Siebenjährige hassen diesen Trick

Thema: Abzählreime und Restklassen

Dieser Beitrag ist am 31.03.2023 auch im Standard erschienen.

Ene, mene, miste, es rappelt in der Kiste. Wann immer ich mit Abzählreimen konfrontiert bin, erinnere ich mich an diese nervige Kinder Schokobons-Werbung aus den 2000er Jahren. Zum Glück ist diese aber nicht das Thema dieses Beitrags. Abzählreime mögen infantil wirken, aber sie sind eine großartige Möglichkeit, um das Thema Teilbarkeit zu veranschaulichen.

Angenommen wir haben einen Sitzkreis mit acht Personen (Aya, Ben, Clara, Diego, Ensar, Fiona, Gian und Hanae) vor uns und sollen zufällig eine davon aussuchen:

Sitzkreis mit acht Personen (Bildquelle: eigene Darstellung mit GeoGebra)

Mithilfe von Abzählreimen können wir es so aussehen lassen, als ob wir unsere Entscheidung rein zufällig treffen, obwohl wir in Wirklichkeit ganz gezielt eine Person wählen.

Dazu müssen wir einerseits wissen, wie viele Silben der jeweilige Abzählreim hat, d. h. wie oft von einer Person zur nächsten weitergezählt wird, und andererseits, wie die Modulo-Rechnung funktioniert. Ersteres ist nicht allzu schwierig. So besteht beispielsweise der Abzählreim "Ene, mene, miste, es rappelt in der Kiste. Ene, mene, mu, und raus bist du." aus insgesamt achtzehn Silben*.

Nun zur Modulo-Rechnung: Diese kennen die meisten Leute als Division mit Rest. Wenn wir hier achtzehn Silben durch acht Personen teilen, können wir zwei ganze Runden im Kreis zählen, ehe noch zwei Personen übrigbleiben. Die erste der beiden ist jene, bei der wir zu zählen begonnen haben und die nächste ist jene, bei der wir aufhören. Es reicht also aus nur den Rest zu zählen, um zu wissen, wen es am Ende treffen wird. Wenn wir z. B. bei Aya zu zählen beginnen, ist klar, dass letztendlich Ben drankommt. Es sein denn, wir zählen gegen den Uhrzeigersinn - dann trifft es natürlich Hanae. Das bedeutet außerdem, dass grundsätzlich alle acht Personen getroffen werden können.

Nun machen wir es ein wenig komplizierter, denn durch den Zusatz "Raus bist du noch lange nicht, musst erst sagen, wie alt du bist." kommen noch fünfzehn weitere Silben dazu*. Bis wohin danach weitergezählt wird, hängt vom Alter der jeweiligen Person ab**. Um genau vorhersagen zu können, wen es trifft, brauchen wir also diese Zusatzinformation für alle Personen im Kreis. Wir gehen in weiterer Folge von diesen Altersangaben aus: Aya (9 Jahre), Ben (6 Jahre), Clara (7 Jahre), Diego (7 Jahre), Ensar (8 Jahre), Fiona (7 Jahre), Gian (8 Jahre) und Hanae (5 Jahre).

Falls wir z. B. im Uhrzeigersinn (mathematisch negativer Drehsinn) bei Hanae zu zählen beginnen, gehen wir im Endeffekt nur einen Platz (33 : 8 = 4 mit 1 Rest) zu Aya weiter. Diesen Zwischenschritt können wir eigentlich auslassen, weil mit dem Abzählreim allein ohnehin alle Sitzplätze erreicht werden, und zwar abhängig von der Richtung, in die wir zählen, jeweils den links oder rechts benachbarten. Es genügt also, wenn wir uns anschauen, wessen Alter zu welchem Platz führt. Da Aya neun Jahre alt ist, gehen wir in diesem Fall erneut nur einen Platz weiter (9 : 8 = 1 mit 1 Rest) und hören bei Ben zu zählen auf. Falls wir jedoch von ihr aus gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiver Drehsinn) zählen, landen wir schließlich bei Gian, weil dieser acht Jahre alt ist und sich deshalb selbst trifft.

