Die Letzten können die Ersten sein

Thema: Stockerlplätze und Ranglisten

In meiner Freizeit engagiere ich mich seit Jahren ehrenamtlich bei den Pfadfinderinnen und Pfadfindern als Wichtel- und Wölflingsleiter und betreue Kinder im Volksschulalter. Ein klassischer Programmpunkt, den wir gerne im Rahmen unseres Sommerferienlagers durchführen, ist die Lagerolympiade. Wir überlegen uns dafür jedes Mal ein bestimmtes Thema wie z. B. antike olympische Spiele oder schottische Highland Games. Heuer haben wir in Ahnlehnung an den Covid-Stempelpass für Schulen und die olympischen Spiele in Tōkyō eine Ninja-Olympiade mit entsprechenden Stationen veranstaltet. Am Abend gab es dann wie immer eine Ehrung des Siegerinnen und Sieger.

Damit wir wissen, wer bei der jeweiligen Disziplin eine Urkunde und etwas Süßes bekommt, erstelle ich zur besseren Übersicht jedes Mal eine Tabelle. Natürlich müssten wir eigentlich nur im Ranking jeder Station nachschauen, aber ich nutze die Tabelle auch für die Berechnung der Gesamtwertung. Allerdings sind die Teilleistungen sehr vielfältig, weil teilweise die verschiedensten Dinge gemessen werden (Zeiten, Distanzen, Versuche, etc.). Ich habe mir also die Frage gestellt, wie eine Gesamtwertung eigentlich richtig erstellt wird.

Alles richtig gemacht? 

Hier ein kleines Beispiel mit fiktiven Ergebnissen, bei dem für unsere Altersstufe übliche Dschungel- und Waldenlandnamen verwendet wurden:

Beim Hindernisparcour ging es ganz einfach um Schnelligkeit und die Wurfsterne mussten möglichst nahe an ein bestimmtes Ziel geworfen werden. Ein niedriger Wert ist also in beiden Fällen gut. Wenn wir die Kinder anhand ihrer beiden Wertungen auflisten, bekommen wir ohne viel Aufwand die dazugehörenden Platzierungen:

In den vergangenen Jahren habe ich bei der Gesamtwertung einfach für jedes Kind die durchschnittliche Platzierung berechnet (Variante 1). Allerdings ist mir diese Vorgehensweise immer etwas unschön vorgekommen. Deshalb habe ich diesmal die Zahlenwerte jeder Platzierung als Punkte zusammengerechnet (Variante 2). Es läuft zwar in beiden Fällen auf dasselbe hinaus, aber mit der neuen Variante sieht das Ganze zumindest etwas sauberer aus, weil wir ohne Kommazahlen auskommen: 

Was passiert hinter den Kulissen?

Beim Erstellen eines Rankings arbeiten wir mit sogenannten Rangzahlen. Zuerst werden alle Messwerte - wir sagen dazu auch Beobachtungen oder Ausprägungen - der Größe nach geordnet und dann wird ihnen ein entsprechender Rang zugewiesen. Ob die Reihenfolge auf- oder absteigend ist, hängt vom jeweiligen Kontext ab. Hier ist sie beispielsweise aufsteigend. In diesem Fall wird außerdem von einer metrischen auf eine Ordinalskala abgebildet. Dabei bleibt die Reihenfolge zwar erhalten, aber die Abstände zwischen den Messwerten gehen verloren. Wir sehen also z. B. im Ranking nicht mehr, ob die Zeiten für den ersten und zweiten Platz sehr nahe beieinander liegen oder nicht. Solange wir jedoch nur auf die Platzierung schauen, dürfte uns das nicht wirklich stören.

Ein anderes Problem ist, dass der Rang nicht wohldefiniert ist. Es kann also passieren, dass dieselbe Rangzahl mehrmals vergeben wird, weil Messwerte mehrfach vorkommen. Man spricht dann von sogenannten Bindungen (engl. ties) oder Verbundwerten. In der Praxis wird es meist so gelöst, dass wir eine entsprechende Anzahl der darunterliegenden Ränge auslassen. Vielleicht ist jemandem aufgefallen, dass es bei meinem Beispiel zwei zweite Plätze und dafür keinen dritten Platz gibt. Wenn es stattdessen drei zweite Plätze gäbe, würde es im Ranking danach erst mit dem fünften Platz weitergehen und falls alle Kinder dasselbe Ergebnis hätten, würde es sogar ausschließlich erste Plätze geben.

