Dienstag, 28. März 2023

Siebenjährige hassen diesen Trick

Thema: Abzählreime und Restklassen

Dieser Beitrag ist am 31.03.2023 auch im Standard erschienen.

Ene, mene, miste, es rappelt in der Kiste. Wann immer ich mit Abzählreimen konfrontiert bin, erinnere ich mich an diese nervige Kinder Schokobons-Werbung aus den 2000er Jahren. Zum Glück ist diese aber nicht das Thema dieses Beitrags. Abzählreime mögen infantil wirken, aber sie sind eine großartige Möglichkeit, um das Thema Teilbarkeit zu veranschaulichen.

Angenommen wir haben einen Sitzkreis mit acht Personen (Aya, Ben, Clara, Diego, Ensar, Fiona, Gian und Hanae) vor uns und sollen zufällig eine davon aussuchen:

Sitzkreis mit acht Personen (Bildquelle: eigene Darstellung mit GeoGebra)

Mithilfe von Abzählreimen können wir es so aussehen lassen, als ob wir unsere Entscheidung rein zufällig treffen, obwohl wir in Wirklichkeit ganz gezielt eine Person wählen.

Dazu müssen wir einerseits wissen, wie viele Silben der jeweilige Abzählreim hat, d. h. wie oft von einer Person zur nächsten weitergezählt wird, und andererseits, wie die Modulo-Rechnung funktioniert. Ersteres ist nicht allzu schwierig. So besteht beispielsweise der Abzählreim "Ene, mene, miste, es rappelt in der Kiste. Ene, mene, mu, und raus bist du." aus insgesamt achtzehn Silben*.

Nun zur Modulo-Rechnung: Diese kennen die meisten Leute als Division mit Rest. Wenn wir hier achtzehn Silben durch acht Personen teilen, können wir zwei ganze Runden im Kreis zählen, ehe noch zwei Personen übrigbleiben. Die erste der beiden ist jene, bei der wir zu zählen begonnen haben und die nächste ist jene, bei der wir aufhören. Es reicht also aus nur den Rest zu zählen, um zu wissen, wen es am Ende treffen wird. Wenn wir z. B. bei Aya zu zählen beginnen, ist klar, dass letztendlich Ben drankommt. Es sein denn, wir zählen gegen den Uhrzeigersinn - dann trifft es natürlich Hanae. Das bedeutet außerdem, dass grundsätzlich alle acht Personen getroffen werden können.

Nun machen wir es ein wenig komplizierter, denn durch den Zusatz "Raus bist du noch lange nicht, musst erst sagen, wie alt du bist." kommen noch fünfzehn weitere Silben dazu*. Bis wohin danach weitergezählt wird, hängt vom Alter der jeweiligen Person ab**. Um genau vorhersagen zu können, wen es trifft, brauchen wir also diese Zusatzinformation für alle Personen im Kreis. Wir gehen in weiterer Folge von diesen Altersangaben aus: Aya (9 Jahre), Ben (6 Jahre), Clara (7 Jahre), Diego (7 Jahre), Ensar (8 Jahre), Fiona (7 Jahre), Gian (8 Jahre) und Hanae (5 Jahre).

Falls wir z. B. im Uhrzeigersinn (mathematisch negativer Drehsinn) bei Hanae zu zählen beginnen, gehen wir im Endeffekt nur einen Platz (33 : 8 = 4 mit 1 Rest) zu Aya weiter. Diesen Zwischenschritt können wir eigentlich auslassen, weil mit dem Abzählreim allein ohnehin alle Sitzplätze erreicht werden, und zwar abhängig von der Richtung, in die wir zählen, jeweils den links oder rechts benachbarten. Es genügt also, wenn wir uns anschauen, wessen Alter zu welchem Platz führt. Da Aya neun Jahre alt ist, gehen wir in diesem Fall erneut nur einen Platz weiter (9 : 8 = 1 mit 1 Rest) und hören bei Ben zu zählen auf. Falls wir jedoch von ihr aus gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiver Drehsinn) zählen, landen wir schließlich bei Gian, weil dieser acht Jahre alt ist und sich deshalb selbst trifft.

