zieht sich auch bei derartig harmlosen Experimenten gerne einen Labormantel an)

PS: Auf ähnliche Art und Weise kann auch der Anteil des Süßwassers auf der Erde veranschaulicht werden. Ein zehn Liter-Kübel entspricht dabei dem Salzwasser, eine Eiswürfelform dem gefrorenen Süßwasser, ein kleines Trinkglas dem Grundwasser und ein Löffel den Steh- und Fließgewässern.

Nach dem Alter fragt man nicht Teil 2

Thema: Altersaufgaben und Intervalle

Ich lasse meine Schulklassen gerne selbst Textbeispiele schreiben, weil ich der Meinung bin, dass man am meisten lernt, wenn man eine Aufgabe im wahrsten Sinne des Wortes von Anfang bis Ende durcharbeitet. Die Kinder müssen dabei nämlich nicht nur einen Aufgabentext formulieren, sondern auch eine Musterlösung, d. h. Rechenweg, Ergebnis und Antwortsatz ausarbeiten. Eine Schülerin hatte heuer die Idee, eine Aufgabe mit einem Altersrätsel zu stellen:

"Die Mutter ist jetzt 36 Jahre alt. Ihre Tochter ist jetzt 10 Jahre alt.
Wie alt war die Mutter bei der Geburt der Tochter?" 

Ich verstehe, was sie sich dabei gedacht hat. Immerhin könnten wir, ohne groß darüber nachzudenken, einfach 36 minus 10 rechnen, zu dem Schluss kommen, dass die Mutter damals 26 Jahre alt gewesen sein müsste, und es dann dabei belassen. Ganz so einfach ist das aber leider nicht, weil es einerseits davon abhängt, wann genau die beiden Damen Geburtstag haben und andererseits, zu welchem Zeitpunkt die Frage gestellt wird (zwischen den beiden Geburtstagen oder nicht).

Um das besser zu verstehen, gebe ich hier ein paar Beispiele, um alle möglichen Fälle abzudecken:

• Falls die beiden am selben Tag Geburtstag haben, spielt es keine Rolle, ob dieser bereits stattgefunden hat oder nicht, da sie in beiden Fällen genau zehn Jahre auseinanderliegen. Die Mutter war also bei der Geburt 26 Jahre alt.
  
• Falls die Tochter als Erste Geburtstag hat, müssen wir folgende Fälle unterscheiden:
• keiner oder beide Geburtstage haben bereits stattgefunden: In diesen beiden Fällen war die Mutter bei der Geburt erst 25 Jahre alt.
  
• einer der beiden Geburtstage hat bereits stattgefunden: Falls die Tochter bereits Geburtstag gefeiert hat, war die Mutter bei der Geburt bereits 26 Jahre alt.
• Falls die Mutter als Erste Geburtstag hat, müssen wir folgende Fälle unterscheiden:
• keiner oder beide Geburtstage haben bereits stattgefunden: In diesen beiden Fällen war die Mutter bei der Geburt bereits 26 Jahre alt.
  
• einer der beiden Geburtstage hat bereits stattgefunden: Falls die Mutter bereits Geburtstag gefeiert hat, war sie bei der Geburt erst 25 Jahre alt.

Das Problem bei der Sache ist, dass wir nicht ohne Weiteres mit ganzen Jahren rechnen dürfen, weil das Alter der Mutter bei der Geburt der Tochter von einer genaueren Zeitangabe abhängt. Je nachdem, welchen Fall wir haben, kann ihr Alter irgendwo im Intervall zwischen exakt 25 und exakt 27 Jahren liegen, wobei die beiden Intervallgrenzen selbst keine Möglichkeiten darstellen.

Falls wir die tatsächliche Uhrzeit vernachlässigen und uns Tage genau genug sind, benötigen wir entweder die genauen Geburtsdaten der beiden Damen oder die beiden aktuellen Altersangaben in Tagen statt Jahren, um zu berechnen wie viel Rest bleibt. Eine andere Möglichkeit wäre stattdessen die Frage auf "Wie alt kann die Mutter bei der Geburt der Tochter gewesen sein?" zu ändern.

Johannes C. Huber (wird, streng genommen, nie wieder halb so alt sein wie seine Mutter)

Wie man richtig anbandelt

Thema: Armbänder und Formeln

Dieser Beitrag ist am 10.10.2023 auch im Standard erschienen.

Sobald wir bei meiner Pfadigruppe unsere ältesten Kinder von den Wichteln und Wölflingen in die nächste Altersstufe der Guides und Späher überstellen, bekommen sie von uns zum Abschied normalerweise ein kleines Notizbuch und etwas, das sie sich auf ihr Halstuch hängen können. Da ich vor Kurzem beim Einkaufen ein paar günstige Rollen Paracord entdeckt habe, kam mir die Idee ihnen daraus kleine Anhänger zu flechten. Praktischerweise hatte ich schon ein bisschen Erfahrung damit, weil ich vor ein paar Jahren bereits ein Armband für eine Freundin geflochten habe.

