Thema: Hogwarts und Zahlensysteme
Sobald wir uns im Unterricht mit Potenzen befassen, bietet sich eine Stunde zu Zauberzahlen aus der Welt von Harry Potter an. Das Thema Zahlensysteme wäre eigentlich sehr ergiebig, aber abgesehen von den römischen Zahlen in der ersten Klasse, beschränken wir uns dabei in der Schule häufig auf das Binärsystem, um die Umwandlung von einem System in ein anderes zu erklären.
Der Einfachheit halber werde ich das hier zu Beginn auch so machen. Jede Stelle in einem Zahlensystem entspricht einer Potenz der jeweiligen Basis. In unserem Dezimalsystem sind das folglich Zehnerpotenzen, die wir entsprechend dem Wert der jeweiligen Potenz bezeichnen (Einerstelle, Zehnerstelle, Hunderterstelle, Tausenderstelle, ...) und in der Stellenwerttabelle auch in Dreierpaketen (Einer, Tausender, Millionen, Milliarden, Billionen, ...) bündeln können:
die ersten acht Stellenwerte des Dezimalsystems
Ein Vorteil des Dezimalsystems ist, dass die Anzahl der Nuller bei jeder Stellenzahl gleich der Zahl im Exponenten, d. h. der Hochzahl der Potenz entspricht. Das Binärsystem funktioniert genauso wie das Dezimalsystem. Der Unterschied ist bloß, dass jede Stelle in diesem Fall einer Potenz der Zahl Zwei entspricht. Die Einerstelle ist die Potenz mit dem Exponenten 0, die Zweierstelle jene mit 1, die Viererstelle jene mit 2, die Achterstelle jene mit 3 und so weiter:
die ersten elf Stellenwerte des Binärsystems
Um eine Zahl aus unserem Dezimalsystem in ein anderes umzuwandeln, teilen wir sie als Erstes durch die größtmögliche Stelle. Den Rest teilen wir dann durch die nächstkleinere Stelle und so weiter. Die jeweiligen Zwischenergebnisse sind die Ziffern der Zahl im anderen System. Sobald kein Rest mehr bleibt, können wir an die verbleibenden Stellen 0 schreiben. Das ist spätestens bei der letzten Stelle der Fall. Um sich das Ganze besser vorstellen zu können, schauen wir uns das am Beispiel der Dezimalzahl 42 an, die wir in das Binärsystem übersetzen:
42 : 32 = 1 R 10
10 : 16 = 0 R 10
10 : 8 = 1 R 2
2 : 4 = 0 R 2
2 : 2 = 1 R 0
Die Zahl 42 im Dezimalsystem entspricht also der Zahl 101010 im Binärsystem. Wollen wir stattdessen das Gegenteil machen, müssen wir lediglich jede Ziffer mit der entsprechenden Stellenwertpotenz multiplizieren und alles zusammenrechnen. Hier am Beispiel der Binärzahl 1010:
1010 ≙ 1 ∙ 2³ + 0 ∙ 2² + 1 ∙ 2¹ + 0 ∙ 2⁰ = 1 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 1 = 10
Die entsprechende Dezimalzahl lautet also 10. Uns fällt dabei auf, dass es im Falle des Binärsystems eigentlich nur darum geht, ob eine bestimmte Stelle, d. h. eine bestimmte Zweierpotenz in der Summe vorkommt oder nicht, weil der dazugehörende Faktor nur 1 oder 0 sein kann.
Falls genug Zeit bleibt, werden unter Umständen auch weitere Systeme behandelt. Beispielsweise jene, die in der Informatik Anwendung finden, wie z. B. das Oktalsystem zur Basis 8 in der Digitaltechnik oder das Hexadezimalsystem zur Basis 16 in der Datenverarbeitung, oder auch solche, die geschichtliche und sprachliche Relevanz haben, wie z. B. das Vigesimalsystem zur Basis 20 der Mayas, mit dem auch teilweise in der französischen Sprache gezählt wird oder das
Sexagesimalsystem zur Basis 60 der Sumerer, das wir bis heute noch unter anderem bei der Angabe von Winkeln (voller Winkel = 360°) und der Zeit (1 Stunde = 60 Minuten und 1 Minute = 60 Sekunden) nutzen.