Je nachdem, wessen Alter die Grundlage für das Weiterzählen ist, werden folgende Personen getroffen:

Zielplätze in beide Richtungen (Bildquelle: eigene Darstellung mit GeoGebra)

Dabei fällt uns auf, dass es Personen gibt, die mehr als einmal getroffen werden. Clara kann beispielsweise auf zwei verschiedene Arten erreicht werden, und zwar wenn wir gegen den Uhrzeigersinn bei Aya oder im Uhrzeigersinn bei ihr selbst zu zählen beginnen. Das bringt uns zur nächsten Erkenntnis: In manchen Fällen landen wir am Ende wieder bei derselben Person. Im Uhrzeigersinn passiert das nämlich auch noch bei Ben und Ensar und gegen den Uhrzeigersinn bei Diego, Ensar und Gian.

Außerdem gibt es Personen, die gar nicht getroffen werden, denn egal bei wem wir beginnen, Aya und Fiona erwischt es nie. Falls wir nun selbst zum Kreis dazu stoßen, helfen uns diese Informationen, wenn wir einen Sitzplatz aussuchen sollen. Denn je nachdem, ob wir unbedingt oder gar nicht ausgewählt werden möchten, können wir einen möglichst günstigen Platz wählen.

Zwischen wen sollten wir uns setzen, um bei diesem Abzählreim garantiert nicht ausgewählt zu werden? Ist das überhaupt möglich? Um das zu beantworten, betrachten wir wieder den Rest: Da das Alter von allen höchstens gleich groß ist, wie die Anzahl der Personen im Sitzkreis, reicht es zu wissen, wie viel auf eine ganze Runde fehlt, d. h. wie viele Plätze vor der Person, mit deren Alter wir weiter zählen, die Zählung aufhört.

Wenn im Uhrzeigersinn gezählt wird (alle schauen dabei in die Mitte des Kreises), möchten wir weder einen Platz links von Diego und Gian, noch zwei Plätze links von Clara, Diego und Fiona, noch drei Plätze links von Ben, noch vier Plätze links von Hanae sitzen. Wenn stattdessen gegen den Uhrzeigersinn gezählt wird, sind alle unerwünschten Positionen entsprechend viele Plätze weiter rechts von den genannten Personen:

Wer schickt wohin? (Bildquelle: eigene Darstellung mit GeoGebra)

Die Pfeile in der Abbildung stehen für die Position bis zu der weiter gezählt wird. Falls wir uns zwischen zwei Personen setzen, treffen uns alle Pfeile, die zwischen ihnen liegen. Der einzig sichere Hafen ist in diesem Fall der Platz zwischen Gian und Hanae, weil niemand den Zähler an diese Stelle weiterschickt. Aya trifft sich selbst, weil ihr Alter gleich der Anzahl der Personen im Kreis ist. Dieser Umstand ist die einzig verbleibende Möglichkeit, wie wir trotzdem ausgewählt werden könnten. Falls unser eigenes Alter nämlich ebenfalls ein ganzzahliges Vielfaches von neun (0, 9, 18, ...) ist, landen wir am Ende wieder bei uns, wenn mit unseren Lebensjahren weiter gezählt wird.

Johannes C. Huber (gibt zu, dass er hin und wieder nur so tut, als würde er zufällig abzählen)

* Ene, (1) - mene, (2) - mis (3) - te, (4) - es (5) - rap (6) - pelt (7) - in (8) - der (9) - Kis (10) - te. (11) Ene (12) - mene (13) - mu (14) - und (15) - raus (16) - bist (17) - du. (18) Raus (19) - bist (20) - du (21) - noch (22) - lan (23) - ge (24) - nicht, (25) musst (26) - erst (27) - sag (28) - en (29) - wie (30) - alt (31) - du (32) - bist. (33)

** Wir gehen in weiterer Folge davon aus, dass bei der nächsten Person weiter gezählt wird. Falls stattdessen die Person, deren Alter die Grundlage für das Weiterzählen ist, wieder als Startpunkt genommen wird, verschieben sich die Ziele um einen Platz nach hinten.

Mittwoch, 15. März 2023

Wie viele Pfadis braucht es, um ein Zelt zu füllen?

Thema: Zelte und Pyramiden

Dieser Beitrag ist am 17.03.2023 auch im Standard erschienen.

Vor ein paar Jahren hat meine Pfadigruppe ihr 90-jähriges Jubiläum gefeiert. Wir haben dafür ein eigenes Lager mit einem Nachmittag voller Show-Einlagen im Stil von Wetten dass? veranstaltet. Eine davon war die Wette, welche Altersgruppe (Kinder gegen Erwachsene) mehr Personen in einem Zelt unterbringt. Das Spektakel hat ein wenig an ein Auto voller Clowns erinnert. Abgesehen davon, dass die Ausgangslage für die Erwachsenen eher ungerecht war, birgt die Herausforderung eine interessante Fragestellung: Wie viele Leute passen wirklich in ein 3 Personen-Zelt?