Je nachdem, wessen Alter die Grundlage für das Weiterzählen ist, werden folgende Personen getroffen:

Zielplätze in beide Richtungen (Bildquelle: eigene Darstellung mit GeoGebra)

Dabei fällt uns auf, dass es Personen gibt, die mehr als einmal getroffen werden. Clara kann beispielsweise auf zwei verschiedene Arten erreicht werden, und zwar wenn wir gegen den Uhrzeigersinn bei Aya oder im Uhrzeigersinn bei ihr selbst zu zählen beginnen. Das bringt uns zur nächsten Erkenntnis: In manchen Fällen landen wir am Ende wieder bei derselben Person. Im Uhrzeigersinn passiert das nämlich auch noch bei Ben und Ensar und gegen den Uhrzeigersinn bei Diego, Ensar und Gian.

Außerdem gibt es Personen, die gar nicht getroffen werden, denn egal bei wem wir beginnen, Aya und Fiona erwischt es nie. Falls wir nun selbst zum Kreis dazu stoßen, helfen uns diese Informationen, wenn wir einen Sitzplatz aussuchen sollen. Denn je nachdem, ob wir unbedingt oder gar nicht ausgewählt werden möchten, können wir einen möglichst günstigen Platz wählen.

Zwischen wen sollten wir uns setzen, um bei diesem Abzählreim garantiert nicht ausgewählt zu werden? Ist das überhaupt möglich? Um das zu beantworten, betrachten wir wieder den Rest: Da das Alter von allen höchstens gleich groß ist, wie die Anzahl der Personen im Sitzkreis, reicht es zu wissen, wie viel auf eine ganze Runde fehlt, d. h. wie viele Plätze vor der Person, mit deren Alter wir weiter zählen, die Zählung aufhört.

Wenn im Uhrzeigersinn gezählt wird (alle schauen dabei in die Mitte des Kreises), möchten wir weder einen Platz links von Diego und Gian, noch zwei Plätze links von Clara, Diego und Fiona, noch drei Plätze links von Ben, noch vier Plätze links von Hanae sitzen. Wenn stattdessen gegen den Uhrzeigersinn gezählt wird, sind alle unerwünschten Positionen entsprechend viele Plätze weiter rechts von den genannten Personen:

Wer schickt wohin? (Bildquelle: eigene Darstellung mit GeoGebra)

Die Pfeile in der Abbildung stehen für die Position bis zu der weiter gezählt wird. Falls wir uns zwischen zwei Personen setzen, treffen uns alle Pfeile, die zwischen ihnen liegen. Der einzig sichere Hafen ist in diesem Fall der Platz zwischen Gian und Hanae, weil niemand den Zähler an diese Stelle weiterschickt. Aya trifft sich selbst, weil ihr Alter gleich der Anzahl der Personen im Kreis ist. Dieser Umstand ist die einzig verbleibende Möglichkeit, wie wir trotzdem ausgewählt werden könnten. Falls unser eigenes Alter nämlich ebenfalls ein ganzzahliges Vielfaches von neun (0, 9, 18, ...) ist, landen wir am Ende wieder bei uns, wenn mit unseren Lebensjahren weiter gezählt wird.

Johannes C. Huber (gibt zu, dass er hin und wieder nur so tut, als würde er zufällig abzählen)

* Ene, (1) - mene, (2) - mis (3) - te, (4) - es (5) - rap (6) - pelt (7) - in (8) - der (9) - Kis (10) - te. (11) Ene (12) - mene (13) - mu (14) - und (15) - raus (16) - bist (17) - du. (18) Raus (19) - bist (20) - du (21) - noch (22) - lan (23) - ge (24) - nicht, (25) musst (26) - erst (27) - sag (28) - en (29) - wie (30) - alt (31) - du (32) - bist. (33)

** Wir gehen in weiterer Folge davon aus, dass bei der nächsten Person weiter gezählt wird. Falls stattdessen die Person, deren Alter die Grundlage für das Weiterzählen ist, wieder als Startpunkt genommen wird, verschieben sich die Ziele um einen Platz nach hinten.

