Sonntag, 31. Juli 2022

Bloß keine halben Sachen

Thema: Handybildschirme und Troubleshooting

Im Frühjahr ist das Handy meiner Freundin auf den Küchenboden gefallen. Da der Bildschirm keinen Sprung o. ä. hatte, haben wir uns zunächst nichts weiter dabei gedacht. Nach kurzer Zeit stellte sich jedoch heraus, dass der Touchscreen ab der oberen Hälfte nicht mehr funktioniert. Außerdem war ein Teil der Bildpunkte auf der linken Seite schwarz. Um das Ganze noch schlimmer zu machen wurde der dadurch enstandene Fleck mit der Zeit größer und größer. Wir hatten also keine Zeit zu verlieren.

ein paar Stunden danach (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Um das Handy weiterhin bedienen zu können war unsere erste Idee den Bildschirm zu rotieren, um so abwechselnd auch auf die beiden fehlenden oberen Hälften zugreifen zu können. Unglücklicherweise hatte sie diese Funktion nicht aktiviert, also haben wir uns schlau gemacht, welche anderen Bedienungsmöglichkeiten kurzfristig in Frage kommen.

Es gibt u. a. die Option "Einhand-Bedienung", die das Tippen erleichtern soll, aber da ihr eigentliches Problem war, dass ein gewisser Teil des Bildschirms schlicht und einfach nicht reagiert, hätte diese Einstellung ohnehin keinen großen Unterschied gemacht.

Als Nächstes haben wir den Playstore nach brauchbaren Anwendungen durchsucht und sind auf die App "Auto Cursor" gestoßen. Unglücklicherweise war der Button für den Download (und in weiterer Folge wohl auch die Installation) genau ein kleines Stück zu weit oben um ihn antippen zu können. Also haben wir stattdessen versucht die App als apk-Datei herunterzuladen und manuell zu installieren. Auch hier hat uns der Bildschirm wieder ein Schnippchen geschlagen, weil sie dazu erst die Installation aus unbekannten Quellen aktivieren hätte müssen.

Das hat uns aber auf eine andere Idee gebracht, da sie immerhin das USB-Debugging einschalten konnte. Nun haben wir uns auf die Suche nach einem sogenannten Screen Mirror gemacht. Mein Vorschlag war zunächst ihr Gerät mittels Smartphone-Link mit meinem Rechner zu verbinden, aber auch das hätte wieder eine Freigabe auf dem oberen Teil des Bildschirms erfordert.

Schließlich sind wir auf das Programm "Screen Copy" gestoßen, mit dem ich es tatsächlich geschafft habe ihr Handy auf meinem Laptop zu spiegeln. Sobald das geglückt war, hat sie gleich die Bildschirmrotation und ein paar andere Dinge aktiviert um auf Nummer sicher zu gehen. Danach begann der Datentransfer.

Johannes C. Huber (hat bisher erst einen Handybildschirm kaputt gemacht)

Dienstag, 26. Juli 2022

Wie viel Bier ist genug?

Thema: Plakate und Zylinder

Disclaimer: Es handelt sich bei diesem Beitrag NICHT um Werbung.

Vor kurzem ist mir ein Plakat auf der Mauer eines Lokals an der Donau aufgefallen. Darauf sind vier Biergläser abgebildet, die von links nach rechts größer werden. Da es bekanntlich unterschiedliche Füllmengen für Bier gibt, habe ich mich gefragt, ob die abgebildeten Gläser ein paar bestimmten entsprechen und wenn ja, welche es sind. Meine erste Vermutung war, dass wir von links nach rechts wahrscheinlich Folgende sehen: Pfiff, Seidl, Halbe und Maß.

Werbeplakat für Bier von Stiegl mit Stiegl aus Bier (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Da die abgebildeten Trinkgefäße annähernd zylindrisch geformt sind, dürfte es für unsere Überlegungen ausreichen die entsprechende Formel zu verwenden. Ich habe die Proportionen der Gläser grob mit dem Auswahlwerkzeug im Bildbearbeitungsprogramm Gimp gemessen. Dazu habe ich ein Rechteck vom Glasboden weg bis zum Anfang des Bierschaums über die Abbildungen gelegt und bin auf folgende Maße gekommen (v. l. n. r.):


Ich bin zunächst davon ausgegangen, dass das größte Glas einen ganzen Liter Bier (ein Maß) darstellt, weil ich dann mit vergleichsweise wenig Aufwand die Anteile der drei kleineren Gläser bestimmen kann. Ihre Füllmengen würden dann ca. 0,3 Liter (Seidl), 0,5 Liter (Halbe/Krügel) und 0,75 Liter (Schimmala) entsprechen. Wenn ich stattdessen davon ausgehe, dass das kleinste Glas 0,125 Liter (ein Pfiff) darstellt, dann würden die drei größeren Gläser ungefähr 0,2 Liter (Flöte), 0,3 Liter (Seidl) und 0,4 Liter (Humpen) beinhalten. Beide Varianten sind mir allerdings nicht ganz richtig vorgekommen.