Ich habe mir das Ganze vor kurzem gemeinsam mit meinen Lernenden in einer Unterrichtsstunde zum Thema Volumen einer Pyramide angeschaut. Das bei der Show verwendete Igluzelt ist zwar, streng genommen, keine richtige Pyramide, weil die Laschen entlang der beiden Bögen das Innenzelt ein wenig nach außen ziehen, aber das ist nicht sonderlich tragisch. Erstens behandeln wir im Schulstoff keine Formel für das dadurch entstehende Gebilde, zweitens weiß ich nicht, ob es überhaupt eine Formel dafür gibt und drittens kommt die Pyramide, meiner Meinung nach, nah genug an die tatsächliche Form heran.

Pyramide im Inneren des Zelts (Bildquelle: eigene Darstellung mit GeoGebra)

Zunächst einmal müssen wir alle relevanten Parameter für unsere Formel identifizieren. Dazu haben wir uns die Produktbeschreibung näher angeschaut:

Produktdaten des Zelts (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die Grundfläche ist quadratisch und die Höhe unserer Pyramide ist ebenfalls gegeben, also können wir problemlos das Volumen berechnen:

Da in unserer vermeintlichen Pyramide, genau genommen, ein bisschen mehr Platz ist, haben wir das Ergebnis noch auf ganze 2 Kubikmeter gerundet. Soweit einmal zum geometrischen Körper, aber wie viel Raum braucht ein menschlicher? Der erste Vorschlag war, dass wir uns eine Art Kasten vorstellen, der als Maße die durchschnittliche Körpergröße, -breite und -tiefe eines Menschen hat. Die angenommenen Längen waren in diesem Fall 1,80 Meter Höhe, 45 Zentimeter Breite und 20 Zentimeter Tiefe. Das ergibt 1,8 × 0,45 × 0,2 = 0,162 Kubikmeter menschliches Volumen. Ein berechtigter Einwand war allerdings, dass so vor allem in den Bereichen rund um den Kopf und um die Beine sehr viel überflüssiges Volumen dazugerechnet wird.

Eine etwas genauere Möglichkeit basiert auf unserer chemischen Zusammensetzung. Da wir unser Körpergewicht ohnehin überwiegend in Form von Wasser mit uns herumtragen, tun wir, der Einfachheit halber, so, als ob wir komplett aus Wasser bestehen. Dazu nehmen wir das durchschnittliche Gewicht eines erwachsenen Menschen und wandeln es in Liter um. Natürlich können wir im Allgemeinen nicht ohne Weiteres Kilogramm und Liter gleichsetzen, aber wir machen uns hier den Umstand zunutze, dass ein Liter Wasser genau ein Kilogramm schwer ist. Das Litermaß entspricht wiederum Kubikdezimetern, wodurch wir schlußendlich das Volumen in Kubikmetern bestimmen können. Die folgenden Angaben beziehen sich also auf reines Wasser:

Daraus lässt sich die Faustregel ableiten, dass jedes Kilogramm Körpergewicht ungefähr einem Kubikdezimeter Volumen entspricht (bzw. jedes Gramm ungefähr einem Kubikzentimeter).

Nun haben wir alles beisammen, um die Fragestellung zu beantworten. Dazu teilen wir das ungefähre Volumen unseres Zeltkörpers durch das angenommene menschliche Körpervolumen und stellen fest, dass ungefähr 2 : 0,08 = 25 Personen Platz haben müssten. Bei unserer Jubiläumsshow haben sogar 31 Personen hinein gepasst - allerdings waren der überwiegende Teil davon Kinder und Jugendliche.

Johannes C. Huber (hat nichts dagegen, als Aufsichtsperson am Lager in einem Haus schlafen zu können)

Mittwoch, 1. März 2023

Solange alles im Rahmen ist

Thema: Videobearbeitung und Schlussrechnung

Dieser Beitrag ist am 03.03.2023 auch im Standard erschienen.