Wie viele Pfadis braucht es, um ein Zelt zu füllen?

Thema: Zelte und Pyramiden

Dieser Beitrag ist am 17.03.2023 auch im Standard erschienen.

Vor ein paar Jahren war das 90-jährige Jubiläum meiner Pfadigruppe. Wir haben dafür ein eigenes Lager mit einem Nachmittag voller Show-Einlagen im Stile von Wetten dass? veranstaltet. Eine davon war die Wette, welche Altersgruppe (Kinder gegen Erwachsene) mehr Personen in einem Zelt unterbringt. Das Spektakel hat ein wenig an ein Auto voller Clowns erinnert. Abgesehen davon, dass die Ausgangslage für die Erwachsenen eher ungerecht war, birgt die Herausforderung eine interessante Fragestellung: Wie viele Leute passen wirklich in ein 3 Personen-Zelt?

Ich habe mir das Ganze vor kurzem gemeinsam mit meinen Lernenden in einer Unterrichtsstunde zum Thema Volumen einer Pyramide angeschaut. Das bei der Show verwendete Igluzelt ist zwar streng genommen keine richtige Pyramide, weil die Laschen entlang der beiden Bögen das Innenzelt ein wenig nach außen ziehen, aber das ist nicht sonderlich tragisch. Erstens behandeln wir im Schulstoff keine Formel für das merkwürdige Hybrid-Gebilde, zweitens weiß ich nicht, ob es überhaupt eine Formel dafür gibt und drittens kommt die Pyramide, meiner Meinung nach, nah genug an die tatsächliche Form heran.

Pyramide im Inneren des Zelts (Bildquelle: eigene Darstellung mit GeoGebra)

Zunächst einmal müssen wir die relevanten Parameter für unsere Formel identifizieren. Dazu haben wir uns die Produktbeschreibung näher angeschaut:

Produktdaten des Zelts (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die Grundfläche ist quadratisch und die Höhe unserer "Pyramide" ist ebenfalls gegeben, also können wir problemlos das Volumen berechnen:

Da in unserer vermeintlichen Pyramide genau genommen ein bisschen mehr Platz ist, haben wir das Ergebnis noch auf ganze 2 Kubikmeter gerundet. Soweit einmal zum geometrischen Körper, aber wie viel Raum braucht ein menschlicher? Der erste Vorschlag war, dass wir uns eine Art Kasten vorstellen, der als Maße die durchschnittliche Körpergröße, -breite und -tiefe eines Menschen hat. Die angenommenen Längen waren in diesem Fall 1,80 Meter Höhe, 45 Zentimeter Breite und 20 Zentimeter Tiefe. Das ergibt 1,8 × 0,45 × 0,2 = 0,162 Kubikmeter menschliches Volumen. Ein berechtigter Einwand war allerdings, dass so vor allem um den Kopf und um die Beine viel überflüssiges Volumen dazu gerechnet wird.

Eine etwas genauere Möglichkeit basiert auf unserer chemischen Zusammensetzung. Da wir unser Körpergewicht ohnehin überwiegend in Form von Wasser mit uns herumtragen, tun wir der Einfachheit halber so, als ob wir komplett aus Wasser bestehen. Dazu nehmen wir das durchschnittliche Gewicht eines Menschen und wandeln es in Liter um. Natürlich können wir im Allgemeinen nicht ohne Weiteres Kilogramm und Liter gleichsetzen, aber wir machen uns hier den Umstand zunutze, dass ein Liter Wasser genau ein Kilogramm schwer ist. Das Litermaß entspricht wiederum Kubikdezimetern, wodurch wir schlußendlich das Volumen in Kubikmetern bestimmen können. Die folgenden Angaben beziehen sich also auf reines Wasser:

Daraus lässt sich die Faustregel ableiten, dass jedes Kilogramm Körpergewicht ungefähr einem Kubikdezimeter Volumen entspricht (bzw. jedes Gramm ungefähr einem Kubikzentimeter).

