Welcher Tag ist noch frei?

Thema: Geburtstage und Wahrscheinlichkeiten

Das sogenannte Geburtstagsparadoxon beschreibt den Umstand, dass im Allgemeinen die überschaubare Menge von lediglich dreiundzwanzig Menschen ausreicht, um die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei davon am selben Tag Geburtstag feiern, auf über fünfzig Prozent zu bringen. Um zu verstehen, warum das so ist, stellen wir uns vor, dass diese Personen der Reihe nach einen Raum betreten und überlegen uns für jede weitere Person, die dazu kommt, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie an einem Tag Geburtstag feiert, der noch nicht vergeben ist. Der Vollständigkeit halber berücksichtigen wir in weiterer Folge stets auch den 29. Februar, der im Zuge eines Schaltjahres auftritt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Tag noch nicht belegt? (Bildquelle: Unsplash)

Zu Beginn betrachten wir drei triviale Fälle: Solange der Raum noch leer oder nur eine Person eingetreten ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit klarerweise gleich null Prozent und sobald sich 366 Personen im Raum befinden und eine weitere dazu kommt, ist garantiert kein Kalendertag mehr frei, weshalb die Wahrscheinlichkeit dann gleich hundert Prozent ist. Der gesuchte Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von (ungefähr) fünfzig Prozent muss demnach irgendwo dazwischen liegen.

So weit so gut, aber die Sache hat einen Haken: Je mehr Personen wir betrachten, desto weiter steigt auch die Anzahl an Möglichkeiten, die wir berücksichtigen müssen. Es könnte nämlich auch sein, dass zwei oder mehr Tage von mehreren Personen belegt werden oder mehr als zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag feiern. Glücklicherweise können wir diese schiere Unmenge an Fällen umgehen, indem wir stattdessen mit der Gegenwahrscheinlichkeit arbeiten. Dazu berechnen wir zuerst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag feiern und ziehen diese anschließend von eins ab. Für die zweite Person, die den Raum betritt, stehen nur noch 365 von 366 Tagen zur Auswahl:

$$1 - \frac{365}{366} \approx 1 - 0,9973 = 0,0027$$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag feiern, beträgt also nur ca. 0,27 %. Wenn wir nun eine dritte Person dazu geben, stehen für diese nur noch 364 von 366 Tagen zur Auswahl. Wir müssen lediglich berücksichtigen, dass auch die anderen beiden Personen nicht den gleichen Geburtstag haben, d. h. wir multiplizieren diesen Bruch einfach mit dem nächsten:

$$1 - \frac{365}{366} \cdot \frac{364}{366} \approx 1 - 0,9918 = 0,0072$$

Die Gegenwahrscheinlichkeit nimmt also zunächst nur minimal auf ca. 0,72 % zu und steigt erst bei zehn Personen auf über zehn Prozent:

$$1 - \frac{365}{366} \cdot ... \cdot \frac{357}{366} \approx 1 - 0,8834 = 0,1166$$

Wenn wir dieses Prinzip beibehalten, landen wir schließlich bei dreiundzwanzig Personen:

$$1 - \frac{365}{366} \cdot ... \cdot \frac{344}{366} \approx 1 - 0,4937 = 0,5063$$

Wir sind dabei allerdings, wie bereits erwähnt, davon ausgegangen, dass jeder Kalendertag mit der gleichen Häufigkeit vorkommt, obwohl Geburtstage in Wirklichkeit nicht gleich verteilt sind. Tatsächlich gibt es bestimmte Zeiträume eines Jahres, in denen vergleichsweise mehr Menschen geboren werden. Tendenziell sind nämlich die Monate August bis Oktober die geburtenstärksten. Es fallen also relativ viele Geburtstage in den Herbst, wenn auch nicht übermäßig viele mehr als in den anderen Zeiträumen. 

Wir können das Problem für leistungsschwächere Lernende ein wenig abwandeln, indem wir stattdessen beispielsweise danach fragen, wie viele Menschen im Schnitt nötig sind, um die Wahrscheinlichkeiten für vergleichsweise einfachere Ereignisse auf über fünfzig Prozent zu bringen. Ganz im Sinne des Scaffolding können wir uns so an die eigentliche Fragestellung herantasten. Die denkbar einfachste Frage wäre nach einem Geburtstag im selben Halbjahr. In diesem Fall genügen erwartungsgemäß bereits zwei Personen, da bei drei notwendigerweise mindestens zwei davon im gleichen Halbjahr Geburtstag feiern.