Bei den bereits erwähnten Zauberzahlen wiederum handelt es sich in Wirklichkeit um das sogenannte Hexatrigesimalsystem zur Basis 36. Die Einerstelle ist die Potenz mit dem Exponenten 0, die Sechsundreißigerstelle jene mit 1 und so weiter:
die ersten sechs Stellenwerte des Hexatrigesimalsystems
Die entsprechenden Zahlen setzen wir aus 36 Zauberziffern zusammen: das sind die 10 uns bekannten Ziffern von 0 bis 9 sowie die 26 Buchstaben des Alphabets:
...und darüber hinaus werden die Zahlen ebenfalls durch Aneinanderhängen von Ziffern gebildet.
Eine nette Einstiegsaufgabe ist, jene Zauberzahlen in aufsteigender Reihenfolge zu sortieren, deren Ziffern den Zahlwörtern der Dezimalzahlen von null bis zwanzig entsprechen. Wer nun denkt, dass wir uns dafür nicht großartig anstrengen müssen, sei daran erinnert, dass beispielsweise die Zahl NULL = N ∙ 36³ + U 36² + L ∙ 36¹ + L ∙ 36⁰ = 23 ∙ 46 656 + 30 ∙ 1296 + 21 ∙ 36 + 21 ∙ 1 = 1 112 745 ergibt.
Wir müssen dafür jedoch nicht alle Zauberzahlen extra in unser Dezimalsystem umwandeln. Wer spitzfinding ist, wird schnell erkennen, dass sich zumindest eine grobe Ordnung herstellen lässt, indem wir einfach die Anzahl der Buchstaben bzw. Zauberziffern zählen. Immerhin gilt auch hier: Je länger die Zahl, desto größer ist sie auch. So ist beispielsweise ZEHN größer als ELF.
Falls zwei Zauberzahlen gleich viele Stellen haben, vergleichen wir die größte von ihnen. So ist beispielsweise NULL größer als EINS, weil die Ziffer N an der Stelle 36³ größer ist als E. Falls der Stellenwert an der größten Stelle bei beiden Zahlen gleich ist, wie beispielsweise bei ZEHN und ZWEI, gehen wir einfach so lange zur nächsten weiter, bis wir entscheiden können, welche Zahl größer ist. In diesem Fall sehen wir dann, dass W an der Stelle 36² größer ist als E und somit ZWEI größer als ZEHN.
In weiterer Folge kann natürlich trotzdem auch noch das Umwandeln von Zauber- in Muggelzahlen, d. h. vom Hexatrigesimal- ins Dezimalsystem, geübt werden. Hier sind die Lösungen:
- ELF = 18 915
- ACHT = 482 753
- DREI = 642 042
- EINS = 677 368
- NEUN =1 092 335
- NULL = 1 112 745
- VIER = 1 470 195
- ZEHN = 1 651 739
- ZWEI = 1 674 954
- FUENF = 26 612 907
- SECHS = 47 698 624
- SIEBEN = 1 723 953 983
- ZWOELF = 2 171 202 531
- ZWANZIG = 78 140 214 664
- ACHTZEHN = 810 841 314 587
- DREIZEHN = 1 078 385 667 611
- NEUNZEHN = 1 834 704 995 099
- SECHZEHN = 2 225 427 346 715
- SIEBZEHN = 2 234 245 330 715
- VIERZEHN = 2 469 364 696 859
- FUENFZEHN = 44 699 466 055 451
Für ganz besonders Motivierte gibt es hier noch ein Rätsel des Harry Potter-Fanclubs, bei dem mit relativ großen Zauberzahlen gerechnet werden muss, um das Lösungswort herauszufinden:
(INTERESSE + SPASS + LOGIK + HINGABE + RECHNUNG + INTELLIGENZ + AUSDAUER) * PI
- LANGEWEILE - MÜDIGKEIT + BEGEISTERUNG + 7YRS6ICCRY03K = ?
Johannes C. Huber (40069721 46467 3111393952667500 18815 4429529858441141472910)