Mehr als sicher

Thema: Lego und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ich habe vor etlichen Jahren das Lego-Spiel Banana-Balance geschenkt bekommen. Ziel des Spiels ist, die meisten Bananen von einer Palme zu ernten, ohne dass diese umfällt. In diesem Beitrag geht es allerdings nur um den zugehörigen Spielwürfel. Dieser hat sechs Seiten mit folgenden Motiven:

 

die verschiedenen Seiten des Spielwürfels (Bildquelle: Johannes C. Huber)

• 2x braun: der Affe wird auf die Palme gehängt und ggf. werden Bananen geerntet
  
• 1x gelb: eine weitere Banane wird auf die Palme gesteckt
• 1x grün: ein weiteres Palmenblatt wird auf die Palme gesteckt
• 2x gelb-grün: freie Wahl zwischen den Aktionen von gelb und grün

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit gelb zu würfeln bzw. eine Banane auf die Palme zu stecken? Wir gehen davon aus, dass jede Seite mit derselben Wahrscheinlichkeit von einem Sechstel gewürfelt wird. Da wir ein gelbes Feld und zwei gelb-grüne haben, kommen wir so auf die Wahrscheinlichkeit ein Halbes bzw. 50 %. Dieselbe Überlegung würde dann auch für grün gelten. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten für die drei Farben addieren, kommen wir allerdings auf vier Drittel bzw. über 100 %. In Summe müsste jedoch 1 heraus kommen, weil mehr als das sogenannte sichere Ereignis nicht möglich ist. Was ist hier schief gelaufen?

 

Netz des Spielwürfels (Bildquelle: eigene Darstellung mit Geogebra)

Dem geübten Lesepublikum dürfte gleich auffallen, dass die gelb-grünen Felder eigentlich eine eigene Farbe darstellen und daher separat gezählt werden müssen. So kommen wir in Summe* auf ein Ganzes und die Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden nicht verletzt:

Wie kommen wir nun auf die Wahrscheinlichkeit dafür eine Banane auf die Palme zu stecken? Dazu gehen wir davon aus, dass wir uns auf jeden Fall für gelb entscheiden werden, wenn wir die Wahl haben und kommen damit tatsächlich auf eine Wahrscheinlichkeit von 50 %: 

Würden wir das nicht tun und die Wahl einem weiteren Zufallsexperiment überlassen, dann gibt es wiederum eine gewisse Wahrscheinlichkeit um bei gelb-grün auf gelb zu kommen. Falls wir das z. B. mit einem Münzwurf entscheiden, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür gelb zu würfeln nur ein Drittel:

Diese beiden Überlegungen sind im Einklang mit den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, aber wo lag vorher das Problem? Um das zu verstehen, müssen wir zwischen Ergebnissen und Ereignissen  des Zufallsexperiments unterscheiden. Gelb zu würfeln ist nämlich nicht dasselbe, wie eine Banane aufzuhängen, weil es neben der einzelnen gelben Würfelseite auch noch zwei andere Ergebnisse (sogenannte Elementarereignisse) gibt, bei denen dieses Ereignis eintreten kann, und zwar die beiden gelb-grün gefärbten. Ein Ergebnis ist eben nur ein möglicher Ausgang des Zufallsexperiments. Ein Ereignis wiederum kann auch bei unterschiedlichen Ergebnissen eintreten. Die gelbe Seite zu würfeln bedeutet in diesem Fall also wirklich nur das, während die Banane auch bei zwei anderen Würfelseiten aufgehängt werden kann.

Johannes C. Huber (hat das Spiel noch nie zu Ende gespielt)

* B...braun, Y...Gelb, G...Grün, YG...Gelb-Grün

Quellen:

• Banana Balance Spielregeln 
• Banana Balance Bauanleitung
  

Achten Sie auf sinnvolle Formeln Teil 3

Thema: Marken und Formeln

Disclaimer: Es handelt sich bei diesem Beitrag NICHT um Werbung.

