Mathemagische Kartentricks Teil 10

Thema: Spielkarten und platonische Körper

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Diesmal geht es weniger um einen Trick, als eine geometrische Konstruktion mit Spielkarten. Die Idee dazu stammt, meines Wissens, ursprünglich vom Geometer George R. Hart. Auf seiner Website stellt er nämlich unter anderem mehrere geometrische Schiebekonstruktionen vor. Da eine davon aus rechteckigen Bauteilen besteht, bieten sich Spielkarten als Bastelmaterial an. Einer seiner Leser namens Francesco de Comité hat diese entsprechend nachgebaut. Hart selbst stellt auf seiner Website noch zwei weitere Konstruktionen vor und erläutert auch die mathematischen Hintergründe. Er hat diese als Reaktion auf den Wunsch seines Lesepublikums nach Projekten für Schulklassen kreiert. Ich habe sie damals nicht in meine Abschlussarbeit eingebaut, weil mir bei den darin vorgestellten Methoden wichtig war, dass keine Karten zerstört werden. Um sie ineinander stecken zu können, müssen sie nämlich eingeschnitten werden, wodurch sie anschließend leider mehr oder weniger unbrauchbar sind.

Decks mit fehlenden Karten lassen sich damit immerhin kreativ verwerten. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die erste davon benötigt insgesamt sechzig Karten und ist demenstprechend groß, fällt aber bei Erschütterungen unter Umständen wieder auseinander. Am Ende entsteht dadurch ein sogenanntes Rhombenikosidodekaeder. Die zweite besteht aus nur halb so vielen und ist wesentlich stabiler, aber auch schwieriger zu basteln und resultiert in einem Dodekader. Für die Arbeit mit einer Schulklasse empfiehlt er deshalb, zuerst das größere Gebilde zu probieren. Ich habe das Objekt mit dreißig Karten nachgebaut:

Das fertige Dodekaeder (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Ich habe beim Basteln festgestellt, dass Spielkarten sich aufgrund ihrer Widerstandsfähigkeit viel besser eignen als einfaches Papier, da sie nicht nur biegsam, sondern auch erstaunlich reißfest sind. Zunächst müssen wir sie vorbereiten, indem wir jeweils vier Einschnitte wie folgt machen:

Jede Karte bekommt vier Einschnitte. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die beiden Einschnitte an den kurzen Seiten sollten in einer Winkelweite von ungefähr dreißig Grad gemacht werden und in etwa zwei Drittel der Distanz bis zur langen Seite abdecken. Anschließend sollten die beiden Einschnitte an den langen Seiten mit einer Winkelweit von ungefähr sechzig Grad gemacht werden und in etwa die Hälfte der Distanz bis zum Schnitt an der kurzen Seite abdecken. Meine Karten waren 5,8 cm breit und 8,5 cm hoch. Die Schnitte hatten einen Abstand zur Seitenkante von 0,8 mm (kurze Seite) und 3,2 cm (lange Seite). Ich habe mich bei den Maßen grob an seiner Vorlage orientiert. Nachdem alle Karten entsprechend präpariert wurden, beginnen wir mit dem Zusammenstecken:

Anleitung für das Zusammenstecken von drei Karten (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Nach ein bisschen Friemelei entsteht dadurch jeweils ein solcher Eckbaustein:

Drei Karten ergeben einen Eckbaustein. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Sobald alle Bausteine fertig sind, können wir sie auf die gleiche Art und Weise miteinander verbinden. Ich habe zunächst einen Fehler gemacht und dadurch erkannt, dass man mit nur zwölf Karten auch ein Hexaeder bzw. einen Würfel konstruieren kann. Die Anzahl der Karten entspricht in diesem Fall ganz einfach der Anzahl der Kanten des entsprechenden Körpers. Ein reguläres Kartendeck mit zweiundfünfzig  Karten reicht demnach aus, um beide Gebilde zu basteln, wobei sogar noch ein paar Karten als Reserve übrig bleiben, falls beim Schneiden Fehler passieren oder Karten kaputt gehen:

Die Dodeka- und Hexaeder aus Spielkarten sind fertig. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Falls wir eine ausgewogene Kombination aller Spielfarben erreichen möchten, muss die Anzahl der Kanten des Körpers durch vier teilbar sein. Beim Dodekaeder müssten wir uns also auf zwei oder drei davon beschränken, aber beim Hexaeder ist es möglich, alle Farben gleich oft zu verwenden. Doch damit nicht genug. Wir können zusätzlich dazu auch noch dafür sorgen, dass keine Spielfarbe zweimal direkt nebeneinander vorkommt. Da ich beim Bauen meines Würfels jedoch nicht darauf geachtet habe, das zu schaffen, habe ich ein solches Arrangement hier mit den vier Pokerfarben (♠ ♥ ♦ ♣) veranschaulicht:

ungleiche Färbung benachbarter Würfelkanten (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Johannes C. Huber (hat ausreichend unvollständige Kartendecks für weitere Gebilde zu Hause)