Als Nächstes könnten wir uns überlegen, wie wahrscheinlich ein Geburtstag im selben Quartal oder auch in der gleichen Jahreszeit (Frühling, Sommer, Herbst und Winter) ist. Die erste Person feiert in einem bestimmten Zeitraum Geburtstag, also verbleiben für die nächste noch drei von vier Möglichkeiten:

$$1 - \frac{3}{4} = 1 - 0,75 = 0,25$$

Die Wahrscheinlichkeit für das gleiche Quartal oder die gleiche Jahreszeit liegt für zwei Personen also noch bei einem Viertel der Fälle, aber bei drei Personen steigt sie bereits auf fast zwei Drittel:

$$1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} = 1 - 0,375 = 0,625$$

Selbst bei einem Geburtstag im selben Monat oder auch dem gleichen Tierkreiszeichen (Steinbock, Wassermann, Fische, Widder, Stier, Zwillinge, Krebs, Löwe, Jungfrau, Waage, Skorpion, Schütze) müssen wir nicht viel mehr Arbeit hineinstecken, um zu sehen, dass bereits fünf Personen genügen:

$$1 - \frac{11}{12} \cdot ... \cdot \frac{8}{12} \approx 1 - 0,3819 = 0,6181$$

In meiner Schulklasse mit 26 Kindern gibt es sogar zwei Paare mit dem gleichen Geburtstag. Bei den beiden Zwillingsbrüdern ist das natürlich nicht allzu verwunderlich, aber die anderen beiden könnten als Beleg dafür gelten, dass dieser Umstand gar nicht so selten ist, wie wir vielleicht glauben würden.

Johannes C. Huber (feiert erstaunlich nahe am durchschnittlich häufigsten Datum Geburtstag)

Mathemagische Kartentricks Teil 10

Thema: Spielkarten und platonische Körper

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Diesmal geht es weniger um einen Trick, als eine geometrische Konstruktion mit Spielkarten. Die Idee dazu stammt, meines Wissens, ursprünglich vom Geometer George R. Hart. Auf seiner Website stellt er nämlich unter anderem mehrere geometrische Schiebekonstruktionen vor. Da eine davon aus rechteckigen Bauteilen besteht, bieten sich Spielkarten als Bastelmaterial an. Einer seiner Leser namens Francesco de Comité hat diese entsprechend nachgebaut. Hart selbst stellt auf seiner Website noch zwei weitere Konstruktionen vor und erläutert auch die mathematischen Hintergründe. Er hat diese als Reaktion auf den Wunsch seines Lesepublikums nach Projekten für Schulklassen kreiert. Ich habe sie damals nicht in meine Abschlussarbeit eingebaut, weil mir bei den darin vorgestellten Methoden wichtig war, dass keine Karten zerstört werden. Um sie ineinander stecken zu können, müssen sie nämlich eingeschnitten werden, wodurch sie anschließend leider mehr oder weniger unbrauchbar sind.

Decks mit fehlenden Karten lassen sich damit immerhin kreativ verwerten. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die erste davon benötigt insgesamt sechzig Karten und ist demenstprechend groß, fällt aber bei Erschütterungen unter Umständen wieder auseinander. Am Ende entsteht dadurch ein sogenanntes Rhombenikosidodekaeder. Die zweite besteht aus nur halb so vielen und ist wesentlich stabiler, aber auch schwieriger zu basteln und resultiert in einem Dodekader. Für die Arbeit mit einer Schulklasse empfiehlt er deshalb, zuerst das größere Gebilde zu probieren. Ich habe das Objekt mit dreißig Karten nachgebaut:

Das fertige Dodekaeder (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Ich habe beim Basteln festgestellt, dass Spielkarten sich aufgrund ihrer Widerstandsfähigkeit viel besser eignen als einfaches Papier, da sie nicht nur biegsam, sondern auch erstaunlich reißfest sind. Zunächst müssen wir sie vorbereiten, indem wir jeweils vier Einschnitte wie folgt machen:

Jede Karte bekommt vier Einschnitte. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die beiden Einschnitte an den kurzen Seiten sollten in einer Winkelweite von ungefähr dreißig Grad gemacht werden und in etwa zwei Drittel der Distanz bis zur langen Seite abdecken. Anschließend sollten die beiden Einschnitte an den langen Seiten mit einer Winkelweit von ungefähr sechzig Grad gemacht werden und in etwa die Hälfte der Distanz bis zum Schnitt an der kurzen Seite abdecken. Meine Karten waren 5,8 cm breit und 8,5 cm hoch. Die Schnitte hatten einen Abstand zur Seitenkante von 0,8 mm (kurze Seite) und 3,2 cm (lange Seite). Ich habe mich bei den Maßen grob an seiner Vorlage orientiert. Nachdem alle Karten entsprechend präpariert wurden, beginnen wir mit dem Zusammenstecken:

Anleitung für das Zusammenstecken von drei Karten (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Nach ein bisschen Friemelei entsteht dadurch jeweils ein solcher Eckbaustein:

Drei Karten ergeben einen Eckbaustein. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Sobald alle Bausteine fertig sind, können wir sie auf die gleiche Art und Weise miteinander verbinden. Ich habe zunächst einen Fehler gemacht und dadurch erkannt, dass man mit nur zwölf Karten auch ein Hexaeder bzw. einen Würfel konstruieren kann. Die Anzahl der Karten entspricht in diesem Fall ganz einfach der Anzahl der Kanten des entsprechenden Körpers. Ein reguläres Kartendeck mit zweiundfünfzig  Karten reicht demnach aus, um beide Gebilde zu basteln, wobei sogar noch ein paar Karten als Reserve übrig bleiben, falls beim Schneiden Fehler passieren oder Karten kaputt gehen:

Die Dodeka- und Hexaeder aus Spielkarten sind fertig. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Falls wir eine ausgewogene Kombination aller Spielfarben erreichen möchten, muss die Anzahl der Kanten des Körpers durch vier teilbar sein. Beim Dodekaeder müssten wir uns also auf zwei oder drei davon beschränken, aber beim Hexaeder ist es möglich, alle Farben gleich oft zu verwenden. Doch damit nicht genug. Wir können zusätzlich dazu auch noch dafür sorgen, dass keine Spielfarbe zweimal direkt nebeneinander vorkommt. Da ich beim Bauen meines Würfels jedoch nicht darauf geachtet habe, das zu schaffen, habe ich ein solches Arrangement hier mit den vier Pokerfarben (♠ ♥ ♦ ♣) veranschaulicht:

ungleiche Färbung benachbarter Würfelkanten (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Johannes C. Huber (hat ausreichend unvollständige Kartendecks für weitere Gebilde zu Hause)

Zu viel des Guten

Thema: Rezepte und Mengenlehre

In diesem Beitrag geht es nicht, wie man zunächst vielleicht erwarten würde, um Füllmengen, Portionsgrößen oder Kalorien. Stattdessen möchte ich eines meiner Lieblingsgesprächsthemen behandeln, das ich gerne als Eisbrecher verwende: die sogenannte Incompatible Food Triad. Dabei handelt es sich um ein kleines Gedankenexperiment, bei dem wir drei Lebensmittel suchen, die als Dreiergruppe nicht zusammenpassen, obwohl jedes Zweierpaar durchaus bekömmlich ist.

Ich bin ursprünglich nur auf Umwegen darauf gestoßen als ich mir ein paar Videos von Vi Hart angeschaut habe. Diese hatten allerdings gar nichts mit der Fragestellung zu tun, obwohl sie durchaus mathematischer Natur sind. In weiterer Folge bin ich dann auf die Website von deren Vater George W. Hart gestoßen. Dieser ist ein Professor für Ingenieurswissenschaften, der nebenbei auch gerne mathematische Vorträge hält, Workshops für Bildungseinrichtungen anbietet und geometrische Skulpturen kreiert. Er hat das Problem wie folgt formuliert:

"Can you find three foods such that all three do not go together (by any reasonable
definition of foods "going together") but every pair of them does go together?"

Laut dem Philosophen Robert Brandom war sein Landsmann und Kollege Wilfrid Sellars der eigentliche Urheber. In der Philosophie beschäftigen wir uns nämlich ebenfalls mit derartigen Konstellationen auf begrifflicher Ebene: Ein Apfel kann beispielsweise die Farbe Grün haben, reif sein oder zur Sorte McIntosh gehören. Zwei dieser drei Eigenschaften können auch in Kombination auftreten. So hat die Apfelsorte Granny Smith auch im reifen Zustand immer noch die Farbe Grün. Alle drei zusammen sind allerdings nicht möglich, da ein unreifer McIntosh-Apfel grün gefärbt ist, während er im Zuge der Reifung gelb-rot wird, d. h. jede paarweise Verbindung ist inkompatibel mit der dritten Eigenschaft. Wir suchen also eine Menge mit drei miteinander inkompatiblen Elementen, deren (echte) zweielementige Teilmengen jedoch alle miteinander kompatible Elemente enthalten*. Es folgt eine kleine Auswahl an Fragen, die meist im Zuge der Diskussion aufkommen:

Was zählt als Zutat?
Das englische Wort food kann wahlweise auch als Lebensmittel, Nahrungsmittel, Speise, Gericht, etc. in die deutsche Sprache übersetzt werden. In vielen Fällen wird deshalb zu Beginn danach gefragt, was überhaupt als einer der drei Bestandteile einer Triade erlaubt ist, weil beispielsweise unklar ist, ob (halb)fertige Gerichte wie eine Pizza als Baustein infragekommen. Darüber hinaus kann auch diskutiert werden, ob es einen grundsätzlichen Unterschied zwischen Lebens- und Nahrungsmitteln gibt. Meist wird in diesem Zusammenhang unterschieden, ob die Zutaten frisch oder verarbeitet sind und wir könnten dementsprechend verlangen, dass die verwendeten Zutaten unbehandelt sein müssen. In diesem Fall würden allerdings viele davon aufgrund von Gesundheitsbedenken nicht in Frage kommen. 

In weiterer Folge kommt auch schnell die Frage auf, ob Getränke erlaubt sind. Für manche von uns ist es nämlich nicht eindeutig, ob wir Dinge wie Milch oder Trinkschokolade nun zu den Speisen oder Getränken zählen würden. Falls wir Getränke ebenfalls zulassen, folgt darauf oft die Frage, wie es mit Alkohol aussieht, weil alkoholische Getränke mitunter als Genussmittel bezeichnet werden, um sie von lebensnotwenigen Dingen abzugrenzen. Die fehlende Trennschärfe darf selbstverständlich kritisiert werden, aber ich würde jedenfalls einwenden, dass wir darauf achten müssen, nicht vom Hundertsten ins Tausendste zu kommen. Normalerweise sind all diese Bedenken kein Problem, weil es ja vor allem um den gemeinsamen Austausch geht.

