Sonntag, 23. Juli 2023

Ein Liter Bier ist nicht immer das Maß aller Dinge

Thema: Biermischgetränke und Verhältnisse

Dieser Beitrag ist am 03.08.2023 auch im Standard erschienen.

Ein Bekannter von mir hat sich vor geraumer Zeit aufgrund der Hitze einen, wie er es nennt, "leichten Radler" gemischt, indem er einen halben Liter normalen Radler mit einem halben Liter alkoholfreiem Radler kombiniert hat. Es wäre vermutlich besser an heißen Tagen einfach gleich beim Wasser zu bleiben, aber in diesem Beitrag geht es nicht darum, den optimalen Durstlöscher für den Sommer zu finden. Ich habe mir nämlich die Frage gestellt, ob man das dadurch entstandene Mischgetränk überhaupt noch als Radler bezeichnen kann oder nicht.

Radler ist nicht gleich Radler (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Zunächst einmal hängt das davon ab, welcher Radler beigemischt wird, weil es zwar etliche verschiedene Sorten, aber kein einheitliches Mischverhältnis gibt. Ein erster Anhaltspunkt wäre also das Originalrezept. In diesem ist das Verhältnis von Bier zu Limonade angeblich 60 zu 40. Im Handel findet man jedoch auch häufig 50 zu 50 oder bei süßeren Varianten sogar 40 zu 60. Das hängt damit zusammen, dass ein handelsüblicher Radler laut WKO einen Vollbieranteil von 40 bis 60 Prozent haben kann.

Bei der besagten Mischung haben wir ein Problem, denn selbst dann, wenn der beigemischte Radler das Verhältnis mit dem höchstmöglichen Bieranteil von 60 zu 40 aufweist, geht sich das nicht aus. Um zu verstehen, warum, müssen wir uns überlegen, wie die Anteile in der Mischung zustandekommen: 60 Prozent Bieranteil von 500 Milliliter Radler sind 300 Milliliter Bier. Da alle anderen Bestandteile alkoholfrei sind, hat das dadurch entstandene Mischgetränk nur noch ein Verhältnis von 30 zu 70 und dürfte somit nicht als Radler bezeichnet werden.

Dem spitzfindigen Lesepublikum dürfte allerdings aufgefallen sein, dass wir unter Umständen ein wenig vorschnell an die Sache herangegangen sind. Immerhin haben wir ja noch gar nicht geklärt, ob ein alkoholfreier Radler überhaupt so heißen darf. Diese Bezeichnung ist aber unproblematisch, denn schließlich ist alkoholfreies Bier genauso Bier (mit einem verschwindend geringen Alkoholgehalt von höchstens 0,5 Volumsprozent). Demnach wäre auch die Mischung zurecht als Radler zu bezeichnen. Eine Folgefrage wäre dann, welchen Alkoholgehalt sie hat, aber diesen müssten wir, streng genommen, messen und wenn man es wirklich ganz genau nimmt, nicht in Volumsprozent angeben, aber ich möchte an dieser Stelle nicht zu sehr ins Detail gehen.

In Schulbüchern gibt es zum Thema Verhältnisse und Proportionen etliche Aufgaben, bei denen es um ein bestimmtes Mischverhältnis geht. Die meisten davon sind wie folgt aufgebaut: Man hat eine bestimmte Menge eines Mischguts (z. B. Verdünnungssaft), möchte ein bestimmtes Mischverhältnis erreichen (z. B. 1 zu 7) und soll dann die Menge des anderen Mischguts (z. B. Wasser) ermitteln. Es gibt zwar auch komplexere Problemstellungen, wie z. B. Umkehraufgaben, aber ich finde es spannender sich mit Fragen wie diesen zu beschäftigen, weil sie ein bisschen mehr als die bloße Anwendung einer Dreisatzrechnung erfordern, um sie beantworten zu können:

