Unverhältnismäßig verhältnismäßig

Thema: Kochrezepte und Zahlentheorie

Wenn wir ein Verhältnis in ein anderes umwandeln wollen, dann können wir das mit einer Gleichung machen, die wir unter anderem auch Proportion, Dreisatz, Schlussrechnung oder einfach Verhältnisgleichung nennen. Im Schulunterricht müssen in diesem Zusammenhang häufig Zutatenmengen für Kochrezepte angepasst werden. Bei solchen Aufgaben geht es beispielsweise darum, bei der Menge Rindfleisch (75 dag) von den Zutaten für ein Gulasch von jener für vier Personen auf jene für fünf zu schließen. Wir können dafür eine Gleichung aufstellen und diese anschließend nach x auflösen:

4 : 5 = 75 : x
4x = 375
x = 93,75

Einer meiner ehemaligen Schüler hat bei der Suche nach einer eigenen Lösungsstrategie erkannt, dass uns dabei der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache (in weiterer Folge kurz: ggT und kgV) behilflich sein können. Als er mir seine Vorgehensweise geschildert hat, war mir zunächst nicht ganz klar, worauf er eigentlich hinausmöchte. Daraus hat sich in weiterer Folge ein für beide Seiten sehr bereicherndes Gespräch über den Lehrstoff ergeben. Da solche Situationen in meinem Alltag eher selten vorkommen, begrüße ich es umso mehr, wenn es doch einmal dazu kommt, weil es einer der besonders schönen Aspekte meiner Arbeit als Lehrkraft ist. In diesem Beitrag möchte ich seine Funde erläutern.

Unser Zahlenpaar vier und fünf aus der oben beschriebenen Aufgabe sind teilerfremd. Sie haben also nur den trivialen ggT eins, den wir in der Schule gerne auch scherzhaft als "kleinsten gemeinsamen Teiler" bezeichnen, und das kgV ist ganz einfach ihr Produkt:

ggT(4; 5) = 1 und kgV(4; 5) = 20

Der ggT empfiehlt in diesem Fall gewissermaßen, dass wir die Menge für vier Personen erst vierteln, um die Menge für eine Person zu erhalten und diese anschließend verfünffachen. Hierbei handelt es sich um den klassischen Dreisatz, bei der wir zuerst die Einheitsgröße ermitteln, weil diese anschließend auf eine beliebige andere Größe vervielfacht werden kann. Das kgV wiederum geht quasi in die andere Richtung. Wir verfünffachen erst die Menge für vier Personen, erhalten dadurch zunächst die Menge für zwanzig und vierteln diese, um schlussendlich die Menge für nur fünf Personen zu erhalten.

Als Nächstes schauen wir uns ein anderes Zahlepaar an, bei dem eine der beiden Zahlen ein gemeinsamer Teiler und die andere ein gemeinsames Vielfaches ist:

ggT(4; 8) = 4 und kgV(4; 8) = 8

Sowohl der ggT, als auch das kgV sagen uns, dass wir die Menge für vier Personen lediglich verdoppeln müssen, um die Menge für acht Personen zu erhalten bzw. dass wir die Menge für acht Personen halbieren müssen, um die Menge für vier Personen zu erhalten. Das dürfte aber höchstwahrscheinlich auch ohne die Berechnung von ggT und kgV bereits klar gewesen sein. In diesem Fall ist es also möglich, direkt zur Lösung zu kommen ohne den Umweg auf eine andere Menge zu nehmen.

Zum Schluss betrachten wir noch den letzten Fall, bei dem das Zahlenpaar zwar einen gemeinsamen nichttrivialen Teiler hat, aber keine der beiden Zahlen ein Vielfaches der anderen ist:

 ggT(4; 6) = 2 und kgV(4; 6) = 12

In diesem Fall wäre es möglich, die Menge für vier Personen erst zu halbieren und anschließend zu verdreifachen oder erst zu verdreifachen und anschließend zu halbieren, um auf jene für sechs Personen zu kommen. Umgekehrt könnten wir die Menge für sechs Personen erst dritteln und dann verdoppeln oder erst verdoppeln und dann dritteln, um auf jene für vier Personen zu kommen. In diesem Fall benötigen wir also ebenfalls einen Zwischenschritt auf eine ganzzahlige andere Menge, aber dabei muss es sich, wie wir eben gezeigt haben, nicht zwingend um die Einheitsgröße handeln.