Gibt es Strategien für das Finden einer Triade?
Auf diese Frage gibt es vermutlich keine gute Antwort, aber ich kann aus Erfahrung sagen, wie man es möglicherweise nicht angehen sollte. Viele Leute, mit denen ich mich darüber unterhalten habe, tendieren anfangs dazu, statt einer eigentlichen Triade das Gegenteil zu suchen, wobei das meist eher daher rührt, dass zwei der drei Zutaten alleine eher langweilig als ungenießbar sind. Es kann jedoch ebenfalls eine spannende Frage sein, nach dem Komplement zu suchen, d. h. wir suchen drei Lebensmittel, die miteinander kompatibel sind, aber paarweise jeweils nicht. In einer Zuschrift, die George Hart vor über zwanzig Jahren erreicht hat, stellt ihm der Universitätsprofessor Craig Westerland die Frage "Are there three foods which you would eat together, but you wouldn't eat any pair without the third?"

Eine andere Stolperfalle ist, dass darauf vergessen wird, alle Zweierpaare zu überprüfen. Mein Bruder hat beispielsweise Ketchup, Pommes Frites und Bolognese vorgeschlagen. Das Problem dabei ist, dass die Kombination von Ketchup und Bolognese auch ohne Pommes Frites bereits widerlich ist. Ein weiteres Beispiel für einen solchen Vorschlag ist die Kombination Erdbeeren, Schokolade und Brie. Erdbeeren mit Schokolade sind ein klassisches Dessert und zusammen mit Brie ein gängiger Bestandteil eines Picknicks. Alle drei Zutaten harmonieren zwar nicht miteinander, aber das scheitert nicht erst an den Erdbeeren, sondern bereits an der Kombination von Schokolade und Brie.

Gibt es Beispiele, die sich bewährt haben?
Bis heute wurde glücklicherweise bereits eine Fülle an Vorschlägen gemacht, die jedoch in vielen Fällen kurz darauf wieder entkräftet wurden. So beispielsweise bei der vermeintlichen Triade Huhn, Schokolade und Honig, da im Zuge der Recherche ein Rezept für Mole-BBQ-Chicken aufgetaucht ist. Eine weitere ist die Kombination von Kartoffeln, Mayonnaise und Kohl. Paarweise ergibt sich dadurch Kartoffelsalat, Coleslaw oder eine Gemüsebeilage, aber auch die Triade existiert anscheinend in Form eines Corned Beef-Salats und kommt somit nicht mehr infrage.

Vor über zehn Jahren ist zu diesem Thema auch ein Artikel im Guardian erschienen, in dem mehrere potentielle Kombinationen beschrieben werden. Die bekannteste davon ist vermutlich die Kombination von Kaffee, Milch und Zitronensaft. Kaffee ergibt zusammen mit Milch unter anderem einen Latte Macchiato, während er mit Zitronensaft als Espresso con limone bezeichnet wird. Milch und Zitronensäure wiederum sind für die Herstellung von Paneer, einem indischen Weichkäse, nötig. Wenn alle drei kombiniert werden, erwarten wir vermutlich einen grauslichen Kaffee mit flockender Milch (dasselbe gilt auch für Tee mit Milch und Zitrone), doch eine Programmierin und Graphikdesignerin hat vor vielen Jahren extra einen Lemon Affogato kreiert, um auch diesen Vorschlag unbrauchbar zu machen. Die Erfinderin des eben erwähnten Gegenbeispiels, Tiffany Inglis, ist übrigens der Meinung, dass es nur dann eine definitive Lösung geben kann, wenn die Kombination der drei Zutaten für eine chemische Reaktion sorgt, die das daraus entstehende Gericht für Menschen tödlich macht.  

Zumindest ein paar davon haben sich jedoch, meines Wissens, bis jetzt bewährt. Dazu zählen beispielsweise eingemachte Gurken, Zucker und Jogurt, woraus paarweise Sweet Pickles, Dessertjogurt oder Tsatsiki gemacht werden kann, aber die Triade selbst ist ungenießbar. Ein möglicher Einwand ist allerdings, dass schwangere Frauen möglicherweise jede erdenkliche Triade essen würden. Ein anderer Vorschlag ist die Kombination der Zutaten Kakao, Zitrone und Curry, die paarweise in einer Zitronen-Schokolade-Tarte, einem Thai Lemon Curry und Mole-Sauce vorkommen. Wir können jedoch, laut der Redaktion, nicht ausschließen, dass es irgendwo einen verborgenen Stamm mexikanischer Thais gibt, der ein Rezept für Zitronen-Mole kennt. Manche Vorschläge sind auch sehr erheiternd, wie beispielsweise jener Tequila, Tequila und Tequila, weil ein dritter Shot Tequila stets einer zu viel ist.

Die Gastro Obscura-Redaktion hat ebenfalls einen eigenen Beitrag veröffentlicht und anschließend sogar ein eigenes Cookoff dazu veranstaltet, bei dem gleich mehrere potentielle Triaden einer empirischen Überprüfung unterzogen wurden. Ein paar Gerichte wie Zitronen-Schokolade-Curry-Kekse, Rindfleischtaschen mit Orangen-Schlagobers-Creme und Bier-Schokolade-Käsekuchen sind sogar unerwartet gut angekommen. Bei manchen Rezepte wie den Schokoladenmuffins mit Kirsche-Tabasco-Creme oder Mole-Tacos mit Knoblauch und eingelegtem Ingwer wurden bereits bewährte Gerichten lediglich um Zutaten erweitert, die dem Ganzen zwar einen etwas eigenartigen Kick verleihen, aber trotzdem mit den übrigen harmonieren.

