Thema: Kartentricks und Zahlenfolgen
Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.
Wir lassen unser Gegenüber zwei Karten ziehen und bitten darum, uns die Summe der beiden Karten zu nennen, woraufhin wir sofort sagen können, um welche es sich handelt. Der Name dieses Tricks von Colm Mulcahy (2013) ist Little Fibs. Dabei handelt es sich um ein Wortspiel, weil das englische Wort fib einerseits Schwindelei bedeutet und andererseits eine Referenz auf die Fibonacci-Zahlen darstellt:
F(0) = 0 F(1) = 1 n > 1 : F(n) = F(n – 1) + F(n – 2)
Wir haben nämlich für die Ziehung zu Beginn nur eine ganz bestimmte Teilmenge des Decks zur Verfügung gestellt, und zwar: {A; 2; 3; 5; 8; K}. Ihre Ränge entsprechen den folgenden Fibonacci-Zahlen: {F(1) = F(2) = 1; F(3) = 2; F(4) = 3; F(5) = 5; F(6) = 8; F(7) = 13}.
Wir haben eine gewisse Vorauswahl getroffen. (Bildquelle: Johannes C. Huber)
Die Fibonacci-Zahlen stellen eine sogenannte Sidon-Folge dar und haben die praktische Eigenschaft, dass jede Summe zweier ihrer Folgenglieder verschieden von allen anderen ist. Wir können also problemlos von der Summe auf die beiden Summanden schließen, weil jedes Ergebnis nur durch zwei der sechs Zahlen zustande kommt: {3 = 1 + 2; 4 = 1 + 3; 5 = 2 + 3; 6 = 1 + 5; 7 = 2 + 5; 8 = 3 + 5; 9 = 1 + 8; 10 = 2 + 8; 11 = 3 + 8; 13 = 5 + 8; 14 = 1 + 13; 15 = 2 + 13; 16 = 3 + 13; 18 = 5 + 13; 21 = 8 + 13}.
Im Original wird zusätzlich dazu noch die jeweilige Spielfarbe vorhergesagt. Dazu legen wir uns vorab auf eine bestimmte Reihenfolge fest, die wir auswendig können müssen. Mulcahy verwendet die sogenannte CHaSeD-Sortierung, was für die Reihenfolge clubs-hearts-spades-diamonds bzw. auf Deutsch Kreuz-Herz-Pik-Karo steht und in diesem Fall zu folgenden Karten führt: ♣A-♥2-♠3-♦5-♣8-♥K.
Mulcahy merkt an, dass stattdessen auch die sechs Karten einer Spielfarbe genommen werden können, damit man sich nicht extra merken muss, welche Karte zu welcher Farbe gehört. Das hat den Vorteil, dass die Durchführung des Tricks vereinfacht wird, was ihn für leistungsschwächere Lernende zugänglicher macht. Ein Nachteil ist wiederum, dass er so womöglich weniger Eindruck schindet und außerdem einfacher zu durchschauen ist. Insbesondere bei wiederholter Durchführung wird nämlich schnell offensichtlich, dass alle gezogenen Karten dieselbe Spielfarbe aufweisen.
Er schlägt folgende Impulsfragen vor, die man den Lernenden stellen kann, sobald ihnen die Funktionsweise erklärt wurde:
Funktioniert der Trick auch noch, wenn drei der sechs Karten gezogen werden?
Ja, aber dann kann folgender Fall eintreten, bei dem nicht eindeutig gesagt werden kann, um welche drei Karten es sich handelt: 1+2+13 = 3+5+8. Mulcahy schlägt vor, in diesem Fall ein kleines Wortgeplänkel einzubauen, das darauf abzielt, eine der Spielfarben herauszufinden, um dadurch auf die drei Karten zu schließen.
Funktioniert der Trick auch, wenn vier der sechs Karten gezogen werden?
Ja, und es ist sogar, wie Mulcahy es formuliert, doppelt so beeindruckend, aber nur halb so schwierig, da wir lediglich die Summe der Ränge von der Gesamtsumme abziehen müssen. Mit dem Rest machen wir anschließend dasselbe wie bei der Variante mit nur zwei Karten. Dadurch wissen wir, welche Karten nicht gezogen wurden und dementsprechend auch, um welche vier Karten es sich handelt. Als Hilfestellung empfiehlt er, die Lernenden aufzufordern, die Gesamtsumme aller sechs Karten zu bestimmen.