Seit geraumer Zeit beobachte ich Plakate des österreichischen Markenartikelverbands, auf denen allerlei seltsame Formeln zu sehen sind. Natürlich dienen diese lediglich zu Werbezwecken ohne tatsächlich sinnvolle Bildungsvorschriften darzustellen, aber ich habe ausprobiert, ob es nicht doch die eine oder andere Größe gibt, die wir darauf ermitteln können.

Teil 3: Die Formel für österreichische Kulinarik

Werbung für Rum von Stroh (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die nächste Formel enthält gleich direkt einen Zahlenwert in Form eines Prozentsatzes. Der Faktor ist also 0,8 bzw. acht Zehntel. Beim Ergebnis dürfte es sich um ein Volumen handeln. Dieses ist nämlich eine Flasche Rum der Marke Stroh, deren gängige Füllmenge 0,7 Liter ist. Dementsprechend müsste die Summe von "Österreich" und "Kult" ebenfalls ein Raummaß ergeben. Wir wissen bis jetzt Folgendes:

$$\frac{8}{10} \cdot (\text{Österreich + Kult}) = \frac{7}{10}$$

Also muss die Summe (Österreich + Kult) gleich sieben Achtel sein. Nun zu den beiden Summanden innerhalb der Klammern. Für die erste Größe wäre Österreichs Volumen eine Möglichkeit. Allerdings stellt sich die Frage, wie wir dieses ermitteln sollen. Die bloße Staatsfläche ist leider eine Dimension zu klein, aber wir könnten sie mit der Höhe des Luftraums verknüpfen, um ein Volumen zu erhalten.

Österreichs zivile (rot) und militärische (orange) Lufträume (Bildquelle: Austro Control)

Österreich ist ungefähr 83 882,56 Quadratkilometer groß und der zugehörige zivile Luftraum reicht bis zu einer Höhe von FL 245 (dt. Flugfläche, engl. flight level). Unter Standardbedingungen sind das ungefähr 7500 m*. Mit diesen beiden Größen kommen wir auf folgendes Volumen:

$$83 882,56 \text{ km}^2\cdot 7,5 \text{ km }\approx 630 000 \text{ km}^3$$ 

Damit sich alles schön ausgeht, müsste die zweite Größe ein negatives Vorzeichen haben und ihr Betrag um sieben Achtel kleiner sein. Nun hätten wir zwar zwei Zahlenwerte gefunden, mit denen die Gleichung stimmt, aber im Gegensatz zu den beiden Brüchen wirken sie doch ein wenig unpassend.

Glücklicherweise gibt es eine andere Möglichkeit, die sich ein wenig eleganter in die Gleichung einfügt. Vor ein paar Jahren wurden die Ergebnisse einer Studie zum Alkoholkonsum veröffentlicht. Die daraus geschlossene Empfehlung waren höchstens 100 g reinen Alkohol pro Woche, was ungefähr sieben Achtel Wein entspricht. Wenn wir "Österreich plus Kult" als typisch österreichisches Trinkverhalten interpretieren, hätten wir die sieben Achtel quasi serviert und müssten uns nicht weiter mit den einzelnen Summanden aufhalten.

Johannes C. Huber (fragt seine Lernenden gerne, ob Stroh 40 + Stroh 40 = Stroh 80 ergibt)

* Die angenommenen Werte wurden sehr stark vereinfacht.

Quellen:

• Die Marke. Die Erfolgsformel. Das Original
• KMZ-Datei zu Österreichs Lufträumen auf der Webseite der Austro Control
  
• Österreichs Luftraum auf der Webseite des deutschen Gleitschirm- und Drachenflugverbands
• Empfehlung: Höchstens sieben Achtel Wein pro Woche (zuletzt aufgerufen am 02.01.2023)
• Studie zum weltweiten Trinkverhalten in The Lancet
  

obligatorischer Beitrag zum Pi-Day

Thema: Merksätze für die Kreiszahl

Jedes Jahr am 14. März feiere ich einen (nicht nur für Mathe-Fans) besonderen Tag: den Pi-Day.