Bei manchen Kreationen gingen die Meinungen auseinander, aber insofern zumindest eine Testperson mit dem Geschmack etwas anfangen konnte, kam diese schon nicht mehr als Triade infrage. Eine Mitarbeiterin hat beispielsweise Balsamico, Erdbeeren und Pilze zu Tartes mit eigenartigem Mundgefühl verarbeitet und eine andere Blauschimmelkäse, Himbeeren und Estragon zu einem Dessert das im Grund nichts anderes ist als ein gefrorenes Salatdressing. Erstaunlich beliebt waren wiederum die Fudge Brownies mit Erdbeer-Knoblauch-Kompott. Die beiden immer wiederkehrenden Zutaten Knoblauch und Ingwer werden gerne als Störfaktoren eingebaut und haben in Kombination mit Muskantnuss  eventuell sogar für eine Antwort auf die Frage gesorgt. Am Ende des Experiments blieb nämlich zumindest eine plausible Triade übrig, bei der diese in Form von einem Kürbisbrot mit Knoblauch-Streuseln kredenzt wurden. Alle Testpersonen waren dabei geschlossen der Meinung, dass diese schlicht ungenießbar ist.

Die Welt der Getränke wiederum bietet erstaunlich viele Möglichkeiten. Bier mit Whiskey wird zu einem Boilermaker, Whiskey und 7-Up ergeben Seven & Seven und Bier mit 7-Up ist ein Shandy, aber alle drei in Kombination sind eher nicht zu empfehlen. Mein eigener Vorschlag basiert ebenfalls auf Getränken:

Proposition: Bier, Kaffee und Energy Drink (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Bier mit Kaffee ergibt Craft Beer wie beispielsweise Beeresso, Baltic Barista oder Maassens Caffeebier (es gibt sogar alkoholfreie Varianten wie Joybräu Natural Energy), Bier und Energy Drink wird zu Energy Beer wie beispielsweise MiXery Iced Blue oder X² Ice Boost Energy und Kaffee mit Energy Drink zu Energy Coffee wie beispielsweise die Java-Reihe von Monster.

Die fertige Triade aus Bier, Kaffee und Energy Drink (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die drei Bestandteile vermengen sich zwar von selbst, aber es dauert ein bisschen bis wir die Schichten der verschiedenen Flüssigkeiten nicht mehr ausmachen können. Das daraus entstandene Gemisch wirkt durch die braune Farbe und die helle Schaumkrone optisch zunächst nicht nur unbedenklich, sondern nahezu einladend. Falls man die Inhaltsstoffe nicht kennt, könnte man sogar vermuten, dass es sich um ein dunkles Bier oder einen Eiskaffee handelt.

Verkostung der Triade des Autors im Selbstversuch (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Beim Ansetzen macht sich eine exotische Duftmischung aus der Süße des Energy Drinks und der Säure des Biers breit, die durch das Kaffeearoma abgerundet wird. Der erste Schluck wird hauptsächlich vom Energy Drink dominiert und täuscht anfangs noch darüber hinweg, was man sich hier gerade eigentlich hineinleert, doch spätestens dann, wenn das Gemisch auch die restlichen Geschmacksknospen erreicht, stellt sich die ernüchternde Erkenntnis ein, dass es vielleicht doch zu viel des Guten war.

Johannes C. Huber (ist stolz darauf, einen eigenen Vorschlag gefunden und gestestet zu haben)

Quellen:

• Brandom R. (2015). From Empiricism to Expressivism: Brandom Reads Sellars.
• Krödel T. (2026): The Incompatible Food Triad.

* Der deutsche Philosoph Thomas Krödel hat vor Kurzem einen Artikel veröffentlicht, in dem er schreibt, dass es dabei eigentlich um die Suche nach einem Gegenbeispiel zu einem einfachen Prinzip geht. Er nimmt dafür zunächst an, dass die paarweise Kombatibilität von Lebensmitteln dazu führt, dass auch alle drei zusammenpassen. Er bezeichnet diese als Tasty Triad Thesis (kurz: TTT) und drückt sie in der Sprache der Mathematik wie folgt aus:

∀x [[Sx ∧ |x| = 3 ∧ ∀y [y ∈ x → Fy] ∧ ∀z∀u [[z ∈ x ∧ u ∈ x ∧ z ≠ u] → G{z, u}]] → Gx]

Diese Schreibweise verwendet verschiedene Operatoren wie den Allquantor ∀ (für alle ... gilt), die logische Konjunktion ∧ (und), den Folgepfeil → (daraus folgt, dass) und das Elementsymbol ∈ (ist enthalten in). In diesem Zusammenhang bedeutet der Buchstabe S, dass es sich um eine Menge (engl. set) handelt, der Buchstabe F, dass es sich bei einem Element um etwas essbares (engl. food) handelt und der Buchstabe G, dass Elemente zusammenpassen (engl. go together). Um zu verstehen, wofür die einzelnen Bausteine dieser Formulierung stehen, gehen wir sie Schritt für Schritt durch.