Gibt es noch weitere Zahlenmengen, für die der Trick mit zwei Karten funktioniert?
Ja, denn eine vergleichsweise einfache und artverwandte Möglichkeit wäre eine Teilmenge der sogenannten Tribonacci-Zahlen, bei denen jede Zahl, ähnlich wie bei den Fibonacci-Zahlen, aus der Summe der drei statt nur zwei vorangehenden gebildet wird:
T(0) = 0 T(1) = T(2) = 1 n > 3 : T(n) = T(n – 1) + T(n – 2) + T(n – 3)
Falls wir unbedingt sechs Zahlen haben möchten, bieten sich folgende Tribonacci-Zahlen an: {T(0) = 0; T(1) = T(2) = 1; T(3) = 2; T(4) = 4; T(5) = 7; T(6) = 13}, wobei für die Null zum Beispiel ein Joker verwendet werden könnte und folgende Karten infrage kommen: {J; A; 2; 4; 7; K}. Wir können stattdessen auch gewissermaßen die Reihenfolge umkehren und die Fibonacci-Zahlen als Differenzen betrachten, die wir von 14 abziehen: {1; 6; 9; 11; 12; 13}. Dasselbe lässt sich auch mit den Tribonacci-Zahlen bewerkstelligen, indem wir sie als Differenzen betrachten, die wir von 13 abziehen: {0; 6; 9; 11; 12; 13}.
Welche Möglichkeiten gibt es, wenn wir nur fünf statt sechs Zahlen zur Verfügung haben?
Eine naheliegende Strategie ist, einfach eine der sechs Zahlen zu entfernen:
- {1; 2; 3; 5; 8}
- {1; 2; 3; 5; 13}
- {1; 2; 3; 8; 13}
- {1; 2; 5; 8; 13}
- {1; 3; 5; 8; 13}
- {2; 3; 5; 8; 13}
Es gibt allerdings auch noch andere Möglichkeiten (ohne Anspruch auf Vollständigkeit):
- {1; 3; 4; 7; 11} (Lukas-Zahlen ohne 2)
- {2; 3; 5; 7; 11} (Primzahlen)
- {1; 2; 4; 6; 10} (Primzahlen minus 1)
- {0; 1; 2; 5; 12} (Pell-Zahlen)
- {0; 1; 3; 5; 11} (Jacobsthal-Zahlen)
- {1; 3; 5; 8; 9}
- {1; 2; 5; 7; 13}
Falls auch weniger Zahlen zulässig sind, bieten sich unter anderem auch noch die Potenzen der Zahlen zwei {1; 2; 4; 8} und drei {1; 3; 9} an.
Gibt es, abgesehen von der Addition, noch andere Rechenoperationen, die einen eindeutigen Rückschluss auf zwei Zahlen zulassen?
Ja, denn ein naheliegendes Beispiel wäre die Multiplikation mit den ersten sechs Primzahlen: {2; 3; 5; 7; 11; 13}. Bei der Subtraktion oder Division hingegen kommt erschwerend hinzu, dass die Reihenfolge der Zahlen eine Rolle spielt. Darüber hinaus funktioniert die Multiplikation auch mit folgenden Zahlenmengen:
- {1; 2; 3; 4; 5; 7}
- {1; 2; 3; 4; 5; 9}
- {1; 2; 3; 4; 5; 11}
- {1; 2; 3; 4; 5; 13}
Bei dieser Variante des Tricks beschränken wir uns auf eine Ziehung, aber der Trick kann unter anderem mit verschiedenen Mischtechniken, wie beispielsweise durch das Zurückhalten der sechs Karten beim Bogenmischen, noch weiter ausgeschmückt werden. Die wesentliche Erkenntnis sollte jedenfalls sein, dass es bestimmte Zahlenmengen gibt, die sich für eine derartige Codierung von Informationen eignen und man diese auch variieren kann, um die Funktionsweise des Tricks besser zu verschleiern. Falls auch mit Computern gearbeitet wird, sollten die Lernenden dazu animiert werden, mit Tabellenkalkulation zu arbeiten, um verschiedene Zahlenmengen zu testen.
Johannes C. Huber (verlieh seiner Defensio mit der Vorführung dieses Tricks ein wenig Flair)
Quellen:
- Mulcahy C. (2013): Little Fibs; In: Mathematical Card Magic: Fifty-Two New Effects, 89-93; Chapman & Hall/CRC Press.