Zeit für eine Praxisanalyse

Nach dem Sommerlager wollte ich mich informieren, wie es in der Praxis gehandhabt wird. Zunächst habe ich mir Sportwettbewerbe mit mehreren Disziplinen angeschaut. Ein typisches Beispiel dafür ist der olympische Zehnkampf. Dabei kommt zwar eine ausgetüftelte Punkteformel zum Einsatz, aber Mehrfachplatzierungen sind auch hier nicht ausgeschlossen. Beim heuer erstmals veranstalteten Kletterwettbewerb Olympic Combined wiederum wurde ein Multiplikator verwendet. Auch hier können zwei Personen dieselbe Punktzahl bekommen, aber falls das passiert, entscheidet die Schnelligkeit.

Danach habe ich mich bei anderen Wettbewerben umgesehen. Ein bestimmtes Ranking kenne ich bereits seit meiner Kindheit: Beim Videospiel Mario Kart wird eine bestimmte Punktzahl für die jeweilige Platzierung vergeben. Im achten Teil der Reihe gibt es beispielsweise für den ersten Platz 15 Punkte, für den zweiten 12 Punkte und ab dem dritten 10 Punkte absteigend bis zum zwölften Platz mit nur mehr einem Punkt. Am Ende eines Grand Prix werden dann die Punkte aller Rennen zusammengezählt. Diese Vorgehensweise ist übrigens an das Punktesystem der Formel 1 angelehnt. Mehrfachplatzierungen sind möglich, aber meines Wissens werden zumindest NPCs hinter von Menschen gesteuerten Figuren platziert.

Fazit

Ich habe kein Patenrezept für Rankings gefunden, aber es gibt durchaus Möglichkeiten gleiche Platzierungen zu vermeiden. Meines Erachtens ist es aber eigentlich egal welches Ermittlungsverfahren man verwendet, solange man weiß, was man tut. Am Ende geht es schließlich nur darum zu wissen, wer einen Stockerlplatz einnimmt und es sieht so aus, als ob meine Vorgehensweise grundsätzlich vertretbar ist. Mehrfachplatzierungen sehe ich hier jedenfalls nicht als Problem (ganz im Gegenteil) und ich freue mich schon auf das nächste Sommerlager.

Johannes C. Huber (verliert schon seit Jahren bei Mario Kart gegen seinen kleinen Bruder)

Quellen:

• Punktewertung Leichtathletik
• Multiplikator bei Olympic Combined
  
• Mario Kart Punktesystem
• Formel 1 Punktewertung
  

Nur mit dem richtigen Dreh

Thema: Tennisschläger und Zufallsexperimente

Bei einem Tennismatch muss eine Seite den ersten Aufschlag machen. Dabei gibt es viele verschiedene Möglichkeiten um zu entscheiden, wer beginnt. Eine davon ist einfach einen Schläger in die Luft zu werfen. Danach schauen wir auf welche Seite des Courts der Griff oder die Schlagfläche zeigt. Je nachdem welchen Teil des Schlägers wir als Spitze unseres Zeigers festlegen.

Welche Seite dran kommt ist dem Zufall überlassen, aber welche Art von Zufallsexperiment wird dabei eigentlich durchgeführt? In der Schule lernen wir, dass im Allgemeinen zwischen drei verschiedenen Arten unterschieden wird:

• Würfe: z. B. Spielwürfel, Münze, Reißnagel, Marmeladebrot
• Ziehungen: z. B. Kugeln in einer Urne, Lostrommel, Spielkarten, Strohhalme
• Drehungen: z. B. Glücksrad, Roulettespiel, Twister-Scheibe, Flasche

Wie sieht es nun mit dem Tennisschläger aus? 