Der heurige Kuchen ist aus mehreren Gründen eigentlich gar kein Pi(e). (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Der Name lässt sich aus dem entsprechenden Datum im US-amerikanischen Format ableiten: 03-14-XX. Die beiden X stehen für die letzten beiden Ziffern des jeweiligen Kalenderjahres und wenn wir es noch genauer nehmen, können wir auch die Uhrzeit mit dazu geben. So z. B. zuletzt im Jahr 2015, als Pi am späten Abend auf immerhin neun Stellen hinter dem Komma möglich war: 03/14/15 9:26:53.

Die Stellen der Kreiszahl sind im Gegensatz zu ihren Möglichkeiten für Zeitangaben unerschöpflich.

In diesem Beitrag möchte ich aber eine einprägsamere Methode vorstellen. Es gibt nämlich etliche Merksätze mit denen wir uns unterschiedlich viele Stellen der Kreiszahl ins Gedächtnis rufen können. Ein echter Klassiker und mein persönlicher Favorit ist folgender, der die Kreiszahl ebenfalls auf neun Stellen hinter dem Komma angibt:

"May I have a large container of coffee? Thank you."

Um die Ziffern der Stellen abzulesen, müssen wir lediglich die Anzahl der Buchstaben in jedem Wort zählen. Satzzeichen wie z. B. Punkte oder Beistriche werden normalerweise nicht gezählt. Ich habe mir auch ein paar eigene Merksätze überlegt und finde die Ergebnisse können sich sehen lassen. Meine Steam-Account-Beschreibung kommt beispielsweise bereits auf 25 Kommastellen:

"Yes, a list I fully completed is mostly under way today. Although ingenious
ciphers symbolize wit, we use overmuch code. Making it appear real but odd."

Man muss wissen, dass ich ein sogenannter "Achievement-Hunter" bin. Das bedeutet, dass ich bei allen Spielen, die ich in meiner Bibliothek (die oben erwähnte "list") habe, versuche auch möglichst alle Errungenschaften zu bekommen. Das in weiterer Folge genannte "cipher" meint den Merksatz selbst. Dieser ist, meines Wissens, zwar grammatikalisch nicht falsch, klingt aber eigenartig.

Mein bis jetzt längster deutschsprachiger Merksatz liest sich ein wenig flüssiger und wir kommen damit sogar auf 31 Stellen hinter dem Komma: 

“Bis u über d genau gerechnet Pi ergibt, haben wir diese fröhlich kreisende Madness geschafft und
um das Training auch fertig zu runden, kann man die Personen nun in unserer Abbildung sehen.”

Er ist im Zuge der Almost-Pi-Day-Madness bei Parkour Vienna entstanden. Die "Madness" bezeichnet dabei ein selbst organisiertes Kraft- und Ausdauertraining, bei dem wir normalerweise am Ende ein Gruppenfoto (die erwähnte "Abbildung") machen.

Johannes C. Huber (hat x nach 3 genug trainiert um erneut exakt und total schamlos anzugeben)

Quellen:

• Beitrag über Eselsbrücken für Pi im oreillyblog
  
• zehn verschiedene Eselsbrücken für Pi

Achten Sie auf sinnvolle Formeln Teil 2

Thema: Marken und Formeln

Disclaimer: Es handelt sich bei diesem Beitrag NICHT um Werbung.

Seit geraumer Zeit beobachte ich Plakate des österreichischen Markenartikelverbands, auf denen allerlei seltsame Formeln zu sehen sind. Natürlich dienen diese lediglich zu Werbezwecken ohne tatsächlich sinnvolle Bildungsvorschriften darzustellen, aber ich habe ausprobiert, ob es nicht doch die eine oder andere Größe gibt, die wir darauf ermitteln können.

Teil 2: Die Formel für rosa Glücksmomente

Werbung für Waffeln von Manner (Bildquelle: Cash)

Diese Formel wirkt so als wäre sie einfach zu entschlüsseln. Das Ergebnis auf der rechten Seite ist eine Packung Manner Schnitten. Diese könnte u. a. für die Anzahl der Schnitten oder die Anzahl der mundgerechten Stücke stehen. Abgesehen davon wäre auch das Gewicht denkbar. Wir haben also 1 Stück, 10 Stück und 75 Gramm zur Auswahl.