Von quadratisch bis ultraweit - Die richtige Wahl der Bildformate bei Videos ist für alle Menschen relevant, die ihre Clips ins Internet stellen möchten. Dabei spielt das sogenannte Seitenverhältnis eine zentrale Rolle. Es sagt uns, wie breit das Bild im Vergleich zu seiner Höhe ist. Das Urgestein des Bildformate ist das Verhältnis von 4 zu 3. Das Bild ist also ungefähr 1,3-mal so breit wie hoch. Etwas moderner ist das Verhältnis von 16 zu 9, welches wir normalerweise als Breitbild bezeichnen. Dabei ist das Bild ungefähr 1,7-mal so breit wie hoch. Es setzt sich aus den Quadraten der beiden vorigen Zahlen zusammen:

Die meisten anderen gängigen Breitbildformate haben annähernd ein Verhältnis von 16 zu 9. Es bleibt jedoch abzuwarten, ob Smartphones mit faltbaren Bildschirmen neue Seitenverhältnisse etablieren. Apropos: Ein weiteres bekanntes Format, welches heutzutage durch die Verwendung in sozialen Netzwerken vor allem auf dem Smartphone zum Einsatz kommt, ist das wortwörtlich quadratische Verhältnis von 1 zu 1. Darüber hinaus gibt es seit geraumer Zeit das sogenannte Ultraweitformat. Mittlerweile darf es nämlich noch ein bisschen mehr sein und wir sind beim Verhältnis von 64 zu 27 angekommen, bei dem das Bild mehr als doppelt so breit wie hoch ist. Es setzt sich aus den Kuben der beiden ursprünglichen Zahlen zusammen und wird meist als das Verhältnis von 21 zu 9 angegeben, obwohl es nicht exakt der gleiche Bruch ist:

Doch nun zum eigentlichen Thema: Da all diesen Bildformaten unterschiedliche Verhältnisse zugrunde liegen, sind sie nicht miteinander kompatibel. Wer schon einmal einen älteren Film auf einem Breitbild-Fernseher abgespielt hat, kennt die schwarzen Streifen, die am linken und rechten Rand angezeigt werden. Das Gleiche passiert oben und unten, wenn wir einen modernen Film auf einem alten Gerät anschauen:

links: 4:3 auf 16:9 vs. rechts: 16:9 auf 4:3 (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Diese Streifen tauchen auf, weil das alte Format viel ungenutzte Bildfläche auf einem Breitbildmonitor hat und umgekehrt. Um die dunklen Ränder loszuwerden bzw. den Bildschirm vollständig zu füllen, gibt es viele Möglichkeiten. Eine einfache wäre z. B. das Bild in die Breite oder Höhe zu strecken, aber das sieht normalerweise eher unschön aus. Eine bessere wäre, stattdessen einen Teil des Bildes zu entfernen.

Um zu verstehen, was gemeint ist, schauen wir uns am besten ein praktisches Beispiel an. Angenommen wir möchten ein Zeitraffervideo mit unserem Smartphone filmen und ins Internet stellen. Da der Standard für PC-Monitore das Breitbildformat ist, liegt es nahe dieses zu verwenden. Also aktivieren wir die Kamera und nehmen das Video, ohne viel darüber nachzudenken, im Vollbildmodus auf. Das bedeutet, dass der gesamte Bildschirm für die Aufnahme genutzt wird. So weit, so gut, aber leider tauchen später beim Bearbeiten am PC die beiden schwarzen Streifen auf:

Ausschnitt des Videos vor der Bearbeitung (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Wo liegt das Problem? Viele moderne Smartphones sind nicht im Verhältnis von 16 zu 9 gebaut, weil meist die komplette Vorderseite des Geräts für den Bildschirm genutzt wird und die Geräte zunehmend länger werden. Bei meinem Samsung A71 sind es beispielsweise 1280 Pixel Breite und 576 Pixel Höhe. Da der größte gemeinsame Nenner hier die Zahl 64 ist, können wir beide Zahlen durch 64 teilen und so das Verhältnis von 1280 zu 576 auf das von 20 zu 9 (also fast schon ultraweit) kürzen.