Wir fassen zusammen: Insofern wir zumindest beim Verhältnis ganzzahlig bleiben wollen, sagt uns der ggT, ob es unbedingt nötig ist, zuerst auf die Einheitsgröße herunter zu rechnen und dann zu vervielfältigen oder nicht, weil die eine Menge bereits ein Vielfaches der anderen ist. Falls der ggT gleich eins ist, können wir mit dem klassischen Dreisatz arbeiten, aber falls nicht, geht es unter Umständen schneller, und zwar dann, wenn der ggT eine der beiden Zahlen ist. Falls der ggT wiederum weder eins, noch eine der beiden Zahlen ist, können wir, falls gewünscht, stattdessen auch auf eine andere Zwischengröße herunterrechnen.

Das kgV wiederum sagt uns ebenfalls etwas über die mögliche Vorgehensweise. Wir können allgemein das Produkt der beiden Zahlen bilden und anschließenddirekt auf die gesuchte Menge herunterrechnen, in dem wir durch die ursprüngliche Menge dividieren. Manchmal ist es aber auch möglich, direkt auf die gesuchte Menge zu schließen, und zwar dann, wenn das kgV eine der beiden Zahlen ist. Falls die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind, gibt es auch ein kleineres ganzzahliges Vielfaches als das Produkt der beiden Zahlen, was uns in der Praxis unter Umständen die Arbeit erleichtert.

Johannes C. Huber (begrüßt es, wenn Kinder beim Lernen ihre eigenen Entdeckungen machen)

Mathemagische Kartentricks Teil 9

Thema: Kartentricks und Zahlenfolgen

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Wir lassen unser Gegenüber zwei Karten ziehen und bitten darum, uns die Summe der beiden Karten zu nennen, woraufhin wir sofort sagen können, um welche es sich handelt. Der Name dieses Tricks von Colm Mulcahy (2013) ist Little Fibs. Dabei handelt es sich um ein Wortspiel, weil das englische Wort fib einerseits Schwindelei bedeutet und andererseits eine Referenz auf die Fibonacci-Zahlen darstellt:

F(0) = 0        F(1) = 1        n > 1 : F(n) = F(n – 1) + F(n – 2)

Wir haben nämlich für die Ziehung zu Beginn nur eine ganz bestimmte Teilmenge des Decks zur Verfügung gestellt, und zwar: {A; 2; 3; 5; 8; K}. Ihre Ränge entsprechen den folgenden Fibonacci-Zahlen: {F(1) = F(2) = 1; F(3) = 2; F(4) = 3; F(5) = 5; F(6) = 8; F(7) = 13}.

 
Wir haben eine gewisse Vorauswahl getroffen. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die Fibonacci-Zahlen stellen eine sogenannte Sidon-Folge dar und haben die praktische Eigenschaft, dass jede Summe zweier ihrer Folgenglieder verschieden von allen anderen ist. Wir können also problemlos von der Summe auf die beiden Summanden schließen, weil jedes Ergebnis nur durch zwei der sechs Zahlen zustande kommt: {3 = 1 + 2; 4 = 1 + 3; 5 = 2 + 3; 6 = 1 + 5; 7 = 2 + 5; 8 = 3 + 5; 9 = 1 + 8; 10 = 2 + 8; 11 = 3 + 8; 13 = 5 + 8; 14 = 1 + 13; 15 = 2 + 13; 16 = 3 + 13; 18 = 5 + 13; 21 = 8 + 13}.

Im Original wird zusätzlich dazu noch die jeweilige Spielfarbe vorhergesagt. Dazu legen wir uns vorab auf eine bestimmte Reihenfolge fest, die wir auswendig können müssen. Mulcahy verwendet die sogenannte CHaSeD-Sortierung, was für die Reihenfolge clubs-hearts-spades-diamonds bzw. auf Deutsch Kreuz-Herz-Pik-Karo steht und in diesem Fall zu folgenden Karten führt: ♣A-♥2-♠3-♦5-♣8-♥K.

Mulcahy merkt an, dass stattdessen auch die sechs Karten einer Spielfarbe genommen werden können, damit man sich nicht extra merken muss, welche Karte zu welcher Farbe gehört. Das hat den Vorteil, dass die Durchführung des Tricks vereinfacht wird, was ihn für leistungsschwächere Lernende zugänglicher macht. Ein Nachteil ist wiederum, dass er so womöglich weniger Eindruck schindet und außerdem einfacher zu durchschauen ist. Insbesondere bei wiederholter Durchführung wird nämlich schnell offensichtlich, dass alle gezogenen Karten dieselbe Spielfarbe aufweisen.