Die Größe "Haselnüsse" bezieht sich höchstwahrscheinlich auf die entsprechende Zutat. Nun stellt sich nur die Frage, ob eine Anzahl ganzer Nüsse oder stattdessen ihr Gewicht gemeint ist. Auf der Packung sehen wir vier Stück davon. Bei den Inhaltsstoffen sind 12% Haselnüsse in der Creme angegeben, wobei unklar ist, ob auch die Waffeln Nüsse enthalten. Wir gehen jedoch davon aus, dass die Nüsse ausschließlich in der Creme vorkommen, welche einen Anteil von 82% am Gesamtgewicht hat. Mit einer einfachen Prozentrechnung kommen wir so auf das Gewicht der Nüsse:

\[75 \text{ g } \cdot 0,82 \cdot 0,12 = 61,5 \text{ g } \cdot 0,12 = 7,38 \text{ g }\]

Eine durchschnittliche Haselnuss ist ungefähr 1,2 g schwer. Wir dividieren also unser Nussgewicht durch diesen Wert und kommen so auf die ungefähre Anzahl an Nüssen in einer Schnitte:

\[7,38 \text{ g } : 1,2 \text{ g } = 6,15 \approx 6\]

Die Größe "Waffeln" steht vermutlich ebenfalls für die namensgebende Zutat. Fünf Schichten davon ergeben zusammen mit der Creme eine Schnitte, die, wie bereits erwähnt, in zehn Stücke zerteilt werden kann. Wir könnten also entweder fünf oder zehn mal fünf, also fünfzig Waffeln zählen, aber auch hier wäre das Gewicht \(75 \text{ g } \cdot 0,18 = 13,5 \text{ g }\) eine Option. Somit stehen folgende Kombinationen zur Auswahl für die Formel "(Haselnüsse + Waffeln) \(\cdot\) Wien = Neapolitaner":

\[(6 + 5) \cdot \text{ Wien } = 1 \text{ Schnitte } \rightarrow \text{ Wien } \approx 0,09\]

\[(6 + 50) \cdot \text{ Wien } = 1 \text{ Schnitte } \rightarrow \text{ Wien } \approx 0,02\]

\[(6 + 5) \cdot \text{ Wien } = 10 \text{ St. } \rightarrow \text{ Wien } \approx 0,91\]

\[(6 + 50) \cdot \text{ Wien } = 10 \text{ St. } \rightarrow \text{ Wien } \approx 0,18\]

\[(7,38 \text{ g } + 13,5 \text{ g }) \cdot \text{ Wien } = 1 \text{ Schnitte } \rightarrow \text{ Wien } \approx 0,05 \text{ pro g }\]

\[(7,38 \text{ g } + 13,5 \text{ g }) \cdot \text{ Wien } = 10 \text{ St. } \rightarrow \text{ Wien } \approx 0,48 \text{ pro g }\]

\[(7,38 \text{ g } + 13,5 \text{ g }) \cdot \text{ Wien } = 75 \text{ g } \rightarrow \text{ Wien } \approx 3,59\]

Leider sind alle Werte für Wien dabei verhältnismäßig unschön. Wenn wir stattdessen einfach davon ausgehen, dass "Haselnüsse" für die gesamte Creme und alle drei Größen für ein Gewicht stehen, ist die Antwort klar, denn Wien ist und bleibt nun mal eins-igartig.

Johannes C. Huber (bevorzugt die Sorte mit Kokoscreme)

Quellen:

• Die Marke. Die Erfolgsformel. Das Original
• Manner Original Neapolitaner
  

Achten Sie auf sinnvolle Formeln Teil 1

Thema: Marken und Formeln

Disclaimer: Es handelt sich bei diesem Beitrag NICHT um Werbung.