Intuitiv würden wir wahrscheinlich sagen, dass es sich bei der Vorgehensweise mit dem Tennisschläger ganz klar um einen Wurf handelt, da dieser ja offensichtlich geworfen wird. Wir unterscheiden dabei nur zwischen den beiden Seiten des Spielfelds und die Entscheidung könnte genauso gut mit einem Münzwurf getroffen werden.

Ich bin jedoch der Meinung, dass wir es auch als eine Art Drehung sehen können. Uns geht es zwar eigentlich nur darum in welche Hälfte des Spielfeldes der Schläger zeigt, aber beide Seiten des Courts haben ja denselben Anteil an der Gesamtfläche. 

 

Wir können uns vorstellen, dass der Schläger wie ein Drehpfeil auf einer Scheibe funktioniert und am Ende des Zufallsversuchs in eines von zwei gleich großen Kreissegmenten zeigt. Dazu müssen wir natürlich davon ausgehen, dass jede Richtung gleich wahrscheinlich ist.

Der Unterschied der beiden Zugänge ist, dass die Menge der möglichen Ergebnisse beim Wurf endlich ist (entweder die eine oder die andere Seite) und bei der Drehung überabzählbar unendlich (jede beliebige Richtung in der Ebene, die zu jeweils einer der beiden Seiten gehört). Wir arbeiten in beiden Fällen mit einer Laplace-Wahrscheinlichkeit und bei der Drehung zusätzlich mit einer geometrischen Wahrscheinlichkeit. Am Ende läuft es in beiden Fällen natürlich trotzdem auf dasselbe hinaus, nämlich eine 50:50-Chance. 

Würfeln ohne zu würfeln 

Diese Überlegung funktioniert übrigens auch in die andere Richtung. Stellen wir uns z. B. einen sechsseitigen Spielwürfel als Ziehung oder Drehung vor: 

Es ist also auch möglich eine Zahl zu würfeln, ohne einen Würfel zu werfen.

Johannes C. Huber (kennt Alternativen für den Fall, dass kein Würfel in der Nähe ist)

Bartbedenkzeit

Thema: Bartwuchs und (seine) Folgen

Ich habe vor ein paar Jahren eher schlecht als recht versucht, mir einen Bart stehen zu lassen. Letztes Jahr im ersten Lockdown habe ich dann beschlossen, meiner bescheidenen Gesichtsbehaarung noch einmal eine Chance zu geben und es hat diesmal sogar recht gut funktioniert. Irgendwann kam jedoch der Sommer und der Bart fing an zu nerven.

Ausgangspunkt dieses Beitrags war die lockdownbedingte Wachstumsphase
der Gesichtsbehaarung des Autors (Bidquelle: Johannes C. Huber)

Also stellte sich nach immerhin gut drei Monaten Wachstum die Frage: Schneiden oder stehen lassen? Nach intensiver Internet-Recherche fand ich eine Antwort: Für jeden Monat Bartwuchs soll man einen Tag Bedenkzeit einräumen, ehe man sich endgültig dazu entschließt ihn abzurasieren (Quellen: The Beardy Beard und Real Men Real Style).

Auch drei Tage Bedenkzeit haben mich letztendlich nicht davon abgehalten, ihn abzuschneiden. Statt meinem Bart blieb jedoch etwas anderes zurück, und zwar eine neue Frage: Was passiert, wenn wir diese Regel streng befolgen? Wenn ein voller Monat zusätzliche Wartezeit zustande kommt, dann führt dieser ja auch wieder zu einem weiteren Tag Wartezeit und so weiter. Gibt es also eine Anzahl an Tagen, sodass dieser Prozess niemals aufhört? 

Wieviel Bedenkzeit ist genug?

Dem geübten Lesepublikum dürfte sofort klar sein, dass das nicht funktioniert. Es spielt nämlich keine Rolle, wie viele Tage vor der Entscheidung für die Rasur zustande gekommen sind, da die Menge an so gewonnener zusätzlicher Bedenkzeit verhältnismäßig kleiner ist.