Nun haben wir alles beisammen, um die Fragestellung zu beantworten. Dazu teilen wir das ungefähre Volumen unseres Zeltkörpers durch das angenommene menschliche Körpervolumen und stellen fest, dass ungefähr 2 : 0,08 = 25 Personen Platz haben müssten. Bei unserer Jubiläumsshow haben sogar 31 Personen hinein gepasst - allerdings waren der überwiegende Teil davon Kinder und Jugendliche.

Johannes C. Huber (hat nichts dagegen als WiWö-Leiter am Lager im Haus schlafen zu können)

Solange alles im Rahmen ist

Thema: Videobearbeitung und Schlussrechnung

 Dieser Beitrag ist am 03.03.2023 auch im Standard erschienen.

Von quadratisch bis ultraweit - Die richtige Wahl der Bildformate bei Videos ist für alle Menschen relevant, die ihre Clips ins Internet stellen möchten. Dabei spielt das sogenannte Seitenverhältnis eine zentrale Rolle. Es sagt uns, wie breit das Bild im Vergleich zu seiner Höhe ist. Das Urgestein des Bildformate ist das Verhältnis von 4 zu 3. Das Bild ist also ungefähr 1,3-mal so breit wie hoch. Etwas moderner ist das Verhältnis von 16 zu 9, welches wir normalerweise als Breitbild bezeichnen. Dabei ist das Bild ungefähr 1,7-mal so breit wie hoch. Es setzt sich aus den Quadraten der beiden vorigen Zahlen zusammen:

Die meisten anderen gängigen Breitbildformate haben annähernd ein Verhältnis von 16 zu 9. Es bleibt jedoch abzuwarten, ob Smartphones mit faltbaren Bildschirmen neue Seitenverhältnisse etablieren. Apropos: Ein weiteres bekanntes Format, welches heutzutage durch die Verwendung in sozialen Netzwerken vor allem auf dem Smartphone zum Einsatz kommt, ist das wortwörtlich quadratische Verhältnis von 1 zu 1. Darüber hinaus gibt es seit geraumer Zeit das sogenannte Ultraweitformat. Mittlerweile darf es nämlich noch ein bisschen mehr sein und wir sind beim Verhältnis von 64 zu 27 angekommen, bei dem das Bild mehr als doppelt so breit wie hoch ist. Es setzt sich aus den Kuben der beiden ursprünglichen Zahlen zusammen und wird meist als das Verhältnis von 21 zu 9 angegeben, obwohl es nicht exakt der gleiche Bruch ist:

Doch nun zum eigentlichen Thema: Da all diesen Bildformaten unterschiedliche Verhältnisse zugrunde liegen, sind sie nicht miteinander kompatibel. Wer schon einmal einen älteren Film auf einem Breitbild-Fernseher abgespielt hat, kennt die schwarzen Streifen, die am linken und rechten Rand angezeigt werden. Das Gleiche passiert oben und unten, wenn wir einen modernen Film auf einem alten Gerät anschauen:

links: 4:3 auf 16:9 vs. rechts: 16:9 auf 4:3 (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Diese Streifen tauchen auf, weil das alte Format viel ungenutzte Bildfläche auf einem Breitbildmonitor hat und umgekehrt. Um die dunklen Ränder loszuwerden bzw. den Bildschirm vollständig zu füllen, gibt es viele Möglichkeiten. Eine einfache wäre z. B. das Bild in die Breite oder Höhe zu strecken, aber das sieht normalerweise eher unschön aus. Eine bessere wäre, stattdessen einen Teil des Bildes zu entfernen.

