Thema: Buchstaben und Stellenwerte
Beim Verfassen meines 50. Blogbeitrags hatte ich eigentlich geplant, mir ein eigenes mathematisches Rätsel zu überlegen. Dieses Unterfangen ist letztendlich an der vermeintlich unvollständigen Lösung eines anderen gescheitert, aber ich denke, dass dieses Problem nun ein Ende gefunden hat. Bei besagtem Rätsel handelt es sich um eine Aufgabe, die der britische Mathematiker Simon Philips Norton anscheinend seinen potentiellen Untermietern gestellt hat: SIMON ⋅ P = NORTON. Dabei müssen alle Buchstaben durch passende Ziffern ersetzt werden, sodass die Rechnung aufgeht.
In einem Artikel des Guardian ist von zwei möglichen Lösungen die Rede. Allerdings wird nirgends genauer erwähnt, welche Regeln eine potentielle Lösung überhaupt erfüllen muss. Immerhin habe ich damals nicht nur zwei, sondern gleich zweiundzwanzig verschiedene gefunden und bin deshalb einfach davon ausgegangen, dass zusätzlich keine Ziffer mehr als einmal vergeben werden darf. Dadurch hat sich die Menge schließlich auf eine einzelne reduziert: 63 475 ⋅ 9 = 571 275. Im Anschluss hatte ich das Gefühl, dass ich möglicherweise etwas übersehen habe und mir diese sagenumwobene zweite Lösung noch fehlt. In diesem Beitrag möchte ich zeigen, wie ich sogar noch drei weitere gefunden habe.
Ein Nuller als erste Ziffer von links kennen wir eher von Spionage-Agenturen oder Telefonnummern. Da er uns nichts Spannendes über eine Zahl verrät und lediglich unnötige Schreibarbeit beschert, habe ich ihn damals für die Buchstaben S und N gar nicht in Betracht gezogen. Bei S sollte sofort klar sein warum, da wir in diesem Fall eine vierstellige Zahl mit einer einstelligen multiplizieren würden, wodurch ein sechsstelliges Ergebnis unmöglich wird. Bei N hingegen ist es prinzipiell möglich, eine fünfstellige Zahl mit einer einstelligen zu multiplizieren und als Ergebnis wieder eine fünfstellige zu erhalten.
Unsere Gleichung würde dann wie folgt aussehen: SIMO0 ⋅ P = 0ORTO0. Wir können es uns aber auch einfacher machen, indem wir den Nuller als führende Ziffer ignorieren und die beiden am Ende weglassen. Dazu könnten wir uns auch vorstellen, dass wir die beiden fünfstelligen Zahlen durch zehn dividieren. Es genügt also, stattdessen die Gleichung SIMO ⋅ P = ORTO zu betrachten. Wir suchen wieder eine Ziffer (in diesem Fall für O statt für N), die multipliziert mit einer anderen Ziffer P in der gleichen Endziffer resultiert. Dafür können wir wieder die Tabelle vom letzten Mal verwenden:
Die Multiplikation mit einer Ziffer größer als die intendierte führende der Ergebniszahl ist Fluch und Segen zugleich, da sie fast alle verbleibenden Belegungen für O und P als unmöglich entlarvt*, was uns jedoch im Gegenzug einiges an Arbeit erspart. Falls O = 8 und P = 6, könnte die Gleichung entweder SI38 ⋅ 6 = 8R28 oder SI58 ⋅ 6 = 8R48 lauten, aber der Buchstabe S muss jedenfalls mit der Ziffer eins belegt werden, damit die führende Ziffer acht beim Ergebnis zustandekommen kann. Bei 1I38 ⋅ 6 = 8R28 könnten wir nur I = 7 wählen, um zu erreichen, dass Ziffern auftreten, die noch nicht vorgekommen sind, aber in diesem Fall wäre die führende Ziffer beim Ergebnis neun statt acht und bei 1I58 ⋅ 6 = 8R48 führen alle Ziffern für I dazu, dass bereits bei R eine auftritt, die schon vergeben ist.
Unsere letzte Hoffnung ist somit O = 5 und P = 3, doch wir werden nicht enttäuscht. Wir müssen zwar SI15 ⋅ 3 = 5R45 ausschließen, da die kleinstmöglich Ziffer zwei für S bereits zu groß ist und bei SI95 ⋅ 3 = 5R85 feststellen, dass jede Ziffer für I eine bereits vergebene für R bewirkt. Bei den anderen drei Belegungen SI25 ⋅ 3 = 5R75, SI65 ⋅ 3 = 5R95, SI75 ⋅ 3 = 5R25 und SI95 ⋅ 3 = 5R85 werden wir dann aber letztendlich fündig. Somit bleiben uns, wie bereits zuvor erwähnt, drei weitere Lösungen und interessanterweise entsprechen dabei zumindest die Buchstaben S, O, N und P stets den gleichen Ziffern:
- 17 650 ⋅ 3 = 052 950
- 18 250 ⋅ 3 = 054 750
- 18 750 ⋅ 3 = 056 250
Laut KI gibt es sogar ganze 2 353 Lösungen, falls Ziffern auch mehrfach vergeben werden dürfen, aber ich habe diese Behauptung aus naheliegenden Gründen nicht überprüft. Dafür habe ich es mittlerweile geschafft, eine Belegung für ein eigenes Rätsel mit meinem Namen zu finden. Was mich daran besonders erfreut, ist, dass sogar alle zehn Ziffern vorkommen, wobei aufgrund der Anzahl der verschiedenen Buchstaben zwei davon doppelt vergeben werden müssen:
Z E ⋅ ZT T H Z E = M HT ZT T H Z E
J O ⋅ H U B E R = C L E M E N S
Johannes C. Huber (enthält die Musterlösung 62 ⋅ 24 308 = 1 507 096 niemandem vor)
* Falls O = 2 und P = 6, kommen zunächst noch alle verbleibenden Ziffern für M infrage, sodass die Gleichung SI12 ⋅ 6 = 2R72, SI32 ⋅ 6 = 2R92, SI42 ⋅ 6 = 2R52, SI52 ⋅ 6 = 2R12, SI72 ⋅ 6 = 2R32, SI82 ⋅ 6 = 2R92 oder SI92 ⋅ 6 = 2R52 lauten könnte. Allerdings gibt es in allen Fällen keine Ziffer für S, welche die führende Ziffer zwei beim Ergebnis möglich macht. Falls stattdessen O = 4 gilt, könnte die Gleichung entweder SI14 ⋅ 6 = 4R84 oder SI54 ⋅ 6 = 4R24 sein, weil alle anderen Werte für M zu einer Ziffer für T führen, die bereits vergeben ist, aber an dieser Stelle macht uns die Multiplikation mit sechs erneut einen Strich durch die Rechnung. Das gleiche Problem tritt auch bei O = 5 und P = 7 oder P = 9 auf. In diesen Fällen könnte die Gleichung zwar SI35 ⋅ 7 = 5R45, SI45 ⋅ 7 = 5R15, SI85 ⋅ 7 = 5R95 oder SI95 ⋅ 7 = 5R65 bzw. SI15 ⋅ 9 = 5R35, SI35 ⋅ 9 = 5R15, SI65 ⋅ 9 = 5R85 oder SI85 ⋅ 9 = 5R65 lauten, doch abermals wird uns die Multiplikation mit einer zu großen Ziffer zum Verhängnis.