Um das besser zu verstehen, schauen wir nach, ob wir ein Muster erkennen. Der Einfachheit halber arbeiten wir mit der 360-Tage-Methode für ein Jahr. Ein Tag Bedenkzeit erfordert dann also 30 Tage Bartwuchs. Ein ganzes Jahr Bartwuchs reicht dann gerade einmal für 12 Tage Bedenkzeit. Um so einen zusätzlichen Monat an Wartezeit zu bekommen, brauchen wir schon 30 mal 30 (= 900) Tage. Um mit zusätzlichen Tagen wiederum ein weiteres Mal einen Monat Bedenkzeit zu bekommen, brauchen wir dann 30 mal 30 mal 30 (= 27.000) Tage Bartwuchs. Das sind ungefähr 74 Jahre!

Danach kommen wir zwar immerhin auf ganze zweieinhalb Jahre Bedenkzeit, aber spätestens hier dürfte uns das Problem auffallen: Es dauert sehr lange bis überhaupt eine gewisse Menge Bedenkzeit zustande kommt. Das liegt daran, dass wir exponentiell viel mehr Bedenkzeit für jede weitere "Ebene" an Bedenkzeit brauchen.

Die Folge des langen Wartens

Gut. Es dauert zwar ein bisschen, aber immerhin kommt auch mit jedem weiteren Tag Bedenkzeit eine Art Bonus dazu. Wird es dann nicht trotzdem irgendwie mehr? Absolut ja. Relativ jein. Am besten schauen wir uns einmal den relativen Anteil der Bedenkzeit an. Wir bekommen einen Tag Bedenkzeit pro 30 Tage Vorlaufzeit, also insgesamt 31 Tage. Bei 900 Tagen wären das 30 zusätzliche Tage plus ein weiterer Tag, der wiederum durch den extra Monat Bedenkzeit dazugerechnet werden darf und so weiter. Das Verhältnis von Bedenkzeit zu Gesamtzeit verhält sich dann wie folgt:

erste Ebene: \(\frac{1}{31} \approx 0,032258\)
zweite Ebene: \(\frac{31}{931} \approx 0,033298\)
dritte Ebene: \(\frac{931}{27931} \approx 0,033332\)
vierte Ebene: \(\frac{27931}{837931} \approx 0,033333\)
fünfte Ebene: \(\frac{837931}{25 137 931} \approx 0,033333\)
...

Anfangs sieht es zwar so aus, als ob der Wert wachsen würde, aber dann scheint er zu stagnieren. Wenn wir das Ganze als Folge \(a_{n}\) aufschreiben, dann lautet die rekursive Darstellung:

\[a_{0} = \frac{b_{0}}{b_{0} + v_{0}} \ (\text{mit} \ b_{0} = 1)\]

\[\ a_{n} = \frac{b_{n}}{b_{n} + v_{n}} = \frac{b_{n-1} + v_{n-1}}{b_{n-1} + v_{n-1} + v_{n}} = \frac{b_{n-1} + v_{0}^{n}}{b_{n-1} + v_{0}^{n} + v_{0}^{n+1}}\]

Dabei gilt \(b_{0} = 1\), weil wir einen Tag für jede voll durchlaufene Zeitspanne für die Regel bekommen (wenn es mehr Tage sein sollen, dann sieht es natürlich anders aus). Diese Folge strebt gegen den Grenzwert ein Dreißigstel, wenn wir das erste Glied gleich 30 setzen. Das hängt ganz einfach damit zusammen, dass das Verhältnis von Bedenkzeit zu Vorlaufzeit laut Faustregel 1 zu 30 ist. Es ist also egal, wie lange man wartet. Die Bedenkzeit wird nie mehr als ein Dreißigstel der Gesamtzeit sein.

Da ich aktuell an einem Python-Kurs teilnehme, habe ich mir den Spaß gemacht und ein Programm geschrieben, das die Bedenkzeit für eine beliebige Vorlaufzeit auf Sekunden genau ausrechnet.

Johannes C. Huber (lässt sich meist einen $\pi$-Tage-Bart stehen, ehe er sich wieder glatt rasiert)

Quellen:

•  Die Bartbedenkzeitfolge in der OEIS

Ein wortwörtliches Biermaß

Thema: Bierkisten und Maßeinheiten

Mein Mitbewohner ist gute 20 Kilo schwerer als ich, was ihn vor geraumer Zeit dazu veranlasst hat zu sagen "Das sind ja 20 Flaschen Bier.", worauf ich erwidert habe: "Nein, es sind sogar 40."