Er schlägt folgende Impulsfragen vor, die man den Lernenden stellen kann, sobald ihnen die Funktionsweise erklärt wurde:

Funktioniert der Trick auch noch, wenn drei der sechs Karten gezogen werden? 

Ja, aber dann kann folgender Fall eintreten, bei dem nicht eindeutig gesagt werden kann, um welche drei Karten es sich handelt: 1+2+13 = 3+5+8. Mulcahy schlägt vor, in diesem Fall ein kleines Wortgeplänkel einzubauen, das darauf abzielt, eine der Spielfarben herauszufinden, um dadurch auf die drei Karten zu schließen.

Funktioniert der Trick auch, wenn vier der sechs Karten gezogen werden? 

Ja, und es ist sogar, wie Mulcahy es formuliert, doppelt so beeindruckend, aber nur halb so schwierig, da wir lediglich die Summe der Ränge von der Gesamtsumme abziehen müssen. Mit dem Rest machen wir anschließend  dasselbe wie bei der Variante mit nur zwei Karten. Dadurch wissen wir, welche Karten nicht gezogen wurden und dementsprechend auch, um welche vier Karten es sich handelt. Als Hilfestellung empfiehlt er, die Lernenden aufzufordern, die Gesamtsumme aller sechs Karten zu bestimmen.

Gibt es noch weitere Zahlenmengen, für die der Trick mit zwei Karten funktioniert?

Ja, denn eine vergleichsweise einfache und artverwandte Möglichkeit wäre eine Teilmenge der sogenannten Tribonacci-Zahlen, bei denen jede Zahl, ähnlich wie bei den Fibonacci-Zahlen, aus der Summe der drei statt nur zwei vorangehenden gebildet wird:

T(0) = 0        T(1) = T(2) = 1        n > 3 : T(n) = T(n – 1) + T(n – 2) + T(n – 3)

Falls wir unbedingt sechs Zahlen haben möchten, bieten sich folgende Tribonacci-Zahlen an: {T(0) = 0; T(1) = T(2) = 1; T(3) = 2; T(4) = 4; T(5) = 7; T(6) = 13}, wobei für die Null zum Beispiel ein Joker verwendet werden könnte und folgende Karten infrage kommen: {J; A; 2; 4; 7; K}. Wir können stattdessen auch gewissermaßen die Reihenfolge umkehren und die Fibonacci-Zahlen als Differenzen betrachten, die wir von 14 abziehen: {1; 6; 9; 11; 12; 13}. Dasselbe lässt sich auch mit den Tribonacci-Zahlen bewerkstelligen, indem wir sie als Differenzen betrachten, die wir von 13 abziehen: {0; 6; 9; 11; 12; 13}.

Welche Möglichkeiten gibt es, wenn wir nur fünf statt sechs Zahlen zur Verfügung haben? 

Eine naheliegende Strategie ist, einfach eine der sechs Zahlen zu entfernen:

• {1; 2; 3; 5; 8}
• {1; 2; 3; 5; 13}
• {1; 2; 3; 8; 13}
• {1; 2; 5; 8; 13}
• {1; 3; 5; 8; 13}
• {2; 3; 5; 8; 13}

Es gibt allerdings auch noch andere Möglichkeiten (ohne Anspruch auf Vollständigkeit):

• {1; 3; 4; 7; 11} (Lukas-Zahlen ohne 2)
• {2; 3; 5; 7; 11} (Primzahlen)
• {1; 2; 4; 6; 10} (Primzahlen minus 1)
• {0; 1; 2; 5; 12} (Pell-Zahlen)
• {0; 1; 3; 5; 11} (Jacobsthal-Zahlen)
• {1; 3; 5; 8; 9}
• {1; 2; 5; 7; 13}

Falls auch weniger Zahlen zulässig sind, bieten sich unter anderem auch noch die Potenzen der Zahlen zwei {1; 2; 4; 8} und drei {1; 3; 9} an.

Gibt es, abgesehen von der Addition, noch andere Rechenoperationen, die einen eindeutigen Rückschluss auf zwei Zahlen zulassen?