Was ist das Verhältnis von Alkohol zu nichtalkoholischem Getränken, wenn ich eine gewisse Menge Radler mit einem bestimmten Mischverhältnis (z. B. 60 zu 40) und eine gewisse Menge alkoholfreien Radler mische?
Wie viel Bier muss ich zu einer gewissen Menge Radler mit dem Verhältnis 40 zu 60 hinzufügen, um es auf 50 zu 50 zu ändern?
Wie viel Bier muss ich hinzufügen, um das Verhältnis umzudrehen, d. h. auf 60 zu 40 zu ändern?
Gibt es eine Möglichkeit, um das Verhältnis auf 100 zu 0 zu ändern? Wenn ja, wie? Wenn nein, warum nicht?
Wie viel Bier muss ich zu einer gewissen Menge Limonade mindestens dazu geben, damit ich die Mischung als Radler bezeichnen darf?
Wie viel Limonade darf ich zu einer gewissen Menge eines bierhaltigen Getränks höchstens dazu geben, bis ich es nicht mehr als Radler bezeichnen darf?

Das perfekte Mischverhältnis ist übrigens anscheinend 50 zu 50. In Reihenfolge man die beiden Mischgetränke einschenken sollte, hängt davon ab, worauf man Wert legt. Falls zuerst Limonade und danach Bier eingefüllt wird, entsteht weniger Schaum, wodurch das Füllen schneller geht. Wenn man stattdessen eine gute Durchmischung erreichen will, sollte man zuerst das Bier und dann die Limonade einfüllen, weil das Bier eine geringere Dichte hat und ansonsten oben bleiben würde. Diese Methode dauert allerdings länger, da sich dabei wiederum mehr Schaum bildet.

Für eine gute Durchmischung ist die umgekehrte Reihenfolge allerdings günstiger: Wird das Bier zuerst eingefüllt, vermischt es sich vollständig mit der süßen Limonade. Im anderen Fall bleibt das Bier aufgrund seiner geringeren Dichte oben im Glas. Die richtige Methode erfordert allerdings Geduld, da sich mehr Schaum bildet.

Johannes C. Huber (viertelt sich gerne mit seinen Mitbewohnern drei Bier)

Quellen:

Donnerstag, 15. Juni 2023

Wer ist eigentlich gerade bei den Kindern?

Thema: Gangaufsichten und Tabellenkalkulation

Ein wesentlicher Teil unserer Arbeit als Lehrkraft ist die Erfüllung der Aufsichtspflicht. Für die Einteilung von Aufsichten gibt es wahrscheinlich kein Patentrezept, aber sicherlich die ein oder andere Software. Ich zeige nun, wie wir diese Aufgabe an unserer Schule mithilfe von Tabellenkalkulation gelöst haben.

Zu Beginn möchte ich erwähnen, dass alle kurzen Pausen, die jeweils nur fünf Minuten dauern, von jenen Lehrkräften abgedeckt werden, die zum jeweiligen Zeitpunkt in den betroffenen Klassen unterrichten. Es geht also um die Einteilung der Frühaufsicht nach dem Einlass in das Schulgebäude und fünfzehn Minuten vor Unterrichtsbeginn sowie jene während der großen Pause um 10:40 Uhr, die bei uns ebenfalls fünfzehn Minuten dauert.

Selbstverständlich sollte die Aufteilung der Dienste möglichst fair sein, weshalb alle Beteiligten ungefähr im zeitlichen Ausmaß ihrer Beschäftigung zum Einsatz kommen sollten. Dafür holen wir uns zunächst einmal eine Auflistung aller Arbeitsstunden nach der jeweiligen Lehrverpflichtung und kopieren diese Informationen in eine Excel-Tabelle.

Dann bilden wir zwei Summen: Wir brauchen einerseits jene aller Arbeitsstunden und andererseits die Anzahl aller Gangaufsichten. Die erste erhalten wir mit dem Befehl “=SUMME()“. In die Klammern schreiben wir die Namen der Zellen, deren Einträge (das müssen Zahlenwerte sein) wir summieren möchten. Das ist in diesem Fall die Spalte mit den Arbeitsstunden. Wir können stattdessen auch den entsprechenden Bereich mit der Maus markieren. Hier ein einfaches Beispiel:

Der Doppelpunkt zwischen den beiden Zellen B1 und B3 funktioniert wie ein Bindestrich, um zu kennzeichnen, bis wohin gezählt wird. Im Schuljahr 2023/23 kommen beispielsweise alle Kolleginnen und Kollegen zu Schulbeginn gemeinsam auf 592 Stunden pro Woche.

