Thema: Donuts und Formeln
Im Mathematikunterricht der Unterstufe lernen wir, wie man die Formel für die Kreisfläche herleitet. Dazu zerschneiden wir diese in gleich große Ausschnitte (Sektoren) und legen sie anschließend versetzt wieder zusammen. Je kleiner diese Ausschnitte sind, desto mehr erinnert die dadurch entstandene Form an ein Rechteck, für das wir ganz einfach die Fläche berechnen können:
Im Rahmen des Kreises und seiner Teile wird normalerweise auch der Kreisring behandelt. Das dreidimensionale Pendant des Kreises ist die Kugel und jenes des Rings ist der Torus:
Dieser wird oft fälschlicherweise ebenfalls als Ring bezeichnet. Bessere Alternativen wären z. B. die Begriffe Reifen oder Donut. Möglicherweise denken manche Leute aus dem Lesepublikum, dass die Formel für das Volumen dieses Körpers äußerst kompliziert sein muss und tatsächlich gibt es auch verhältnismäßig abschreckend aussehende Varianten davon, wie z. B.:
Wir können sie aber stattdessen auch mit derselben Strategie herleiten wie jene für die Kreisfläche.
Dazu gehen wir wie folgt vor:
Je feiner wir den Torus zerlegen, desto zylindrischer ist das neue Konstrukt. Die Formel für das Zylindervolumen ist einfach die Grundfläche multipliziert mit der Höhe. Wir müssen uns also nur überlegen, welche beiden Bestandteile das in diesem Fall sind. Die Grundfläche ist die kreisförmige Querschnittsfläche des Torus mit Innenradius \(r\) und die Höhe ist der mittlere Umfang des Torus, den wir mit dem mittleren Radius \(R\) erhalten. Diesen Umstand können wir uns anschaulich erklären indem wir berücksichtigen, dass auf jeder Seite jeweils die Hälfte des inneren und äußeren Umfangs des Torus aufeinander gestapelt werden. Wenn wir diese beiden Größen in die Formel für den Zylinder einsetzen, erhalten wir mit wenig Aufwand die Formel für das Volumen des Torus:
Johannes C. Huber (unterscheidet nicht mehr zwischen ringförmigen und geraden Donuts)