Ja, denn ein naheliegendes Beispiel wäre die Multiplikation mit den ersten sechs Primzahlen: {2; 3; 5; 7; 11; 13}. Bei der Subtraktion oder Division hingegen kommt erschwerend hinzu, dass die Reihenfolge der Zahlen eine Rolle spielt. Darüber hinaus funktioniert die Multiplikation auch mit folgenden Zahlenmengen:

• {1; 2; 3; 4; 5; 7}
• {1; 2; 3; 4; 5; 9}
• {1; 2; 3; 4; 5; 11}
• {1; 2; 3; 4; 5; 13}

Bei dieser Variante des Tricks beschränken wir uns auf eine Ziehung, aber der Trick kann unter anderem mit verschiedenen Mischtechniken, wie beispielsweise durch das Zurückhalten der sechs Karten beim Bogenmischen, noch weiter ausgeschmückt werden. Die wesentliche Erkenntnis sollte jedenfalls sein, dass es bestimmte Zahlenmengen gibt, die sich für eine derartige Codierung von Informationen eignen und man diese auch variieren kann, um die Funktionsweise des Tricks besser zu verschleiern. Falls auch mit Computern gearbeitet wird, sollten die Lernenden dazu animiert werden, mit Tabellenkalkulation zu arbeiten, um verschiedene Zahlenmengen zu testen.

Johannes C. Huber (verlieh seiner Defensio mit der Vorführung dieses Tricks ein wenig Flair)

Quellen:

• Mulcahy C. (2013): Little Fibs; In: Mathematical Card Magic: Fifty-Two New Effects, 89-93; Chapman & Hall/CRC Press.

Von der hohen Kunst im Kreis zu fahren

Thema: Mario Kart und Kreisteile

Ich arbeite in meinen Mathematikstunden gerne hin und wieder mit Inhalten aus der Welt der Videospiele. Um meinen Lernenden die Kreisbestandteile bei zusammengesetzten Flächen näherzubringen, haben wir uns unter anderem verschiedene Grundrisszeichungen angeschaut. Ein einfaches Beispiel dafür ist die Rennstrecke Baby Park aus der Spielreihe Mario Kart.

Verlauf der Rennstrecke in Mario Kart 8 (Bildquelle: Mario Kart Wiki)

Für meine Aufgabenstellung waren zumindest grobe Streckenmaße nötig. Selbstverständlich hätte ich mir einfach irgendetwas ausdenken können, aber ich konnte es wieder einmal nicht lassen und wollte es genau wissen. Da es im Internet unzählige Hintergrundinformationen über die Spielreihe gibt, bin ich davon überzeugt gewesen, dass sich auch etwas über die Länge der Rennstrecke herausfinden lässt. Also habe ich mich voller Zuversicht auf die Suche gemacht, aber nirgends in den diversen Wikis, Foren und Blogbeiträgen gab es auch nur ansatzweise Informationen über die im Spiel gefahrenen Distanzen. Ein berechtiger Einwand wäre freilich, dass es sich um ein Videospiel handelt, dessen Elemente ohnehin nicht allzu realistisch sind, aber das Programm müsste doch zumindest mit irgendeinem Referenzwert arbeiten, den ich für eine Berechnung verwenden kann.

Beim Vorgänger Mario Kart 64 gibt es nämlich durchaus Angaben zu den Längen der verschiedenen Strecken. Die längste davon ist Rainbow Road mit anscheinend genau zweitausend Metern. Um nun für den Baby Park eine halbwegs zuverlässige Schätzung machen zu können, habe ich mir zunächst einmal die Rekorde beim Zeitfahren auf den beiden Strecken angeschaut. Für drei Runden auf der Strecke Rainbow Road werden aktuell mindestens 4'51"87 ≙ 291,87 Sekunden (NTSC-Version) bzw. 5'50"95 ≙ 350,95 Sekunden (PAL-Version) benötigt. Um die Zeiten der NTSC- und der PAL-Version ineinander umzuwandeln wird der Änderungsfaktor 1,2024 verwendet, aber ich werde in weiterer Folge ohnehin beide Varianten bei der Berechnung berücksichtigen.