Armband mit Conquistador-Muster (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Allerdings habe ich zu Beginn lange darüber gerätselt, wie viel Material ich dafür wohl benötigen würde. Da ich zum damaligen Zeitpunkt noch nie zuvor etwas Vergleichbares hergestellt hatte, habe ich am Ende leider viel mehr abgeschnitten als nötig. Obwohl ich mit dem Resultat zufrieden war, wollte ich es diesmal ressourcenschoneneder angehen und mich vorher genau informieren. Nach einer kurzen Internetrecherche bin ich auf folgende Formeln gestoßen:

Länge des Armbands = Umfang des Handgelenks + (3,14 ∙ Dicke des Armbands)

Länge der Schnur = 7 ∙ Länge des Armbands

Dem aufmerksamen Lesepublikum dürfte dabei gleich die Zahl 3,14 ins Auge stechen. Diese ist selbstverständlich ein Näherungswert von Pi, da wir hier mit Kreisen arbeiten. Wenn wir uns das Ganze im Querschnitt vorstellen, sehen wir einen Kreisring, dessen Breite der Dicke des Armbands (orange) entspricht. Sein mittlerer Umfang (grau gestrichelt) ist die Länge des Armbands und sein innerer Umfang (grün) sollte mindestens gleich groß sein, wie jener des Handgelenks, damit das Armband am Ende passt.

 Querschnitt des Armbands (Bildquelle: eigene Darstellung mit GeoGebra)

Falls wir einfach nur die Länge des Armbands mit dem Umfang des Handgelenks gleichsetzen, würde das allerdings nicht funktionieren, weil es durch die zusätzliche Dicke, die beim Flechten entsteht, wieder ein bisschen enger wird. Um diesen Umstand auszugleichen, erhöhen wir den Radius des Handgelenks (rot) um die Hälfte der Armbanddicke auf einen neuen Radius (blau). Wenn wir diesen in die Formel für den Kreisumfang einsetzen, kommen wir auf die obige Formel für die Länge des Armbands.

Doch genug von der Theorie und weiter zur praktischen Anwendung. Mein eigenes Handgelenk hat beispielsweise einen Umfang von ungefähr achtzehn Zentimetern, aber da ich möchte, dass das Band am Ende eher locker sitzt, gebe ich noch zwei Zentimeter dazu und komme so auf folgende Werte:

Länge des Armbands = 20 cm + (3,14 ∙ 1 cm) = 23,14 cm ≈ 23 cm

Länge der Schnur = 7 ∙ 23 cm = 161 cm ≈ 160 cm

Falls das Armband mit einem Verschluss verbunden wird, fällt die Länge natürlich entsprechend kürzer aus. In meinem Fall ist dieser in geschlossenem Zustand ungefähr drei Zentimeter lang, also könnte ich diese auch abziehen. Da ich jedoch davon ausgegangen bin, dass ein wenig Verschnitt anfallen wird, habe ich beim ersten Versuch einfach die berechnete Menge Material genommen. Ich habe sogar kurz überlegt, ob ich auf Nummer sicher gehen und einfach zwei Meter abschneiden soll, aber meine Sorgen waren unbegründet. Für einfache Muster wie dieses reicht die Menge nämlich problemlos aus:

 Armband mit Kobra-Muster (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Ich habe mittlerweile ein paar Armbänder in unterschiedlichen Größen gemacht und finde, dass die Formel tatsächlich verhältnismäßig gut funktioniert. Sie berücksichtigt nämlich nicht nur, dass die Materialmenge vom Muster und somit der Armbanddicke abhängt, sondern hat auch noch den Vorteil, dass keine Umwandlung von Inch in Zentimeter nötig ist, weil sie nicht mit einem bestimmten Längenmaß arbeitet.

Da noch etliche Steckschnallen von aufgetrennten Schlüsselbändern bei mir zu Hause herum gelegen sind, habe ich diese für die Anhänger verwendet, damit die Kinder sie einfach befestigen können ohne dafür extra das Halstuch öffnen zu müssen. Schließlich habe ich noch den ungefähren Umfang eines eingedrehten Halstuchs gemessen und bin so auf folgende Werte gekommen:

Länge des Anhängers = 7 cm + (3,14 ∙ 1 cm) = 10,14 cm ≈ 10 cm

Länge der Schnur = 7 ∙ 10 cm = 70 cm

Ich habe die Länge der Steckschnallen in diesem Fall nicht abgezogen, da ich beim Flechten keine Probleme wegen zu kurzen Schnurenden haben wollte. Mit jeweils fünfzehn Metern Paracord für beide Farben gehen sich aber trotzdem über zwanzig Anhänger aus. Die abgebildete Variante mit dem Kobraknoten ist zwar vergleichsweise einfach zu flechten, aber die schiere Stückzahl hat die Herstellung ein wenig verzögert. Die Kinder haben sich aber zum Glück trotzdem darüber gefreut:

fertige Anhänger mit Kobra-Muster (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Johannes C. Huber (hat nach der Herstellung von fünfzehn Stück Schmerzen in den Fingern)

Quellen:

• Formeln für die Materialmenge auf Paracord Fever Malaysia
• Formeln für die Materialmenge auf Free Macrame Patterns