Die Gesamtanzahl der Gangaufsichten ergibt sich wiederum wie folgt: Fünf Tage (Montag bis Freitag) mal vier Bereiche im Schulgebäude (2. und 3. Stock Altbau sowie Erdgeschoß und 1. Stock Neubau) mal zwei Aufsichten (Frühaufsicht und große Pausenaufsicht) mal jeweils zwei Personen pro Aufsicht. Das ergibt insgesamt 5 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 80 Aufsichten, die zu besetzen sind:

Als Nächstes können wir eine Übersicht erstellen, um zu koordinieren, wer wie viele Aufsichten übernehmen soll. Wir brauchen dafür sechs Spalten mit folgenden Einträgen:

LK (Kürzel der Lehrkraft): Hängt von der Person ab und wird der Liste entnommen.
Std. (Lehrverpflichtung bzw. Arbeitsstunden pro Woche): Dabei handelt es sich um die Anzahl der Arbeitsstunden pro Woche, die wir ebenfalls der Liste entnehmen.
% Std. (Anteil der Lehrverpflichtung in Prozent): Diesen berechnen wir, indem wir die Anzahl der Unterrichtsstunden der jeweiligen Lehrkraft X durch die Summe aller Unterrichtsstunden Y dividieren (“=X/Y”) und das Ergebnis als Prozentsatz formatieren.
A (Anzahl der Aufsichten): In dieser Spalte steht zu Beginn in jeder Zelle der Wert 0 bzw. ist die Zelle leer. Dort wird später die jeweilige Anzahl der Gangaufsichten eingetragen, aber wie das automatisiert werden kann, erläutere ich weiter unten.
% A (Anteil der Aufsichten in Prozent): Diesen berechnen wir auf dieselbe Art, wie den Anteil der Lehrverpflichtung mit dem Unterschied, dass wir diesmal die beiden Zellen mit den Werten für die Aufsichten auswählen.
Δ (Abweichung): Damit ist die absolute Differenz zwischen den beiden Prozentwerten gemeint. Diese berechnen wir, indem wir "=ABS(X-Y)" in die Zelle schreiben, wobei es keine Rolle spielt, welcher der beiden Werte vom anderen abgezogen wird. Diese sagt uns, wie stark die Einteilung der Person von ihrem berechneten Ideal abweicht. Wir können diese Zellen zusätzlich so formatieren, dass sie in Abhängigkeit von der Größe der jeweiligen Abweichung die Farbe ändern, und zwar von grün für wenig über gelb für mittel bis rot für viel (für weitere Infos siehe bedingte Formatierung).

Hier ein kurzes Beispiel: Kollegin A hat eine fast volle Lehrverpflichtung mit 22 Stunden, was ungefähr 3,72 Prozent der gesamten Stunden entspricht. Kollege B hingegen hat eine Lehrverpflichtung mit 15 Stunden, was nur circa 2,53 Prozent der entspricht. Kollegin C wiederum hat eine volle Lehrverpflichtung mit 24 Stunden (ca. 4,05 Prozent).

Der entsprechende Anteil an den Gangaufsichten sollte nun ähnlich ausfallen. Für Kollegin A bieten sich drei Aufsichten an, weil 3/80 = 0,0375 = 3,75 %. Kollege B sollte zwei Aufsichten übernehmen, da 2/80 = 0,025 = 2,5 %. Der Anteil von Kollegin C ist nicht ideal, aber hier sind drei Aufsichten der beste Näherungswert.