Es gibt zwar auch separat aufgelistete Rekordzeiten für einzelne Runden, aber da die dafür erforderliche Geschwindigkeit vermutlich nicht in allen Runden des Zeitfahrens beibehalten werden kann, ist es vermutlich besser, mit der durchschnittlichen Rundenzeit zu arbeiten. Diese beträgt demnach 97,29 bzw. ungefähr 116,98 Sekunden, woraus wir folgende Durchschnittsgeschwindigkeiten ableiten können:

2 000 m : 97,29 s ≈ 20,56 m/s (NTSC) bzw. 2 000 m : 116,98 s ≈ 17,01 m/s (PAL)

Die Strecke Baby Park wiederum kommt gleich mehreren Ablegern der Spielreihe vor und die entsprechenden Zeitrekorde lauten aktuell wie folgt:

• Mario Kart Double Dash: 01' 02'' 358 ≙ 62,358 Sekunden
• Mario Kart DS: 00' 42'' 320 ≙ 43,32 Sekunden
• Mario Kart 8: 01' 02'' 403 ≙ 62,403 Sekunden
• Mario Kart 8 Deluxe: 01' 01'' 836 ≙ 61,836 Sekunden

Wir müssen dabei berücksichtigen, dass im Spiel Mario Kart DS lediglich fünf statt der sonst üblichen sieben Runden gefahren werden müssen. Die durchschnittliche Rundenzeit beträgt quer durch alle Titel (62,358 + 43,32 + 62,403 + 61,836) : (7 + 5 + 7 + 7) = 228,917 : 26 = 8,8045 Sekunden, womit wir hoffentlich einen recht passablen Schätzwert für die gesuchte Streckenlänge erhalten:

20,56 m/s ⋅ 8,8045 s ≈ 181 m (NTSC) bzw. 17,01 m/s ⋅ 8,8045 s ≈ 150 m (PAL)

Die Strecke Baby Park dürfte also ungefähr zwischen 150 und 180 Meter lang sein. Ihr Verlauf setzt sich aus zwei geraden Abschnitten und zwei annähernd halbkreisförmigen Kurven zusammen:

Verlauf der Rennstrecke Baby Park aus Mario Kart DS (Bildquelle: Spriters Resource) 

Um anschließend zusätzlich zur Streckenlänge noch die Breite der Fahrbahn zu bestimmen, habe ich mit dem Bildbearbeitungsprogramm GIMP gearbeitet. Meine Vorgehensweise war im Grunde recht simpel: Ich habe zunächst einen Bildausschnitt mit der Länge der Fahrbahnbreit y markiert und mehrmals kopiert, um zu überprüfen, wie oft er auf die geraden Abschnitte passt. Sie hat dort in Summe etwas mehr als elfmal Platz. Wir gehen in weiterer Folge davon aus, dass die Streckenlängen in der Mitte der Fahrbahn gemessen werden. Die Radien der beiden Halbkreise, auf denen die Kurven liegen, haben die 1,2-fache Länge der Fahrbahnbreite, da ihre Mittelpunkte auf der Grünfläche im Inneren der Strecke liegen. Insgesamt kommen wir damit auf folgende Gesamtlängen:

181 m = (11,2 + 1,2π) ⋅ y m = 14,97y m ≈ 15y m → y ≈ 12 m (NTSC) 

150 m = (11,2 + 1,2π) ⋅ y m = 14,97y m ≈ 15y m → y ≈ 10 m (PAL)

Die Fahrbahn dürfte also zwischen zehn und zwölf Meter breit sein. Nun haben wir alles für die Angabe der eigentlichen Aufgabenstellung beisammen. Eine Schülerin hat gleich zu Beginn richtigerweise erkannt, dass nicht eindeutig ist, nach welcher Länge wir suchen, weil es ja einen Unterschied macht, ob wir innen oder außen unterwegs sind. Darauf wollte ich auch hinaus, also habe ich vorgeschlagen, dass die Kinder den Unterschied zwischen der inneren und äußeren Streckenlänge ermitteln sollen.