Die "Außenhülle" ∀x [[ ... ] → Gx]  gibt an, dass alles, was in den inneren eckigen Klammern steht, für alle x gilt und in weiterer Folge dazu führt, dass am Ende die Zutaten zusammenpassen. Der erste Teil Sx ∧ |x| = 3 bedeutet, dass x ist eine dreielementige Menge (in diesem Fall unsere Triade) ist. Der nächste Teil  ∧ ∀y [y ∈ x → Fy] legt zusätzlich fest, dass es sich bei allen Elementen y aus der Menge x um Lebensmittel handelt. Der letzte Teil  ∧ ∀z∀u [[z ∈ x ∧ u ∈ x ∧ z ≠ u] → G{z, u}] stellt außerdem sicher, dass zwei verschiedene Elemente z und u aus der Menge x zusammenpassen. Der Autor merkt an, dass diese Unterscheidung wichtig ist, um den Fall auszuschließen, bei dem eine Zutat mit sich selbst kombiniert wird, weil diese Kombination nicht automatisch zusammenpasst (z. B. im Falle von grundsätzlich ungenießbaren Zutaten).

Unverhältnismäßig verhältnismäßig

Thema: Kochrezepte und Zahlentheorie

Wenn wir ein Verhältnis in ein anderes umwandeln wollen, dann können wir das mit einer Gleichung machen, die wir unter anderem auch als Proportion, Dreisatz, Schlussrechnung oder einfach Verhältnisgleichung bezeichnen. Im Schulunterricht müssen wir in diesem Zusammenhang häufig Zutatenmengen für Kochrezepte anpassen:

verschiedene Mischverhältnisse beim Einkochen von Marmelade mit Gelierzucker (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Bei solchen Aufgaben geht es dann beispielsweise darum, bei der Menge Rindfleisch (75 dag) von den Zutaten für ein Gulasch von jener für vier Personen auf jene für fünf zu schließen. Wir können dafür eine Gleichung aufstellen und diese anschließend nach x auflösen:

4 : 5 = 75 : x
4x = 375
x = 93,75

Einer meiner ehemaligen Schüler hat bei der Suche nach einer eigenen Lösungsstrategie erkannt, dass uns dabei der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache (in weiterer Folge kurz: ggT und kgV) behilflich sein können. Als er mir seine Vorgehensweise geschildert hat, war mir zunächst nicht ganz klar, worauf er eigentlich hinausmöchte. Daraus hat sich in weiterer Folge ein für beide Seiten sehr bereicherndes Gespräch über den Lehrstoff ergeben. Da solche Situationen in meinem Alltag eher selten vorkommen, begrüße ich es umso mehr, wenn es doch einmal dazu kommt, weil es einer der besonders schönen Aspekte meiner Arbeit als Lehrkraft ist. In diesem Beitrag möchte ich seine Funde erläutern.

Unser Zahlenpaar vier und fünf aus der oben beschriebenen Aufgabe sind teilerfremd. Sie haben also nur den trivialen ggT eins, den wir in der Schule gerne auch scherzhaft als "kleinsten gemeinsamen Teiler" bezeichnen, und das kgV ist ganz einfach ihr Produkt:

ggT(4; 5) = 1 und kgV(4; 5) = 20

Der ggT empfiehlt in diesem Fall gewissermaßen, dass wir die Menge für vier Personen erst vierteln, um die Menge für eine Person zu erhalten und diese anschließend verfünffachen. Hierbei handelt es sich um den klassischen Dreisatz, bei der wir zuerst die Einheitsgröße ermitteln, weil diese anschließend auf eine beliebige andere Größe vervielfacht werden kann. Das kgV wiederum geht quasi in die andere Richtung. Wir verfünffachen erst die Menge für vier Personen, erhalten dadurch zunächst die Menge für zwanzig und vierteln diese, um schlussendlich die Menge für nur fünf Personen zu erhalten.

Als Nächstes schauen wir uns ein anderes Zahlepaar an, bei dem eine der beiden Zahlen ein gemeinsamer Teiler und die andere ein gemeinsames Vielfaches ist:

ggT(4; 8) = 4 und kgV(4; 8) = 8

Sowohl der ggT, als auch das kgV sagen uns, dass wir die Menge für vier Personen lediglich verdoppeln müssen, um die Menge für acht Personen zu erhalten bzw. dass wir die Menge für acht Personen halbieren müssen, um die Menge für vier Personen zu erhalten. Das dürfte aber höchstwahrscheinlich auch ohne die Berechnung von ggT und kgV bereits klar gewesen sein. In diesem Fall ist es also möglich, direkt zur Lösung zu kommen ohne den Umweg auf eine andere Menge zu nehmen.

Zum Schluss betrachten wir noch den letzten Fall, bei dem das Zahlenpaar zwar einen gemeinsamen nichttrivialen Teiler hat, aber keine der beiden Zahlen ein Vielfaches der anderen ist:

 ggT(4; 6) = 2 und kgV(4; 6) = 12

In diesem Fall wäre es möglich, die Menge für vier Personen erst zu halbieren und anschließend zu verdreifachen oder erst zu verdreifachen und anschließend zu halbieren, um auf jene für sechs Personen zu kommen. Umgekehrt könnten wir die Menge für sechs Personen erst dritteln und dann verdoppeln oder erst verdoppeln und dann dritteln, um auf jene für vier Personen zu kommen. In diesem Fall benötigen wir also ebenfalls einen Zwischenschritt auf eine ganzzahlige andere Menge, aber dabei muss es sich, wie wir eben gezeigt haben, nicht zwingend um die Einheitsgröße handeln.