Nun können wir damit anfangen, Leute in den Plan einzutragen, aber ständig mitzählen und neue Zahlen eintippen wäre mühsam, also automatisieren wir das Ganze. Dazu schreiben wir den Befehl "=ZÄHLENWENN()" in die entsprechende Zelle. In die Klammern schreiben wir zuerst das, was gezählt werden soll und danach einen Strichpunkt, gefolgt vom Bereich, in dem gezählt werden soll. Ersteres ist in diesem Fall das Kürzel der jeweiligen Lehrkraft und letzteres die noch leeren Zellen im Plan:

Anstatt jedes Kürzel extra zu schreiben, markieren wir einfach die entsprechende Zelle. Die Dollarzeichen bei der Auswahl des Zählbereichs sorgen dafür, dass dieser gleich bleibt, auch wenn wir die Formel später in andere Zellen kopieren, indem wir auf den Punkt in der rechten unteren Ecke einer markierten Zelle klicken und mit der Maus weiterziehen:

Am Ende sollte die Summe aller Gangaufsichten in der Übersicht selbstverständlich gleich der Anzahl der zu besetzenden Dienste sein, aber wir sehen ohnehin, ob es Dienste, die noch nicht vergeben sind bzw. leere Zellen gibt:

Nun kommen wir zum schwierigen Teil, denn das eigentliche Problem bei der ganzen Sache ist nicht etwa die faire Verteilung. Abgesehen davon müssen wir nämlich noch überprüfen, ob die betroffene Person zu der jeweiligen Zeit auch Dienst hat, sprich im Haus ist. Zusätzlich sollten wir berücksichtigen, in welchem Teil des Gebäudes sie zu diesem Zeitpunkt arbeitet und wo sie nach der Aufsicht als Nächstes hin muss. Dafür können wir den Stundenplan aller Lehrkräfte oder Klassen heranziehen.

Darüber hinaus gibt es noch ein paar weitere Dinge, die beachtet werden sollten. Falls eine Lehrkraft bereits den ganzen Vormittag durchgehend unterrichtet, sollte sie nicht auch noch eine Aufsicht übernehmen müssen. Und es wäre außerdem noch wünschenswert, dass die eingeteilten Lehrkräfte auch jene Kinder kennen, die sie beaufsichtigen sollen und umgekehrt. Zu guter Letzt gibt es wahrscheinlich noch den einen oder anderen Sonderwunsch und man sollte davon ausgehen, dass der Plan auch ein paar Mal überarbeitet werden muss, bis er wirklich für alle Beteiligten passt.

Alles klar? Falls ja, dann viel Vergnügen und gutes Gelingen! Falls nein, wird schon schiefgehen. Hier eine kurze Übersicht der Kriterien für einen guten Aufsichtsplan:

Verständlichkeit: Ein einfaches Layout sollte eine gute Lesbarkeit ermöglichen.
Fairness: Die Anzahl der Aufsichten sollte sich an der Anzahl der Arbeitsstunden gemäß der Lehrverpflichtung orientieren.
Einhaltung der Dienstzeiten: Niemand darf außerhalb seiner Arbeitszeiten für eine Aufsicht eingeteilt werden.
keine Doppelbesetzungen: Eine Lehrkraft kann nicht an zwei Orten gleichzeitig sein.
sinnvolle Übergangszeiten: Niemand möchte nach einer Aufsicht irgendwo hin hetzen müssen, weil sie an einem ganz anderen Ort als die nächste Unterrichtsstunde stattfindet.
ausreichend Schonzeiten: Es ist nicht in Ordnung eine Lehrkraft, die an einem Tag bereits sechs Stunden durchgehend unterrichtet, zusätzlich vor dem Unterricht oder während der großen Pause für eine Aufsicht einzuteilen.
sinnvolle Einteilung: Lehrkräfte sollten, nach Möglichkeit, auch in den betroffenen Klassen unterrichten, die sie beaufsichtigen.

Johannes C. Huber (musste schon einige Permutationen vornehmen bis alle zufrieden waren)

Sonntag, 11. Juni 2023

Arithmantik für die erste Klasse

Thema: Hogwarts und Mathematik

Um meine ersten Klassen zu motivieren, sich nach ihrer Volksschulzeit noch einmal intensiver mit den Grundrechnungsarten zu beschäftigen, habe ich eine Stunde aus der Welt von Harry Potter vorbereitet. In der Hogwarts-Schule für Hexerei und Zauberei gibt es nämlich ein Fach namens Arithmantik. Die Bezeichnung setzt sich aus den griechischen Worten arithmós (Zahl) und manteía (Wahrsagung) zusammen und hat auch ein reales Pendant aus der griechischen Antike namens Arithmomantie. Dabei handelt sich also um eine Mischung aus Rechnen und Hellsehen.