Der Unterschied zwischen den gefahrenen Distanzen auf einer solchen Strecke übersteigt übrigens niemals einen bestimmten Wert, bei dem wieder einmal unsere Kreiszahl Pi eine tragende Rolle spielt wie wir gleich sehen werden. Er ist tatsächlich nicht allzu groß, aber nichtsdestotrotz können wir uns einen Vorteil verschaffen, wenn wir stets auf der Innenseite unterwegs sind. Aus diesem Grund sind beispielsweise die Linien auf unterschiedlichen Bahnen bei Wettläufen um genau diesen Abstand versetzt:

Laufbahnen mit versetzten Startpositionen (Bildquelle: Freepik)

Doch wie viel Unterschied macht es nun genau? Die geraden Abschnitte sind innen und außen gleich lang, also ist es dort grundsätztlich egal, auf welcher Seite man fährt. Die kurvigen Abschnitte wiederum sind nichts anderes als Kreissektoren. Es gibt dort zwar Längenunterschiede, und zwar je nachdem, ob man innen oder außen fährt, aber diese heben sich großteils gegenseitig wieder auf, wenn die Kurven in unterschiedliche Richtungen gehen. Falls beispielsweise auf eine 90°-Kurve nach links eine 90°-Kurve nach rechts folgt, dann ist die gefahrene Distanz innen und außen am Ende wieder gleich lang.

Solange eine Fahrbahn sich nicht selbst kreuzt, überall gleich breit und flach sowie in sich geschlossen ist, können wir die orientierten Innenwinkel aller Kurven bzw. Kreissektoren zusammenzählen und werden feststellen, dass am Ende stets ein einziger voller Kreis übrig bleibt, dessen Umfang bekanntlich 2π mal seinem Radius entspricht. In diesem Fall ist dieser Radius einfach die Breite der Fahrbahn. Kurz gesagt: Rennstrecken, die dort enden, wo sie angefangen haben und sich nicht selbst schneiden sind also letztendlich nichts anderes als ein verformter Kreisverkehr. 

Johannes C. Huber (muss noch einen Kuchen für den Pi-Day mit seiner Klasse backen) 

Quellen:

• Stewart I. (2008): Ringstraßendreh. In: Professor Stewarts mathematisches Sammelsurium (3. Auflage 2016)
• Länge der Strecken in Mario Kart 64 (letzter Aufruf 14.03.2026)
• Streckenzeitrekorde:
  
• Mario Kart 64 (letzter Aufruf 14.03.2026)
• Mario Kart Double Dash (letzter Aufruf 14.03.2026)
• Mario Kart DS (letzter Aufruf 14.03.2026)
• Mario Kart 8 (letzter Aufruf 14.03.2026)
• Mario Kart 8 Deluxe (letzter Aufruf 14.03.2026)

Mathemagische Kartentricks Teil 8

Thema: Kartentricks und Parität

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Liljedahl nennt diesen Trick Piano Fingers, aber er ist allgemein schlicht als Piano-Trick bekannt, weil die Haltung der Finger beim Platzieren der Karten so aussieht, als ob jemand Klavier spielt. Er kann bereits mit Kindern im Volksschulalter durchgeführt werden. Zu Beginn bitten wir unser Gegenüber, beide Hände auszustrecken und dabei die Finger auseinander zu spreizen. Dann platzieren wir der Reihe nach Kartenpaare zwischen den Fingern. Es spielt dabei keine Rolle, ob wir mit der linken oder rechten Hand beginnen. Zwischen den letzten beiden Fingern wird nur eine einzelne Karte platziert:

Ausgangslage (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Im nächsten Schritt nehmen wir die Kartenpaare der Reihe nach wieder zwischen den Fingern heraus, trennen sie voneinander und bilden damit zwei gleich große Stapel bis schließlich die einzelne Karte übrig bleibt. Unser Gegenüber darf sich nun aussuchen, auf welchen der beiden Stapel diese verbleibende Karte gelegt werden soll. Dem Anschein nach sollte diese zusätzliche Karte dazu führen, dass die Anzahl der Karten im jeweiligen Stapel ungerade wird. Diese Vermutung lässt sich jedoch widerlegen, indem man zeigt, dass daraus vier Paare gebildet werden können, während das beim anderen Stapel nicht funktioniert.

Eine Portion gesundes Misstrauen ist angebracht, um die Funktionsweise des Tricks zu entlarven. Zunächst sollten wir ergründen, wie viele Karten insgesamt involviert sind. An jeder Hand befinden sich vier Zwischenräume. Dort platzieren wir siebenmal jeweils zwei Karten, aber im letzten nur eine und kommen somit auf 7 · 2 + 1 = 15. Wenn wir jene Karte abziehen, die am Ende dazugelegt wird, sind es vierzehn Karten aufgeteilt auf zwei gleich große Stapel mit jeweils sieben Karten. Die Gesamtanzahl der Karten ist also gerade, aber die Anzahl der Karten in den einzelnen Stapeln nicht.