Wie viel wiegt eine Flasche Bier?

Das kommt, wie so oft, ganz darauf an. Schließlich hängt es unter anderem von Inhalt, Größe und Form der Flasche ab. Beide Behauptungen erscheinen plausibel zu sein, also beschließe ich es zu überprüfen. Da wir davon genug davon zu Hause haben, habe ich gleich mehrere verschiedene Flaschen abgewogen. Wir gehen in weiterer Folge vom reinen Flaschengewicht einer typischen 0,5 Liter-Flasche aus. Die gängige Form mit langem Hals und ohne Bügelverschluss wiegt z. B. ungefähr 395 Gramm. Bei der klassischen "Halben" bewegen wir uns allgemein im Bereich zwischen 380 und 400 Gramm. Eine Flasche für ein "Seidl" (0,3 Liter Bier) wiegt übrigens ca. 200 Gramm. Das Gewicht ist also nicht proportional zur Füllmenge.

verschiedene Bierflaschen mit aufsteigendem Gewicht (v. l. n. r.)

Wer hat nun Recht?

Die Berechnung gestaltet sich nicht sonderlich schwierig, da wir nur die Anzahl der Flaschen mit der Summe des Gewichts der jeweiligen Flaschensorte und ihrer Füllmenge (0,5 L = 0,5 kg) multiplizieren müssen. Damit kommen wir für 20 Flaschen auf ein Gesamtgewicht im Bereich von 17,6 bis 18 kg (je nach Flasche). In diesem Fall ist mein Mitbewohner eindeutig näher dran, aber das ist nicht sonderlich überraschend. Ich bin aber von leeren Flaschen ausgegangen. Allerdings kommen wir so nur auf 15,8 kg und ich muss zugeben, dass ich mich verschätzt habe.

verschiedene Bierkisten mit aufsteigendem Gewicht (v. l. n. r.) 

Ein voller Kasten Bier ist jedenfalls eine gute Maßeinheit für 20 kg, da ein leere Bierkiste ca. 1,8-2,1 kg wiegt (auch jene für 0,3 Liter-Flaschen) und somit das fehlende Gewicht ziemlich genau ergänzt. 

Johannes C. Huber (ist ca. 3,25 Bierkisten schwer) 

2020 war nicht alles schlecht

Thema: schulfreie Tage und relativer Anteil

2020 war aufgrund von Covid-19 zwar kein sonderlich tolles Kalenderjahr, aber immerhin das mit den meisten gesetzlich schulfreien Tagen. Es gab nämlich sowohl zum vorerst letzten Mal die beiden freien Dienstage nach Ostern und Pfingsten aus dem Schuljahr 2019/20, als auch zum ersten Mal die neuen Herbstferien aus dem Schuljahr 2020/21. Durch den so entstandenen Bonus erhöht sich die Menge der gesetzlich vorgegebenen schulfreien Tage. Schauen wir uns das Ganze mal im Detail an.

Was zählt eigentlich als schulfrei?

Schulfrei bedeutet ganz einfach, dass kein Schulunterricht stattfindet. Das einfachste Beispiel dafür sind Sonntage und solange man keine Samstagsschulform besucht, sind auch die Samstage in der Regel schulfrei. Darüber hinaus zählen auch alle Schulferien sowie verschiedene Feiertage dazu. All diese schulfreien Tage sind gesetzlich vorgegeben. Abgesehen davon gibt es noch die sogenannten schulautonomen Tage, welche von den einzelnen Schulen selbst festgelegt werden können.

Wie viele Tage sind es 2020 insgesamt?

Durch die schulautonomen Tage sind in Österreich stets ein bisschen mehr als die Hälfte der Tage schulfrei. Die Herbstferien schaffen jedoch keine zusätzlichen schulfreien Tage, sondern verteilen sie nur um. Im Schuljahr 2020/21 stehen nur drei schulautonome Tage zur Verfügung, weil ein gewisser Teil für die Herbstferien gebraucht wird. Wenn jedoch an einer Schule sowohl die fünf schulautonomen Tage des vorigen Schuljahres, als auch die drei des darauf folgenden im Kalenderjahr 2020 verwendet wurden, dann sind es insgesamt 191 (bzw. 192 mit Feiertagen der Landespatrone) schulfreie Tage.

