Falsche Freunde Teil 1

Thema: mathematische Formeln

Spezialfall der binomischen Formeln

Eine im Allgemeinen nicht gültige Version der ersten binomischen Formel sehe ich, so wie wahrscheinlich viele andere in meinem Beruf mit demselben Unterrichtsfach, leider immer wieder:

$$(a + b)^2 =  a^2 + b^2$$

Falls jedoch $a = b = 0$ gilt, ist das Ergebnis dieser falschen Umformung tatsächlich richtig.

Mediante

Ein beliebter Fehler bei der Addition von Brüchen, ist, die beiden Zähler und Nenner zu addieren:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$$

Das ist zwar nicht der richtige Bruch, aber immerhin die sogenannte Mediante (Mittelzahl). Dieser Bruch liegt stets zwischen den beiden anderen und man erhält ihn, indem man jeweils die beiden Zähler bzw. Nenner addiert und zum neuen Zähler bzw. Nenner des Bruchs macht. Allerdings wird fälschlicherweise oft davon ausgegangen, dass die so entstandene Zahl exakt in der Mitte zwischen den beiden anderen Brüchen liegt. Dieser Irrglaube lässt sich jedoch schnell entkräften: So liegt beispielsweise die Mediante der beiden Brüche $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{8}$ näher beim zweiten Bruch.*

Dreiecksfläche

Eine falsche Formel für die Fläche des allgemeinen Dreiecks, die ich bei meinen Lernenden hin und wieder sehe, ist diese hier: $abc = A$. Die Fläche können wir mit dem Produkt der drei Seiten zwar nicht berechnen, aber es gibt tatsächlich einen recht ähnliche Formel: $abc=4rA$

Um zu verstehen, wie man darauf kommt, zeichnen wir ein Dreieck $ABC$ mit den Seiten $a = BC$, $b = AC$ und $c = AB$, den dazugehörenden Umkreis mit Durchmesser $d = AD$ und die Höhe $h = AH$ auf $a$, wobei $D$ der auf dem Kreis liegende Punkt gegenüber von $A$ und $H$ der Höhenfußpunkt auf $a$ ist:

Veranschaulichung der Herleitung (Bildquelle: eigene Darstellung mit GeoGebra)

Die Winkel $\gamma_1 = \angle AHC$ und \(\gamma_2 = \angle ABD\) sind beide 90 Grad groß, weil die Höhe $h =AH$ normal auf $BC$ steht und der zweite Winkel aufgrund des Satzes von Thales rechtwinklig ist. Da die beiden Punkte C und D über der Kreissehne$AB$ liegen, sind die beiden Winkel $\beta_1 = \angle ACH$ und $\beta_2 = \angle ADB$ aufgrund des Peripheriewinkelsatzes ebenfalls gleich groß. Also sind auch die beiden Winkel $\alpha_1 = \angle CAH$ und $\alpha_2 = \angle BAD$ gleich groß und die Dreiecke $ACH$ und $ABD$ zueinander ähnlich. Daher gilt auch $AB \sim AH$, $AD \sim AC$ und $BD \sim CH$ und wir können das folgende Verhältnis aufstellen:

$$\frac{AB}{AD} = \frac{AH}{AC} \Rightarrow \frac{AB}{2r} = \frac{AH}{AC} \Rightarrow 2r \cdot AH = AB \cdot AC$$

Wir wissen, dass die richtige Formel für den Flächeninhalt wie folgt lautet: $A = \frac{a\cdot h}{2}$.

$$abc = a \cdot 2r \cdot AH = 2r \cdot a \cdot h = 2r \cdot 2A = 4rA$$

Johannes C. Huber (wartet gespannt auf neue falsche Formeln bei Hausübungen und Schularbeiten)

* Wer es genau wissen möchte: Die Brüche als Dezimalzahlen haben die Werte $\frac{1}{2} = 0,5$, $\frac{1}{8} = 0,125$ und $\frac{1+1}{2+8} = \frac{2}{10} = 0,2$. Die Längen der beiden Abstände zu Mediante sind $|0,5 - 0,2| = 0,3$ und $|0,125 - 0,2| = 0,075$.

Quellen:

• verschiedene geometrische Beziehungen in Dreiecken auf Cut the Knot
• Humenberger J. (2009): Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen. In: MNU-Journal Heft 2009-02.