Tatsächlich dürften die vier Gläser nämlich folgende Füllmengen haben: 0,125 Liter (Pfiff), 0,2 Liter (Flöte), 0,3 Liter (Seidl) und 0,5 Liter (Halbe/Krügel). Das liegt daran, dass ich durch eine kurze Internetrecherche auf den Shop gestoßen bin, wo alle Größen für den sogenannten Stiegl Becher angegeben sind. Diese Unterschiede sind womöglich Fehlern bei meinen, zugegeben, sehr groben Messungen geschuldet. Es kann auch an einer nicht maßstabsgetreuen Skalierung der abgebildeten Biergläser liegen oder manche von ihnen wurden schlicht und einfach nicht ordentlich eingeschenkt.

Johannes C. Huber (findet es schade, dass die Füllmengen in Summe nicht einen Liter ergeben)

Quellen:

Dienstag, 28. Juni 2022

Werde eins mit dem Tau

Thema: Ein Manifest für die wahre Kreiskonstante

Am 28. Juni wird der Tau-Day gefeiert und deshalb gibt es doppelt so viel Kuchen wie am 14. März.

Doppelt hält nun mal besser. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Der Name lässt sich, genauso wie beim Pi-Day, aus dem entsprechenden Datum in US-amerikanischer Schreibweise ableiten: 06-28-XX. Falls wir es noch genauer haben möchten: Im Jahr 2031 wird Tau am späten Abend auf neun Stellen hinter dem Komma möglich sein - 06/28/31 8:53:07.
 
Ich habe vor Kurzem gemeinsam mit Axel, einem deutschen Physiker, und Jonas, einem Schweizer Informatiker, das Tau-Manifest von Michael Hartl in die deutsche Sprache übersetzt. Ich pflichte Jonas bei, der geschrieben hat: "I'm so excited for this. So we have a German, an Austrian and a Swiss person working on the German translation... it must be good ;-)". Es war eine tolle Erfahrung daran zu arbeiten und ich würde es jederzeit wieder machen.
 Auch die Stellen der wahren Kreiskonstante eignen sich für Zeitangaben und vieles mehr.

In diesem Beitrag möchte ich zur Feier des Tages ein paar Merksätze für Tau vorstellen. Es gibt etliche, mit denen wir uns unterschiedlich viele Stellen von Pi ins Gedächtnis rufen können (ich habe mich in einem vergangenen Beitrag zum Pi-Day damit beschäftigt), also ist es höchste Zeit hier ein wenig nachzuschärfen. Um die Ziffern der Stellen abzulesen, zählen wir die Anzahl der Buchstaben in jedem Wort. Eine Schwierigkeit war in diesem Fall das Vorkommen von Nullen in den Stellenwerten. Ich habe mir mehrere Möglichkeiten überlegt, wie ich damit umgehen kann:

  • die Null auslassen: Das ist zwar einfach, aber leider überhaupt nicht praktikabel, weil dann nicht mehr klar ist ob überhaupt eine Null vorkommt und wenn ja, wo genau.

  • statt der Null ein Satzzeichen schreiben: Im folgenden Beispiel steht der Bindestrich für eine Null. Ich hätte stattdessen auch einen Punkt oder ein Ausrufezeichen schreiben können. Es handelt sich hierbei um meine letzte Nachricht aus unserer Mailkorrespondenz:
"Cheers to trueness and τ-tologies being one - Luckily I cherish wordplays ;-)"
  • stattdessen die vorangehende Ziffer zur Null dazu geben: Eine Null wird dadurch zusammen mit der Ziffer davor als zweistellige Zahl gelesen. Die erste Null wird z. B. mit dem davor stehenden Dreier zu Dreißig. Im Englischen gibt es anscheinend genau ein Wort mit 30 Buchstaben, und zwar "pseudopseudohypoparathyroidism" (eine seltene Knochenerkrankung), was leider thematisch überhaupt nichts mit der Kreiskonstante zu tun hat. Glücklicherweise ist die deutsche Sprache in dieser Hinsicht wesentlich genügsamer, weil es üblich ist viele Wörter miteinander zu verketten. Ich habe zunächst in ein paar Listen geschmökert, ehe ich mich entschieden habe ein eigenes zu erfinden, das in diesem Merksatz vorkommt:
"Gerade so schreiben wir π-etätvoll diese Kreiskonstantenmanifestversion."
  • statt der Null eine markierte Leerstelle schreiben: Das habe ich beim Merksatz nach meiner Signatur am Ende des Beitrags probiert:

Johannes C. Huber (möchte es schaffen die \(\tau\)-Floskeln sogar mit _ Stellen \(\pi\)-ttoresk anzumuten)

Quellen:

Samstag, 28. Mai 2022

Ein Ring, sie vollbrächten, die Formel zu finden

Thema: Donuts und Formeln

Im Mathematikunterricht der Unterstufe lernen wir, wie man die Formel für die Kreisfläche herleitet. Dazu zerschneiden wir diese in gleich große Ausschnitte (Sektoren) und legen sie anschließend versetzt wieder zusammen. Je kleiner diese Ausschnitte sind, desto mehr erinnert die dadurch entstandene Form an ein Rechteck, für das wir ganz einfach die Fläche berechnen können:

Veranschaulichung der Kreisflächenformel (Bildquelle: abgeändert nach Wikimedia Commons)

Im Rahmen des Kreises und seiner Teile wird normalerweise auch der Kreisring behandelt. Das dreidimensionale Pendant des Kreises ist die Kugel und jenes des Rings ist der Torus:

 
Kreis, Kugel, Ring und Torus (Bildquelle: eigene Darstellung mit Geogebra)

Dieser wird oft fälschlicherweise ebenfalls als Ring bezeichnet. Bessere Alternativen wären z. B. die Begriffe Reifen oder Donut. Möglicherweise denken manche Leute aus dem Lesepublikum, dass die Formel für das Volumen dieses Körpers äußerst kompliziert sein muss und tatsächlich gibt es auch verhältnismäßig abschreckend aussehende Varianten davon, wie z. B.:

Wir können sie aber stattdessen auch mit derselben Strategie herleiten wie jene für die Kreisfläche. 

Dazu gehen wir wie folgt vor:

Wir zerschneiden den Donut in gleich große Stücke...
 
...dann legen wir diese jeweils versetzt aufeinander...

...und erhalten ein Gebilde, das an einen Zylinder erinnert.

Je feiner wir den Torus zerlegen, desto zylindrischer ist das neue Konstrukt. Die Formel für das Zylindervolumen ist einfach die Grundfläche multipliziert mit der Höhe. Wir müssen uns also nur überlegen, welche beiden Bestandteile das in diesem Fall sind. Die Grundfläche ist die kreisförmige Querschnittsfläche des Torus mit Innenradius \(r\) und die Höhe ist der mittlere Umfang des Torus, den wir mit dem mittleren Radius \(R\) erhalten. Diesen Umstand können wir uns anschaulich erklären indem wir berücksichtigen, dass auf jeder Seite jeweils die Hälfte des inneren und äußeren Umfangs des Torus aufeinander gestapelt werden. Wenn wir diese beiden Größen in die Formel für den Zylinder einsetzen, erhalten wir mit wenig Aufwand die Formel für das Volumen des Torus:

 Wer braucht schon Funktionaldeterminanten oder Rotationskörper, wenn es auch einfacher geht?

Johannes C. Huber (unterscheidet nicht mehr zwischen ringförmigen und geraden Donuts)

Montag, 25. April 2022

A Herz hat a jeder Mensch

Thema: Kartenspiele und Kombinatorik

Ich spiele seit ungefähr einem halben Jahr hin und wieder das Kartenspiel "Doppelkopf". Bei unserer Variante des Spiels verwenden wir insgesamt vierzig Karten, und zwar fünf verschiedene (Bube, Dame, König, Zehn und Ass) von jeder Farbe (Herz, Pik, Karo und Kreuz) jeweils zweimal. Trumpfkarten sind alle Buben und Damen, sowie alle Karo-Karten und die Herz Zehner. Fehlfarbe bedeutet, dass die entsprechenden Karten keine Trümpfe und daher vergleichsweise schwach sind. Bei Herz gibt es also nur vier Karten der Fehlfarben: die beiden Asse und die beiden Könige. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass jede Person in der Runde genau eine dieser vier Herzkarten auf der Hand hat und ein Fehlfarbenstich mit Herz durchgeht?

beispielhafte Aufteilung der Handkarten für vier Personen, bei der jede Person
eine der vier Herzkarten der Fehlfarben auf der Hand hat (Bildquelle: Random.org)