Wir fassen zusammen: Insofern wir zumindest beim Verhältnis ganzzahlig bleiben wollen, sagt uns der ggT, ob es unbedingt nötig ist, zuerst auf die Einheitsgröße herunter zu rechnen und dann zu vervielfältigen oder nicht, weil die eine Menge bereits ein Vielfaches der anderen ist. Falls der ggT gleich eins ist, können wir mit dem klassischen Dreisatz arbeiten, aber falls nicht, geht es unter Umständen schneller, und zwar dann, wenn der ggT eine der beiden Zahlen ist. Falls der ggT wiederum weder eins, noch eine der beiden Zahlen ist, können wir, falls gewünscht, stattdessen auch auf eine andere Zwischengröße herunterrechnen.

Das kgV wiederum sagt uns ebenfalls etwas über die mögliche Vorgehensweise. Wir können allgemein das Produkt der beiden Zahlen bilden und anschließenddirekt auf die gesuchte Menge herunterrechnen, in dem wir durch die ursprüngliche Menge dividieren. Manchmal ist es aber auch möglich, direkt auf die gesuchte Menge zu schließen, und zwar dann, wenn das kgV eine der beiden Zahlen ist. Falls die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind, gibt es auch ein kleineres ganzzahliges Vielfaches als das Produkt der beiden Zahlen, was uns in der Praxis unter Umständen die Arbeit erleichtert.

Johannes C. Huber (begrüßt es, wenn Kinder beim Lernen ihre eigenen Entdeckungen machen)

Mathemagische Kartentricks Teil 9

Thema: Kartentricks und Zahlenfolgen

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Wir lassen unser Gegenüber zwei Karten ziehen und bitten darum, uns die Summe der beiden Karten zu nennen, woraufhin wir sofort sagen können, um welche es sich handelt. Der Name dieses Tricks von Colm Mulcahy (2013) ist Little Fibs. Dabei handelt es sich um ein Wortspiel, weil das englische Wort fib einerseits Schwindelei bedeutet und andererseits eine Referenz auf die Fibonacci-Zahlen darstellt:

F(0) = 0        F(1) = 1        n > 1 : F(n) = F(n – 1) + F(n – 2)

Wir haben nämlich für die Ziehung zu Beginn nur eine ganz bestimmte Teilmenge des Decks zur Verfügung gestellt, und zwar: {A; 2; 3; 5; 8; K}. Ihre Ränge entsprechen den folgenden Fibonacci-Zahlen: {F(1) = F(2) = 1; F(3) = 2; F(4) = 3; F(5) = 5; F(6) = 8; F(7) = 13}.

 
Wir haben eine gewisse Vorauswahl getroffen. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die Fibonacci-Zahlen stellen eine sogenannte Sidon-Folge dar und haben die praktische Eigenschaft, dass jede Summe zweier ihrer Folgenglieder verschieden von allen anderen ist. Wir können also problemlos von der Summe auf die beiden Summanden schließen, weil jedes Ergebnis nur durch zwei der sechs Zahlen zustande kommt: {3 = 1 + 2; 4 = 1 + 3; 5 = 2 + 3; 6 = 1 + 5; 7 = 2 + 5; 8 = 3 + 5; 9 = 1 + 8; 10 = 2 + 8; 11 = 3 + 8; 13 = 5 + 8; 14 = 1 + 13; 15 = 2 + 13; 16 = 3 + 13; 18 = 5 + 13; 21 = 8 + 13}.

Im Original wird zusätzlich dazu noch die jeweilige Spielfarbe vorhergesagt. Dazu legen wir uns vorab auf eine bestimmte Reihenfolge fest, die wir auswendig können müssen. Mulcahy verwendet die sogenannte CHaSeD-Sortierung, was für die Reihenfolge clubs-hearts-spades-diamonds bzw. auf Deutsch Kreuz-Herz-Pik-Karo steht und in diesem Fall zu folgenden Karten führt: ♣A-♥2-♠3-♦5-♣8-♥K.

Mulcahy merkt an, dass stattdessen auch die sechs Karten einer Spielfarbe genommen werden können, damit man sich nicht extra merken muss, welche Karte zu welcher Farbe gehört. Das hat den Vorteil, dass die Durchführung des Tricks vereinfacht wird, was ihn für leistungsschwächere Lernende zugänglicher macht. Ein Nachteil ist wiederum, dass er so womöglich weniger Eindruck schindet und außerdem einfacher zu durchschauen ist. Insbesondere bei wiederholter Durchführung wird nämlich schnell offensichtlich, dass alle gezogenen Karten dieselbe Spielfarbe aufweisen.

Er schlägt folgende Impulsfragen vor, die man den Lernenden stellen kann, sobald ihnen die Funktionsweise erklärt wurde:

Funktioniert der Trick auch noch, wenn drei der sechs Karten gezogen werden? 

Ja, aber dann kann folgender Fall eintreten, bei dem nicht eindeutig gesagt werden kann, um welche drei Karten es sich handelt: 1+2+13 = 3+5+8. Mulcahy schlägt vor, in diesem Fall ein kleines Wortgeplänkel einzubauen, das darauf abzielt, eine der Spielfarben herauszufinden, um dadurch auf die drei Karten zu schließen.