Seit geraumer Zeit beobachte ich Plakate des österreichischen Markenartikelverbands, auf denen allerlei seltsame Formeln zu sehen sind. Natürlich dienen diese lediglich Werbezwecken ohne tatsächlich sinnvolle Bildungsvorschriften darzustellen, aber ich habe ausprobiert, ob es nicht doch die eine oder andere Größe gibt, die wir darauf ermitteln können.

Teil 1: Die Formel für perfekten Halt

Werbung für ein Haarspray von Schwarzkopf (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Dazu schauen wir uns an, welche Größen der Formel uns bekannt sind. Auf der rechten Seite steht ein Produkt. Allerdings nicht im mathematischen, sondern im unternehmerischen Sinne. In diesem Fall ist es ein Behälter mit 250 ml Füllmenge der Marke "Schwarzkopf 3 Wetter Taft". Das Ergebnis der Rechnung dürfte demnach ein Volumen sein. Die Terme "Style" sowie das Produkt der Größen "Wetter" hoch drei und "Halt" müssen dann dieselbe Einheit haben, da wir sie sonst nicht addieren können. 

Für "Wetter" kommen mehrere Möglichkeiten in Frage, da es viele verschiedene Größen gibt, mit denen es quantifiziert werden kann. Schwarzkopf bewirbt das besagte Haarspray u. a. damit, dass es die Frisur vor Hitze, Wind und Wasser schützt. Weder die Lufttemperatur, noch die Windstärke werden mit einem Raummaß beschrieben, aber die Niederschlagsmenge kann durchaus in Liter angegeben werden. Dazu messen wir die Menge an Wasser, die bei Regen auf einen Quadratmeter fällt. Das Maß hat als Einheit Kubikmeter pro Quadratmeter, was sich auf Meter kürzt und normalerweise in Millimeter angegeben wird. In den meisten Werbespots des Haarsprays regnet es in den Städten Hamburg, Berlin und London. Dort fällt durchschnittlich etwa 70 mm Regen pro Monat. Durch das Potenzieren mit der Zahl drei werden daraus wieder Kubikmillimeter und wir hätten eines der beiden Raummaße ermittelt.

Die zweite Größe "Halt" könnten wir u. a. als Festigkeit (wie viel Beanspruchung etwas aushält) oder Steifigkeit (wie widerstandsfähig etwas ist) der Haare interpretieren. Die erste Eigenschaft wird allerdings in Newton pro Quadratmeter angegeben, was unsere Formel stören würde. Die Steifigkeit wiederum wird zwar nur in Newton angegeben, aber auch dann wäre eine Einheit in unserer Formel, die wir nur mit einer weiteren Addition nicht weg bekommen, also lassen wir das lieber. Glücklicherweise erkennen wir auf der Hülle, dass drei von fünf möglichen "Halt-Punkten" ausgefüllt sind. Die gesuchte Größe dürfte also einfach drei Fünftel sein.

Nun kombinieren wir all diese Informationen. Wir nehmen die Fernsehwerbungen beim Wort gehen davon aus, dass eine Anwendung pro Tag reicht. Dadurch kommen wir mit durchschnittlich 30 Tagen pro Monat auf 70 : 30 = sieben Drittel mm, die wir noch hoch drei rechnen und anschließend mit drei Fünftel multiplizieren müssen. Wir erhalten als Zwischenergebnis ungefähr 7,6 Kubikmillimeter, was 0,0076 ml entspricht. Was ist nun "Style"? Ich habe, ehrlich gesagt, nicht die geringste Ahnung, aber daraus besteht offenbar fast die komplette die Füllmenge des Haarsprays. Wir können also annehmen, dass ca. 250 ml davon in jeder Dose enthalten sind.

Johannes C. Huber (kennt nun den Unterschied zwischen Festigkeit und Steifigkeit)

Quellen:

• Die Marke. Die Erfolgsformel. Das Original
• Sobottka G. & Weber A. (2003): Geometrisch und physikalische Eigenschaften von Human-Haar
• Festigkeit
• Steifigkeit
• Klimadaten: 
• Hamburg 
• Berlin 
• London