Obwohl die Autorin J. K. Rowling in ihren Werken nicht näher auf die Schwerpunkte dieses Schulfachs eingeht, gibt es viele von der Fangemeinde erstellte Materialien, die sich teilweise auf Inhalte aus ergänzender Literatur zu ihrer Welt der Zauberei stützen. Ich habe mir diese näher angeschaut und einen, meines Erachtens, für die erste Klasse geeigneten Inhalt ausgewählt, den ich nun schildern werde.

Ein altersadäquater Einstieg ist die Bestimmung sogenannter Namenszahlen. Dabei wird die Summe aller Buchstaben des vollständigen eigenen Namens gebildet. Da wir diese jedoch nicht ohne Weiteres addieren können, wird jedem Buchstaben des Alphabets (inklusive Ä, Ö und Ü) eine Zahl von 1 bis 9 zugewiesen:

Anschließend werden die Buchstaben in diese Zahlen umgewandelt und zusammengezählt. Da in den meisten Fällen eine mindestens zweistellige Zahl herauskommt, wird danach noch so lange die Quersumme gebildet, bis man schließlich eine einstellige Zahl erhält:

(J + O + H + A + N + N + E + S) + (C + L+ E + M + E + N + S) + (H + U + B + E + R) =
(1 + 6 + 8 + 1 + 5 + 5 + 5 + 1) + (3 + 3 + 5 + 4 + 5 + 5 + 1) + (8 + 3 + 2 + 5 + 9) =
32 + 26 + 27 = 85 → 8 + 5 = 13 → 1 + 3 = 4

Abgesehen von der Namenszahl, die das Wesen eines Menschen bzw. die Persönlichkeit beschreiben soll, gibt es auch noch die Vokal- und die Konsonantenzahl. Erstere wird nur mit den Vokalen (Selbstlauten) gebildet und steht für das bewusste, äußere Ich. Letztere wiederum wird nur mit den Konsonanten (Mitlauten) gebildet und steht für das unbewusste, innere Ich:

(O + A + E) + (E + E) + (U + E) =
(6 + 1 + 5) + (5 + 5) + (3 + 5) =
12 + 10 + 8 = 30 → 3 + 0 = 3

(J + H + N + N + S) + (C + L + M + N + S) + (H + B + R) =
(1 + 8 + 5 + 5 + 1) + (3 + 3 + 4 + 5 + 1) + (8 + 2 + 9) =
20 + 16 + 19 = 55 → 5 + 5 = 10 → 1 + 0 = 1

Es scheint so, als ob Vokal- und Konsonantenzahl zusammen wieder die Namenszahl ergeben, weil 3 + 1 = 4, aber das stimmt nur bedingt. Bei den Zwischensummen, also bevor etwaige Quersummen gebildet werden, ist das selbstverständlich der Fall, weil sie ganz einfach Teilsummen des Zwischenergebnisses der Namenszahl sind: 30 + 55 = 85. Um uns davon zu überzeugen, dass das beim Endergebnis nicht automatisch so ist, schauen wir uns am besten noch ein weiteres Beispiel an:

(J + O + A + N + N + E) + (R + O + W + L + I + N + G) =
(1 + 6 + 1 + 5 + 5 + 5) + (9 + 6 + 5 + 3 + 9 + 5 + 7) =
23 + 44 = 67 → 6 + 7 = 13 → 1 + 3 = 4

(O + A + E) + (O + I) =
(6 + 1 + 5) + (6 + 9) =
12 + 15 = 27 → 2 + 7 = 9

(J + N + N) + (R + W + L + N + G) =
(1 + 5 + 5) + (9 + 5 + 3 + 5 + 7) =
11 + 29 = 40 → 4 + 0 = 4

Zum Schluss bleibt noch die Deutung der Zahlen. Dafür gibt es glücklicherweise eine Übersichtstabelle:

Zahl	Symbol für	gute Eigenschaften	schlechte Eigenschaften
1	Individualität & Unabhängigkeit	Menschen mit der Zahl 1 konzentrieren sich immer nur auf ein Ziel. Sie sind sehr entschlossen, oft Anführer und Erfinder.	Einzelgänger: Sie neigen dazu egoistisch und dominant zu sein.
2	Zusammenarbeit & Gleichgewicht	Menschen der Zahl 2 haben eine gute Vorstellungskraft, sind kreativ, freundlich. Sie legen wert auf Frieden, Harmonie, Verbundenheit, Loyalität und Fairness.	Sie neigen dazu launisch, unentschieden und in sich gekehrt zu sein.
3	Vollständigkeit & Ganzheit	Menschen der Zahl 3 haben Talent, Energie und ein künstlerisches Wesen. Sie besitzen Humor, sind gesellig, glücklich, unbeschwert und oft sehr erfolgreich.	Sie sind häufig unkonzentriert, schnell beleidigt und oberflächlich.
4	Stabilität & Festigkeit	Menschen der Zahl 4 sind praktisch, bodenständig und zuverlässig. Sie ziehen Spinnereien der Logik vor. Sie können sich gut organisieren und bringen schnell ihre Sachen auf die Reihe.	Sie neigen dazu stur und misstrauisch zu sein. Außerdem neigen sie zu Wutausbrüchen.
5	Instabilität & Ungleichgewicht	Menschen der Zahl 5 sind abenteuerlustig, energiegeladen, und risikobereit. Sie reisen gerne, lernen gerne andere Leute kennen und verweilen nicht lange am gleichen Ort.	Sie sind jedoch auch oft eitel und neigen zu Unverantwortlichkeit, Hitzigkeit und Ungeduld.
6	Harmonie, Freundschaft & Familienleben	Menschen der Zahl 6 sind loyal, zuverlässig und liebevoll. Sie passen sich leicht an, sind gute Lehrer und Künstler.	Lassen sich bei Geschäften oft über den Tisch ziehen, neigen zu Schwatzhaftigkeit und Selbstgefälligkeit
7	Wissen & Arbeit	Menschen der Zahl 7 sind scharfsichtig, verständig und gescheit. Sie haben Spaß an harter Arbeit, nehmen Herausforderungen gerne an, sind ernst, gelehrtenhaft und gehen jedem Geheimnis auf die Spur.	Sie neigen dazu pessimistisch, sarkastisch und unsicher zu sein.
8	Macht & Erfolg	Menschen der Zahl 8 sind praktisch, ehrgeizig und fleißig. Sie sind oft erfolgreich im Job und setzen ihre Ziele um.	Sie neigen aber dazu eifersüchtig, gierig, tyrannisch und machthungrig zu sein.
9	Vollkommenheit	Menschen der Zahl 9 widmen sich dem Dienst anderer Menschen. Sie werden häufig Wissenschaftler oder setzen sich für Menschenrechte ein. Sie sind fest entschlossen und arbeiten unermüdlich.	Sie können übermäßig unruhig und perfektionistisch sein, stecken schlecht zurück und können nichts ruhen lassen, bis es vollendet ist.

Deutung der Namens-, Vokal- und Konsonatenzahlen (Quelle: Harry Potters Welt)

Ob man den zugehörigen Vorhersagen nun etwas abgewinnen kann oder nicht, sei dahingestellt. Für mich persönlich steht jedenfalls das bisschen Mathematik, das nötig war, um die Zahlen zu bestimmen, im Vordergrund. Nun kann man kritisieren, dass sich das Rechnen rein auf die Addition beschränkt, aber ich würde dagegenhalten, dass noch das (bis dahin möglicheriweise noch nicht bekannte) Bilden einer Quersumme dazu kommt und auch schon ein kleiner Vorgeschmack auf das Arbeiten mit Variablen gegeben wird. Ein möglicher positiver Nebeneffekt ist außerdem, dass die Lernenden Spaß daran haben das Thema Grundrechnungsarten auf diese Art und Weise zu wiederholen.

Johannes C. Huber (ist anscheinend praktisch, zuverlässig und bodenständig, aber auch stur und misstrauisch)

Mittwoch, 31. Mai 2023

Falsche Freunde Teil 1

Thema: mathematische Formeln

Spezialfall der binomischen Formeln

Eine im Allgemeinen nicht gültige Version der ersten binomischen Formel sehe ich, so wie wahrscheinlich viele andere in meinem Beruf mit demselben Unterrichtsfach, leider immer wieder:

\[(a + b)^2 = a^2 + b^2\]

Falls jedoch \(a = b = 0\) gilt, ist das Ergebnis dieser falschen Umformung tatsächlich richtig.