Wie kommt man darauf?

Die Berechnung der schulfreien Tage ist nicht sonderlich schwierig, solange klar ist, wie man die Tage einteilt damit es zu keinen Überschneidungen kommt. Meine Vorgehensweise war wie folgt. Ich habe mit den Wochenenden angefangen und komme auf jeweils 52 Samstage und Sonntage. In diesem Fall machen die Wochenenden auch den größten Anteil der schulfreien Tage aus. Alternativ könnten wir auch die Wochenenden in den Ferienzeiten zu den Schulferien zählen, aber diese Einteilung verkompliziert das Ganze nur, weil wir dann zwischen bestimmten Wochenenden unterscheiden müssten.

Als Nächstes gehe ich zu den Schulferien über. In Österreich gibt es Weihnachts-, Semester- Oster-, Pfingst-, Sommer- und seit 2020 auch Herbstferien Die offiziell angegebenen Zeiträume sind allerdings oft kürzer als die tatsächliche schulfreie Zeit, weil in vielen Fällen Feiertage angehängt werden. Bei den Schulferien betrachte ich deshalb jeweils alle aufeinanderfolgenden Tage, an denen kein Unterricht stattfindet. Das bedeutet, dass auch Feiertage, die hinein fallen als Ferientage gesehen werden. Ich lasse also z. B. die Herbstferien von 26.10. bis 02.11. laufen. Bei den Schulferien zähle ich jetzt allerdings nur die Werktage von Montag bis Freitag, und komme so auf insgesamt 75 Ferientage ohne Wochenenden, weil ich diese ja nicht doppelt zählen darf.

Die letzte verbleibende Möglichkeit um fix schulfrei zu haben sind Feiertage. In Österreich gibt es vierzehn gesetzliche Feiertage, an denen grundsätzlich arbeits- und daher auch schulfrei ist. Die meisten davon sind für meine Berechnung der schulfreien Tage aber nicht relevant, weil sie bereits durch Wochenenden oder Schulferien abgedeckt sind. Es bleiben also nur vier gesetzliche Feiertage, und zwar der Staatsfeiertag, Christi Himmelfahrt, Fronleichnam und Mariä Empfängnis.

Darüber hinaus gibt es noch bestimmte Tage, die zwar nicht allgemein arbeitsfrei, aber in der Regel schulfrei sind. Dazu gehören Allerseelen, der Tag der Volksabstimmung (nur in Kärnten), sowie bestimmte Feiertage für die Schutzpatrone der verschiedenen Bundesländer. Allerseelen habe ich aber zuvor bereits zu den Herbstferien gezählt und der Tag der Volksabstimmung war 2020 ein Samstag. Durch die Schutzpatrone gab es aber immerhin noch einen weiteren schulfreien Tag in allen Bundesländern außer Niederösterreich und Wien.

Die zusätzlichen schulautonomen Tage werden, wie bereits erwähnt, von zu Schule zu Schule unterschiedlich gewählt, aber theoretisch könnten acht zusätzliche schulfreie Tage dazu kommen, wenn eine Schule diese im Kalenderjahr 2020 geplant hat. Ich habe zur besseren Übersicht meiner Einteilung einen einfachen Kalender nach der Vorlage von Berteun Damman erstellt:

schulfreie Tage in Wien 2020: Wochenenden, Schulferien, Feiertage 

Jetzt habe ich alles beisammen um den relativen Anteil zu berechnen. In Wien waren es beispielsweise 191 schulfreie Tage. Ich muss nur berücksichtigen, dass 2020 ein Schaltjahr war (366 im Nenner) und komme so auf ungefähr 52,2 % schulfreie Tage. Dieses Thema lässt sich übrigens gut mit Baumdiagrammen veranschaulichen. Man kann bei der Berechnung natürlich auch eine andere Einteilung vornehmen. 

Johannes C. Huber

Quellen:

• Schulzeitgesetz
  
• schulfreie Tage 2019/20
  
• schulfreie Tage 2020/21
  
• Herbstferien