Es macht folglich keinen Unterschied, auf welchen Stapel wir die verbleibende Karte legen, da die Anzahl der Karten dort dadurch automatisch gerade wird und wir behaupten nur fälschlicherweise, dass beide bereits zuvor eine gerade Anzahl an Karten enthalten. Der Trick gelingt uns nur, wenn das Publikum dieser Behauptung Glauben schenkt und dadurch einem Trugschluss unterliegt. Da der Trick auf der Parität der Kartenanzahl, d. h. ob diese gerade oder ungerade ist, basiert, wird er auf Englisch treffenderweise auch als the odd piano-duet bezeichnet. Wir könnten das in die deutsche Sprache als das eigenartige Piano-Duett übersetzen. Dieser Name wird zwar möglicherweise der dabei entstehenden Verwunderung gerecht, aber leider geht dabei auch ein Hinweis auf die Funktionsweise verloren.

Johannes C. Huber (musste beim Üben feststellen, dass die Durchführung alleine recht schwierig ist)

Quellen:

• Adrion A. (2016): Das verschwundene Kaninchen und andere mathematische Tricks; Dumont. Neuauflage der deutsche Übersetzung aus dem Jahr 1981 von Gardner M. (1956): Mathematics, Magic and Mystery; Dover. 

 

Mathemagische Kartentricks Teil 7

Thema: Kartentricks und Terme

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Liljedahl nennt diesen Trick Rearrange 10, während er bei Gardner als das vorhergesagte Umstecken übersetzt wird. Wir benötigen dafür zehn Karten von Ass bis Zehn, aber er kann auch mit einer größeren Anzahl durchgeführt werden. Die Spielfarbe der Karten ist zwar nebensächlich, aber es sieht unter Umständen schöner aus, wenn wir nur eine davon verwenden. Zu Beginn legen wir die Karten in aufsteigender Reihenfolge nebeneinander auf. Wir gehen in weiterer Folge davon aus, dass die Karte mit dem niedrigsten Rang (das Ass) aus der Sicht unseres Gegenübers links und jene mit dem höchsten Rang (der Zehner) rechts liegt. Aus unserer Sicht ist es also genau umgekehrt.

Die Karten werden zuerst nach Rang sortiert... (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Nachdem die Reihenfolge der Karten für alle Beteiligten klar ist, drehen wir sie um und schlagen eine Proberunde vor. Dazu wenden wir uns ab und fordern unser Gegenüber auf, eine beliebige Anzahl an Karten von der linken auf die rechte Seite bzw. von uns aus gesehen von der rechten auf die linke Seite zu schieben, ohne jedoch zu verraten, wie viele es waren.

...und anschließend umgedreht. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Sobald das geschehen ist, decken wir die (von uns aus gesehen) linke Karte auf und erklären stolz, dass dem Rang der aufgedeckten Karte entsprechend viele Karten bewegt wurden. In unserem Beispiel waren es beim ersten Durchgang zwei Karten:

Nach der ersten Verschiebung decken wir die linke Karte auf... (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Da diese Erkenntnis noch nicht allzu beeindruckend ist, drehen wir die Karte wieder um und starten sogleich einen neuen Durchgang. Nachdem ein weiteres Mal Karten bewegt wurden, decken wir zielsicher eine ganz bestimmte andere Karte auf, die uns sofort anzeigt, wie viele es diesmal gewesen sind. In unserem Beispiel wurden beim zweiten Mal vier Karten bewegt, weshalb wir diese Karte aufdecken:

...und nach der zweiten jene, die uns anzeigt, wie viele diesmal bewegt worden sind. (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Das Ganze lässt sich auch danach noch beliebig oft wiederholen, doch woher wissen wir überhaupt, welche Karte uns beim zweiten Mal die Anzahl verrät? Das Geheimnis liegt in der Durchführung des Probelaufs zu Beginn, da dieser nicht nur unser Gegenüber mit dem Ablauf vertraut macht, sondern auch das Gelingen des Tricks ermöglicht. Es ist nämlich essenziell, dass wir uns nach der ersten Verschiebung die letzte Karte auf unserer linken Seite anschauen, um herauszufinden, welche Karte wir nach der zweiten Verschiebung aufdecken müssen. Wir haben diese nach dem ersten Mal deshalb aufgedeckt, weil das am Anfang die Position des Zehners war. Dieser ist nämlich unsere sogenannte Leitkarte.

