Welcher Tag ist noch frei?

Thema: Geburtstage und Wahrscheinlichkeiten

Das sogenannte Geburtstagsparadoxon beschreibt den Umstand, dass im Allgemeinen die überschaubare Menge von lediglich dreiundzwanzig Menschen ausreicht, um die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei davon am selben Tag Geburtstag feiern, auf über fünfzig Prozent zu bringen. Um zu verstehen, warum das so ist, stellen wir uns vor, dass diese Personen der Reihe nach einen Raum betreten und überlegen uns für jede weitere Person, die dazu kommt, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie an einem Tag Geburtstag feiert, der noch nicht vergeben ist. Der Vollständigkeit halber berücksichtigen wir in weiterer Folge stets auch den 29. Februar, der im Zuge eines Schaltjahres auftritt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Tag noch nicht belegt? (Bildquelle: Unsplash)

Zu Beginn betrachten wir drei triviale Fälle: Solange der Raum noch leer oder nur eine Person eingetreten ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit klarerweise gleich null Prozent und sobald sich 366 Personen im Raum befinden und eine weitere dazu kommt, ist garantiert kein Kalendertag mehr frei, weshalb die Wahrscheinlichkeit dann gleich hundert Prozent ist. Der gesuchte Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von (ungefähr) fünfzig Prozent muss demnach irgendwo dazwischen liegen.

So weit so gut, aber die Sache hat einen Haken: Je mehr Personen wir betrachten, desto weiter steigt auch die Anzahl an Möglichkeiten, die wir berücksichtigen müssen. Es könnte nämlich auch sein, dass zwei oder mehr Tage von mehreren Personen belegt werden oder mehr als zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag feiern. Glücklicherweise können wir diese schiere Unmenge an Fällen umgehen, indem wir stattdessen mit der Gegenwahrscheinlichkeit arbeiten. Dazu berechnen wir zuerst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag feiern und ziehen diese anschließend von eins ab. Für die zweite Person, die den Raum betritt, stehen nur noch 365 von 366 Tagen zur Auswahl:

$$1 - \frac{365}{366} \approx 1 - 0,9973 = 0,0027$$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag feiern, beträgt also nur ca. 0,27 %. Wenn wir nun eine dritte Person dazu geben, stehen für diese nur noch 364 von 366 Tagen zur Auswahl. Wir müssen lediglich berücksichtigen, dass auch die anderen beiden Personen nicht den gleichen Geburtstag haben, d. h. wir multiplizieren diesen Bruch einfach mit dem nächsten:

$$1 - \frac{365}{366} \cdot \frac{364}{366} \approx 1 - 0,9918 = 0,0072$$

Die Gegenwahrscheinlichkeit nimmt also zunächst nur minimal auf ca. 0,72 % zu und steigt erst bei zehn Personen auf über zehn Prozent:

$$1 - \frac{365}{366} \cdot ... \cdot \frac{357}{366} \approx 1 - 0,8834 = 0,1166$$

Wenn wir dieses Prinzip beibehalten, landen wir schließlich bei dreiundzwanzig Personen:

$$1 - \frac{365}{366} \cdot ... \cdot \frac{344}{366} \approx 1 - 0,4937 = 0,5063$$

Wir sind dabei allerdings, wie bereits erwähnt, davon ausgegangen, dass jeder Kalendertag mit der gleichen Häufigkeit vorkommt, obwohl Geburtstage in Wirklichkeit nicht gleich verteilt sind. Tatsächlich gibt es bestimmte Zeiträume eines Jahres, in denen vergleichsweise mehr Menschen geboren werden. Tendenziell sind nämlich die Monate August bis Oktober die geburtenstärksten. Es fallen also relativ viele Geburtstage in den Herbst, wenn auch nicht übermäßig viele mehr als in den anderen Zeiträumen. 

Wir können das Problem für leistungsschwächere Lernende ein wenig abwandeln, indem wir stattdessen beispielsweise danach fragen, wie viele Menschen im Schnitt nötig sind, um die Wahrscheinlichkeiten für vergleichsweise einfachere Ereignisse auf über fünfzig Prozent zu bringen. Ganz im Sinne des Scaffolding können wir uns so an die eigentliche Fragestellung herantasten. Die denkbar einfachste Frage wäre nach einem Geburtstag im selben Halbjahr. In diesem Fall genügen erwartungsgemäß bereits zwei Personen, da bei drei notwendigerweise mindestens zwei davon im gleichen Halbjahr Geburtstag feiern.

Als Nächstes könnten wir uns überlegen, wie wahrscheinlich ein Geburtstag im selben Quartal oder auch in der gleichen Jahreszeit (Frühling, Sommer, Herbst und Winter) ist. Die erste Person feiert in einem bestimmten Zeitraum Geburtstag, also verbleiben für die nächste noch drei von vier Möglichkeiten:

$$1 - \frac{3}{4} = 1 - 0,75 = 0,25$$

Die Wahrscheinlichkeit für das gleiche Quartal oder die gleiche Jahreszeit liegt für zwei Personen also noch bei einem Viertel der Fälle, aber bei drei Personen steigt sie bereits auf fast zwei Drittel:

$$1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} = 1 - 0,375 = 0,625$$

Selbst bei einem Geburtstag im selben Monat oder auch dem gleichen Tierkreiszeichen (Steinbock, Wassermann, Fische, Widder, Stier, Zwillinge, Krebs, Löwe, Jungfrau, Waage, Skorpion, Schütze) müssen wir nicht viel mehr Arbeit hineinstecken, um zu sehen, dass bereits fünf Personen genügen:

$$1 - \frac{11}{12} \cdot ... \cdot \frac{8}{12} \approx 1 - 0,3819 = 0,6181$$

In meiner Schulklasse mit 26 Kindern gibt es sogar zwei Paare mit dem gleichen Geburtstag. Bei den beiden Zwillingsbrüdern ist das natürlich nicht allzu verwunderlich, aber die anderen beiden könnten als Beleg dafür gelten, dass dieser Umstand gar nicht so selten ist, wie wir vielleicht glauben würden.

Johannes C. Huber (feiert erstaunlich nahe am durchschnittlich häufigsten Datum Geburtstag)