Thema: Fitnesstracker und Zahlenfolgen
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Ich besitze seit Längerem eine Sportuhr von Garmin und tracke damit regelmäßig meine Fitness-Aktivitäten. Auf der zugehörigen Plattform Garmin Connect kann man sogenannte Errungenschaften freischalten, indem man z. B. eine bestimmte Anzahl von Aktivitäten abschließt, Ziele erreicht oder Herausforderungen schafft. Sobald man eine gewisse Anzahl von Punkten gesammelt hat, steigt man eine Stufe auf:
Ursprünglich gab es nur fünf Stufen, die man erreichen konnte, aber mittlerweile sind es anscheinend schon mehr geworden. Ich habe mich gefragt, wie viele es insgesamt gibt und wie viele Punkte man dafür jeweils mindestens benötigt. In einem Beitrag des Supportforums bin ich auf folgende Übersicht gestoßen:
- Level 1: 0 Punkte
- Level 2: 20 Punkte
- Level 3: 60 Punkte
- Level 4: 140 Punkte
- Level 5: 300 Punkte
- Level 6: 620 Punkte
- Level 7: 1260 Punkte
- Level 8: 2540 Punkte
- Level 9: 5100 Punkte
- Level 10: 10220 Punkte
Die angegebenen Stufen samt Punkten wurden mir auf meine Nachfrage hin auch von einem Support-Mitarbeiter bestätigt. Nun wollte ich außerdem noch herausfinden, ob es einen Grund dafür gibt, dass genau diese Grenzen gewählt wurden und ob irgendein System dahinter steckt. Also habe ich mir angeschaut, ob ich ein Muster erkennen kann. Uns fällt gleich auf, dass es sich dabei um kein lineares Wachstum handeln kann, weil die Schritte zwischen den Stufen offensichtlich nicht gleich groß sind. Es gibt auch keinen gleichbleibenden Faktor, mit dem die Punktzahlen multipliziert werden um die jeweils nächste Grenze zu erhalten. Wenn wir uns die Abstände zwischen den Folgengliedern genauer ansehen, erkennen wir aber, dass es sich um verzwanzigfachte Zweierpotenzen handelt:
Folgende Formel liefert die Mindestanzahl an Punkten für eine bestimmte Stufe indem die Abstände der vorigen Stufen sukzessive aufsummiert werden:
Abgesehen davon können wir auch die Grenzen selbst mit dem Faktor 20 kürzen und sehen dann, dass die Ergebnisse jeweils um 1 kleiner als eine Zweierpotenz sind:
Die dadurch entstehenden Folgenglieder werden manchmal als Mersenne-Zahlen bezeichnet, obwohl diese streng genommen nur jene Einträge umfassen, bei denen der Exponent der Zweierpotenz eine Primzahl ist. Leider konnte mir der Support-Mitarbeiter keine Auskunft darüber geben, warum genau diese Grenzen für die Stufen gewählt wurden, aber es steckt jedenfalls ein wenig Mathematik dahinter.
Johannes C. Huber (hält es für unrealistisch jemals Stufe 10 zu erreichen)