Zur besseren Nachvollziehbarkeit können wir die Karten aufgedeckt liegen lassen, während wir den Trick durchführen. Uns interessiert nicht die aktuelle Position der Leitkarte, sondern die jeweils vorige. Nach der zweiten Verschiebung machen wir also einfach das Gleiche noch einmal und müssen nur wissen, wo der Zehner nach der ersten Verschiebung gelegen ist. In unserem Beispiel war das die dritte Karte von links bzw. die achte Karte von rechts, weshalb wir auch diese nach der zweiten Verschiebung aufdecken:

Hier ist die Position des Zehners nach der ersten Verschiebung sichtbar... (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Hätten wir nach der zweiten Verschiebung erneut die linke Karte aufgedeckt, hätten wir einen Sechser gesehen und immerhin erkannt, dass insgesamt sechs Karten bewegt wurden. Wir hätten dann einfach die Differenz berechnen und somit auf 6 – 2 = 4 bewegte Karten kommen können. Insofern wir diesen Wert jedoch gleich direkt ablesen möchten, müssen wir stattdessen jene Karte aufdecken, die sich zu diesem Zeitpunkt an der vorigen Position unserer Leitkarte befindet:

...um zu zeigen, warum nach der zweiten Verschiebung eine andere Karte aufgedeckt wird. (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Um besser zu verstehen, wie sich so jene Karte, deren Rang die Anzahl der bewegten Karten offenbart, ermitteln lässt, können wir uns auch vorstellen, dass wir nach der ersten Verschiebung die linke Karte aufdecken und noch immer einen Zehner sehen. Das würde also heißen, dass gar keine Karten verschoben wurden. Dieser Fall wird normalerweise nicht eintreten, aber er ist grundsätzlich möglich. Wir könnten es auch so deuten, dass alle zehn Karten verschoben wurden, wodurch sich jedenfalls nichts geändert hat. Dementsprechend würden wir beim nächsten Mal einfach erneut die Karte an dieser Position betrachten.

Falls jedoch tatsächlich Karten verschoben werden, wandert der Zehner einfach um entsprechend viele Positionen weiter. Bei unserem Beispiel war das die Position 10 – 2 = 8. Im Endeffekt läuft es also darauf hinaus, dass der weiter oben beschriebene Prinzip an einer anderen Position erneut ausgenutzt wird. Sollte der Zehner im Zuge einer Verschiebung wieder mit an das andere Ende der Reihe wandern, zählen wir einfach von dort weiter. Allgemein gilt Folgendes: Wenn wir insgesamt n Karten in aufsteigender Reihenfolge mit den Rängen von 1 bis n haben und k Karten vom oberen ans untere Ende verschieben, dann befindet sich die Leitkarte, d. h. jene mit Rang n bzw. an der Position n, danach an der Position n – k. Hier ein paar weitere Beispiele:

• Wenn die linke Karte nach der ersten Verschiebung ein Dreier ist, decken wir nach der zweiten die von uns aus gesehen vierte Karte von links bzw. die siebte Karte von rechts auf, weil der Zehner im Zuge der ersten Verschiebung drei Positionen weiter nach rechts gewandert ist: 10 – 3 = 7.
• Wenn die linke Karte nach der ersten Verschiebung ein Achter ist, decken wir nach der zweiten die von uns aus gesehen neunte Karte von links bzw. die zweite Karte von rechts auf, weil der Zehner im Zuge der ersten Verschiebung acht Positionen weiter nach rechts gewandert ist: 10 – 8 = 2.

Im Extremfall kann der Trick auch mit dem kompletten Deck durchgeführt werden. Die Voraussetzung dafür ist im Grunde nur eine fixe Reihenfolge für alle Karten. Martin Gardner stellt auch eine Variante vor, die mit Dominosteinen durchgeführt wird.

Johannes C. Huber (tut sich leichter, wenn er sich die Karten in einem Kreis angeordnet vorstellt)

Quellen:

• Adrion A. (2016): Das verschwundene Kaninchen und andere mathematische Tricks; Dumont. Neuauflage der deutsche Übersetzung aus dem Jahr 1981 von Gardner M. (1956): Mathematics, Magic and Mystery; Dover.