Mediante

Ein beliebter Fehler bei der Addition von Brüchen, ist, die beiden Zähler und Nenner zu addieren:

\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}\]

Das ist zwar nicht der richtige Bruch, aber immerhin die sogenannte Mediante (Mittelzahl). Dieser Bruch liegt stets zwischen den beiden anderen und man erhält ihn, indem man jeweils die beiden Zähler bzw. Nenner addiert und zum neuen Zähler bzw. Nenner des Bruchs macht. Allerdings wird fälschlicherweise oft davon ausgegangen, dass die so entstandene Zahl exakt in der Mitte zwischen den beiden anderen Brüchen liegt. Dieser Irrglaube lässt sich jedoch schnell entkräften: So liegt beispielsweise die Mediante der beiden Brüche \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{1}{8}\) näher beim zweiten Bruch.*

Dreiecksfläche

Eine falsche Formel für die Fläche des allgemeinen Dreiecks, die ich bei meinen Lernenden hin und wieder sehe, ist diese hier: \(abc = A\). Die Fläche können wir mit dem Produkt der drei Seiten zwar nicht berechnen, aber es gibt tatsächlich einen recht ähnliche Formel: \(abc=4rA\)

Um zu verstehen, wie man darauf kommt, zeichnen wir ein Dreieck \(ABC\) mit den Seiten \(a = BC\), \(b = AC\) und \(c = AB\), den dazugehörenden Umkreis mit Durchmesser \(d = AD\) und die Höhe \(h = AH\) auf \(a\), wobei \(D\) der auf dem Kreis liegende Punkt gegenüber von \(A\) und \(H\) der Höhenfußpunkt auf \(a\) ist:

Veranschaulichung der Herleitung (Bildquelle: eigene Darstellung mit GeoGebra)

Die Winkel \(\gamma_1 = \angle AHC\) und \(\gamma_2 = \angle ABD\) sind beide 90 Grad groß, weil die Höhe \(h =AH\) normal auf \(BC\) steht und der zweite Winkel aufgrund des Satzes von Thales rechtwinklig ist. Da die beiden Punkte C und D über der Kreissehne\(AB\) liegen, sind die beiden Winkel \(\beta_1 = \angle ACH\) und \(\beta_2 = \angle ADB\) aufgrund des Peripheriewinkelsatzes ebenfalls gleich groß. Also sind auch die beiden Winkel \(\alpha_1 = \angle CAH\) und \(\alpha_2 = \angle BAD\) gleich groß und die Dreiecke \(ACH\) und \(ABD\) zueinander ähnlich. Daher gilt auch \(AB \sim AH\), \(AD \sim AC\) und \(BD \sim CH\) und wir können das folgende Verhältnis aufstellen:

\[\frac{AB}{AD} = \frac{AH}{AC} \Rightarrow \frac{AB}{2r} = \frac{AH}{AC} \Rightarrow 2r \cdot AH = AB \cdot AC\]

Wir wissen, dass die richtige Formel für den Flächeninhalt wie folgt lautet: \(A = \frac{a\cdot h}{2}\).

\[abc = a \cdot 2r \cdot AH = 2r \cdot a \cdot h = 2r \cdot 2A = 4rA\]

Johannes C. Huber (wartet gespannt auf neue falsche Formeln bei Hausübungen und Schularbeiten)

* Wer es genau wissen möchte: Die Brüche als Dezimalzahlen haben die Werte \(\frac{1}{2} = 0,5\), \(\frac{1}{8} = 0,125\) und \(\frac{1+1}{2+8} = \frac{2}{10} = 0,2\). Die Längen der beiden Abstände zu Mediante sind \(|0,5 - 0,2| = 0,3\) und \(|0,125 - 0,2| = 0,075\).

Quellen:

verschiedene geometrische Beziehungen in Dreiecken auf Cut the Knot
Humenberger J. (2009): Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen. In: MNU-Journal Heft 2009-02.