Eine unkomplizierte Möglichkeit um das zu modellieren ist eine Kette von Multiplikationen aufzustellen. Das Austeilen der Karten ist nämlich wie eine Ziehung ohne Zurücklegen bzw. Wiederholung. Wir gehen zunächst einmal der Einfachheit halber davon aus, dass die erste Person zuallererst eine Herzkarte der Fehlfarben zieht und danach neun weitere der anderen 36 Karten:


Der Nenner wird mit jedem Zug um eins kleiner, da die Anzahl der Karten im Stapel immer weiter abnimmt. Dasselbe überlegen wir uns auch für die drei anderen Personen:

Nun müssen wir allerdings noch berücksichtigen, dass die Herzkarte genauso gut in jedem anderen der jeweils zehn Züge gezogen werden kann. Da die Herzkarte also auf zehn verschiedene Arten in der Hand der jeweiligen Person landen kann, multiplizieren wir jede Wahrscheinlichkeit mit 10:




Wenn wir diese Wahrscheinlichkeiten miteinander verketten erhalten wir als Ergebnis ungefähr 11 % oder in anderen Worten: Ein bisschen häufiger als jedes zehnte Spiel. Für diejenigen, die Formeln bevorzugen: Wir kommen auf dieselbe Wahrscheinlichkeit, wenn wir mit Binomialkoeffizienten arbeiten. Es gibt 40 über 10 Möglichkeiten für die erste Person zehn Karten zu ziehen, 30 über 10 für die zweite, 20 über 10 für die dritte und 10 über 10 für die vierte:

Davon darf jeweils nur eine der gezogenen Karten eine Herzkarte sein, also 4 über 1 Möglichkeiten für die erste Person, 3 über 1 für die zweite, 2 über 1 für die dritte und 1 über 1 für die letzte (die auf jeden Fall die verbleibende Herzkarte zieht):

Die restlichen neun Karten dürfen jeweils aus den verbleibenden Karten gezogen werden, die keine Herzkarten der Fehlfarben sind:

Dabei handelt es sich um folgende Formel des Urnenmodells aus der Kombinatorik, mit der man beim Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Kugeln einer Farbe ermitteln kann, wobei die mittlere Variante zum Einsatz kam:

Unser n ist in diesem Fall 10, weil jede Person zehn Karten zieht und unser \(k\) ist 1, weil eine davon eine der vier Herzkarten der Fehlfarben sein soll. Für die erste Person stehen \(N\) = 40 Karten zur Auswahl, unter denen sich zu Beginn noch \(M\) = 4 Herzkarten der Fehlfarben befinden. Für die zweite verbleiben \(N\) = 30 Karten mit nur noch \(M\) = 3 Herzkarten der Fehlfarben und so weiter:




Nun aber zu einem praxisrelevanten Aspekt: Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelingt mir der Fehlfarbenstich, wenn ich ausspielen darf? An dieser Stelle muss erwähnt werden, dass bei Doppelkopf Farbzwang herrscht, d. h. die Fehlfarbe Herz muss, wenn möglich, auch bedient werden. Unsere Frage lautet also in anderen Worten: Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich ein Herz-Ass und die anderen drei Personen jeweils genau eine Herzkarte der Fehlfarben?

Die Antwort auf die Frage ist schnell gefunden, wenn wir uns überlegen, wie viele verschiedene Fälle eintreten können. Es gibt insgesamt 4! = 24 Möglichkeiten die vier Karten anzuordnen. Allerdings sind jeweils zwei davon nicht paarweise unterscheidbar, also müssen wir noch zweimal durch 2! = 2 dividieren und kommen auf 6 mögliche Fälle:

  • Ass-Ass-König-König
  • Ass-König-Ass-König
  • Ass-König-König-Ass
  • König-Ass-Ass-König
  • König-Ass-König-Ass
  • König-König-Ass-Ass

Die günstigen Fälle entsprechen genau der Hälfte, was intuitiv auch klar sein sollte, wenn wir bedenken, dass die erste Person in der Hälfte der Fälle eines der beiden Herz-Asse auf der Hand hat.. Wir müssen also nur die Wahrscheinlichkeit halbieren und kommen auf ungefähr 5,5 %. Hier wird allerdings nicht berücksichtigt, dass es viele Verteilungen der Karten gibt, die bestimmte Spielarten (z. B. Soli o. ä.) begünstigen und die Wahrscheinlichkeit noch beeinflussen können.

Johannes C. Huber (überlegt sich künftig zweimal, ob er den Herzstich riskiert)

An dieser Stelle ein herzliches Dankeschön für wertvollen Input von Kai, Janis, Raphael und Clara!

Quellen:

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