Funktioniert der Trick auch, wenn vier der sechs Karten gezogen werden? 

Ja, und es ist sogar, wie Mulcahy es formuliert, doppelt so beeindruckend, aber nur halb so schwierig, da wir lediglich die Summe der Ränge von der Gesamtsumme abziehen müssen. Mit dem Rest machen wir anschließend  dasselbe wie bei der Variante mit nur zwei Karten. Dadurch wissen wir, welche Karten nicht gezogen wurden und dementsprechend auch, um welche vier Karten es sich handelt. Als Hilfestellung empfiehlt er, die Lernenden aufzufordern, die Gesamtsumme aller sechs Karten zu bestimmen.

Gibt es noch weitere Zahlenmengen, für die der Trick mit zwei Karten funktioniert?

Ja, denn eine vergleichsweise einfache und artverwandte Möglichkeit wäre eine Teilmenge der sogenannten Tribonacci-Zahlen, bei denen jede Zahl, ähnlich wie bei den Fibonacci-Zahlen, aus der Summe der drei statt nur zwei vorangehenden gebildet wird:

T(0) = 0        T(1) = T(2) = 1        n > 3 : T(n) = T(n – 1) + T(n – 2) + T(n – 3)

Falls wir unbedingt sechs Zahlen haben möchten, bieten sich folgende Tribonacci-Zahlen an: {T(0) = 0; T(1) = T(2) = 1; T(3) = 2; T(4) = 4; T(5) = 7; T(6) = 13}, wobei für die Null zum Beispiel ein Joker verwendet werden könnte und folgende Karten infrage kommen: {J; A; 2; 4; 7; K}. Wir können stattdessen auch gewissermaßen die Reihenfolge umkehren und die Fibonacci-Zahlen als Differenzen betrachten, die wir von 14 abziehen: {1; 6; 9; 11; 12; 13}. Dasselbe lässt sich auch mit den Tribonacci-Zahlen bewerkstelligen, indem wir sie als Differenzen betrachten, die wir von 13 abziehen: {0; 6; 9; 11; 12; 13}.

Welche Möglichkeiten gibt es, wenn wir nur fünf statt sechs Zahlen zur Verfügung haben? 

Eine naheliegende Strategie ist, einfach eine der sechs Zahlen zu entfernen:

• {1; 2; 3; 5; 8}
• {1; 2; 3; 5; 13}
• {1; 2; 3; 8; 13}
• {1; 2; 5; 8; 13}
• {1; 3; 5; 8; 13}
• {2; 3; 5; 8; 13}

Es gibt allerdings auch noch andere Möglichkeiten (ohne Anspruch auf Vollständigkeit):

• {1; 3; 4; 7; 11} (Lukas-Zahlen ohne 2)
• {2; 3; 5; 7; 11} (Primzahlen)
• {1; 2; 4; 6; 10} (Primzahlen minus 1)
• {0; 1; 2; 5; 12} (Pell-Zahlen)
• {0; 1; 3; 5; 11} (Jacobsthal-Zahlen)
• {1; 3; 5; 8; 9}
• {1; 2; 5; 7; 13}

Falls auch weniger Zahlen zulässig sind, bieten sich unter anderem auch noch die Potenzen der Zahlen zwei {1; 2; 4; 8} und drei {1; 3; 9} an.

Gibt es, abgesehen von der Addition, noch andere Rechenoperationen, die einen eindeutigen Rückschluss auf zwei Zahlen zulassen?

Ja, denn ein naheliegendes Beispiel wäre die Multiplikation mit den ersten sechs Primzahlen: {2; 3; 5; 7; 11; 13}. Bei der Subtraktion oder Division hingegen kommt erschwerend hinzu, dass die Reihenfolge der Zahlen eine Rolle spielt. Darüber hinaus funktioniert die Multiplikation auch mit folgenden Zahlenmengen:

• {1; 2; 3; 4; 5; 7}
• {1; 2; 3; 4; 5; 9}
• {1; 2; 3; 4; 5; 11}
• {1; 2; 3; 4; 5; 13}

Bei dieser Variante des Tricks beschränken wir uns auf eine Ziehung, aber der Trick kann unter anderem mit verschiedenen Mischtechniken, wie beispielsweise durch das Zurückhalten der sechs Karten beim Bogenmischen, noch weiter ausgeschmückt werden. Die wesentliche Erkenntnis sollte jedenfalls sein, dass es bestimmte Zahlenmengen gibt, die sich für eine derartige Codierung von Informationen eignen und man diese auch variieren kann, um die Funktionsweise des Tricks besser zu verschleiern. Falls auch mit Computern gearbeitet wird, sollten die Lernenden dazu animiert werden, mit Tabellenkalkulation zu arbeiten, um verschiedene Zahlenmengen zu testen.

Johannes C. Huber (verlieh seiner Defensio mit der Vorführung dieses Tricks ein wenig Flair)

Quellen:

• Mulcahy C. (2013): Little Fibs; In: Mathematical Card Magic: Fifty-Two New Effects, 89-93; Chapman & Hall/CRC Press.