Um zu verstehen, was gemeint ist, schauen wir uns am besten ein praktisches Beispiel an. Angenommen wir möchten ein Zeitraffervideo mit unserem Smartphone filmen und ins Internet stellen. Da der Standard für PC-Monitore das Breitbildformat ist, liegt es nahe dieses zu verwenden. Also aktivieren wir die Kamera und nehmen das Video, ohne viel darüber nachzudenken, im Vollbildmodus auf. Das bedeutet, dass der gesamte Bildschirm für die Aufnahme genutzt wird. So weit, so gut, aber leider tauchen später beim Bearbeiten am PC die beiden schwarzen Streifen auf:

Ausschnitt des Videos vor der Bearbeitung (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Wo liegt das Problem? Viele moderne Smartphones sind nicht im Verhältnis von 16 zu 9 gebaut, weil meist die komplette Vorderseite des Geräts für den Bildschirm genutzt wird und die Geräte zunehmend länger werden. Bei meinem Samsung A71 sind es beispielsweise 1280 Pixel Breite und 576 Pixel Höhe. Da der größte gemeinsame Nenner hier die Zahl 64 ist, können wir beide Zahlen durch 64 teilen und so das Verhältnis von 1280 zu 576 auf das von 20 zu 9 (also fast schon ultraweit) kürzen.

Es mag absurd klingen, aber falls wir das Video im Breitbild-Format haben möchten, ist es derzeit noch zu breit. Um das zu beheben, müssen wir das Video durch sogenanntes Cropping (engl. "Beschneiden von Bildern") in das passende Format bringen. Dazu möchten wir einen Ausschnitt des Videos mit dem gleichen Seitenverhältnis wählen. In diesem Fall ist es naheliegend dafür links und rechts etwas vom Bild zu entfernen. Um auszurechnen, wie breit das verbleibende Bild höchstens sein darf, stellen wir eine Verhältnisgleichung mit der Breite x auf:

Auschnitt des Videos nach der Bearbeitung (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Das Ganze hätten wir, zugegeben, auch einfach in einer Tabelle wie dieser nachlesen können. Dann hätten wir bemerkt, dass die nächstkleinere Kombination von Breite und Höhe im Breitbildformat eben 1024 und 576 ist. So einfach ist es aber leider nicht immer. Angenommen wir möchten dasselbe bei einem Hochformat-Video machen, das 720 Pixel breit und 1280 Pixel hoch ist. Ein Grund dafür könnte z. B. sein, dass wir nur einen Ausschnitt in der Mitte haben wollen:

Screenshot des Videos vor
der Bearbeitung (Bildquelle: Sabina Smits)

In diesem Fall gibt es leider keinen Tabelleneintrag mit der Breite 720 und dem Verhältnis von 16 zu 9. Wenn wir uns das Ergebnis der Verhältnisgleichung mit der Höhe y anschauen, wird auch klar warum:

Eine Höhe von 405 Pixel ist ungewöhnlich und scheint deshalb nicht in der Tabelle auf. Praktisch können wir das Ganze z. B. mit dem kostenlosen und quelloffenen Programm HandBrake umsetzen:

Hauptmenü von HandBrake (Bildquelle: HandBrake)

Dazu öffnen wir unsere Videodatei und wechseln in den Reiter Bildgröße. Dort können wir einerseits das komplette Bild vergrößern oder verkleinern und andererseits auch Abschnitte angeben, die entfernt werden sollen. Wir machen nun Letzteres und geben die neuen Seitenverhältnisse an. Das Programm akzeptiert nur gerade Zahlen, also stellen wir 404 Pixel ein, damit wir oben und unten jeweils 438 Pixel wegschneiden können:

Ausschnitt nach der Bearbeitung (Bildquelle: HandBrake)

Danach wählen wir einen Speicherort, starten die Encodierung und unser Videoausschnitt ist fertig:

Screenshot des Videos nach der
Bearbeitung (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Übrigens: Youtube akzeptiert so gut wie alle Bildformate, aber die schwarzen Ränder treten im Kino- und Vollbildmodus trotzdem auf, wenn das Seitenverhältnis nicht mit dem des Gerätebildschirms kompatibel ist.

Johannes C. Huber (fragt sich, warum das 256 zu 81-Format nicht mehr Anwendung findet)