Es mag absurd klingen, aber falls wir das Video im Breitbild-Format haben möchten, ist es derzeit noch zu breit. Um das zu beheben, müssen wir das Video durch sogenanntes Cropping (engl. "Beschneiden von Bildern") in das passende Format bringen. Dazu möchten wir einen Ausschnitt des Videos mit dem gleichen Seitenverhältnis wählen. In diesem Fall ist es naheliegend dafür links und rechts etwas vom Bild zu entfernen. Um auszurechnen, wie breit das verbleibende Bild höchstens sein darf, stellen wir eine Verhältnisgleichung mit der Breite x auf:

Auschnitt des Videos nach der Bearbeitung (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Das Ganze hätten wir, zugegeben, auch einfach in einer Tabelle wie dieser nachlesen können. Dann hätten wir bemerkt, dass die nächstkleinere Kombination von Breite und Höhe im Breitbildformat eben 1024 und 576 ist. So einfach ist es aber leider nicht immer. Angenommen wir möchten dasselbe bei einem Hochformat-Video machen, das 720 Pixel breit und 1280 Pixel hoch ist. Ein Grund dafür könnte z. B. sein, dass wir nur einen Ausschnitt in der Mitte haben wollen:

Screenshot des Videos vor
der Bearbeitung (Bildquelle: Sabina Smits)

In diesem Fall gibt es leider keinen Tabelleneintrag mit der Breite 720 und dem Verhältnis von 16 zu 9. Wenn wir uns das Ergebnis der Verhältnisgleichung mit der Höhe y anschauen, wird auch klar warum:

Eine Höhe von 405 Pixel ist ungewöhnlich und scheint deshalb nicht in der Tabelle auf. Praktisch können wir das Ganze z. B. mit dem kostenlosen und quelloffenen Programm HandBrake umsetzen:

Hauptmenü von HandBrake (Bildquelle: HandBrake)

Dazu öffnen wir unsere Videodatei und wechseln in den Reiter Bildgröße. Dort können wir einerseits das komplette Bild vergrößern oder verkleinern und andererseits auch Abschnitte angeben, die entfernt werden sollen. Wir machen nun Letzteres und geben die neuen Seitenverhältnisse an. Das Programm akzeptiert nur gerade Zahlen, also stellen wir 404 Pixel ein, damit wir oben und unten jeweils 438 Pixel wegschneiden können:

Ausschnitt nach der Bearbeitung (Bildquelle: HandBrake)

Danach wählen wir einen Speicherort, starten die Encodierung und unser Videoausschnitt ist fertig:

Screenshot des Videos nach der
Bearbeitung (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Übrigens: Youtube akzeptiert so gut wie alle Bildformate, aber die schwarzen Ränder treten im Kino- und Vollbildmodus trotzdem auf, wenn das Seitenverhältnis nicht mit dem des Gerätebildschirms kompatibel ist.

Johannes C. Huber (fragt sich, warum das 256 zu 81-Format nicht mehr Anwendung findet)

Sonntag, 5. Februar 2023

So unterschiedlich wie Sonne und Mond

Thema: Kalender und Teilbarkeit

Dieser Beitrag ist am 10.02.2023 auch im Standard erschienen.

Seit dem Beginn der Menschheit hat es etliche Kalendersysteme gegeben. Die meisten davon richten sich nach beobachtbaren Himmelserscheinungen, wie der Sonne oder dem Mond. Im Laufe der Zeit wurde immer wieder versucht einen Kalender zu entwerfen, der beide Gestirne gleichermaßen berücksichtigt, aber das gestaltet sich leider schwierig, wie wir in weiterer Folge ergründen werden.

Lunarkalender orientieren sich am Mond (Bildquelle: Pixabay)

Lunarkalender basieren auf Mondjahren, die in der Regel aus insgesamt zwölf Mondzyklen bestehen. Das ist jene Zeitspanne, in der die Mondphasen von einem Neumond bis zum nächsten durchlaufen werden. Ein (synodischer) Mondmonat dauert ca. 29,53 Tage. Diese Zeit schwankt allerdings ein wenig, weshalb abwechselnd hohle Mondmonate mit 29 Tagen und volle mit 30 Tagen verwendet werden. Dadurch ist ein Mondjahr normalerweise insgesamt 354 Tage lang. Mondkalender werden beispielsweise im Islam verwendet. Ein Problem des Mondjahres ist jedoch, dass sich viele Dinge, wie z. B. die Jahreszeiten nach und nach verschieben. Das ist auch der Grund, warum der Ramadan jedes Jahr zu einem anderen Zeitpunkt beginnt.

Solarkalender orientieren sich an der Sonne (Bildquelle: Pixabay)

Solarkalender hingegen, wie beispielsweise der weltweit verbreitete gregorianische Kalender, arbeiten mit der relativen Position der Sonne von der Erde aus gesehen zu den Sternen. Da sich unser Heimatplanet um die Sonne dreht, verändert sich auch das beobachtbare Sternbild im Laufe des Jahres. Ein (tropisches) Sonnenjahr dauert ungefähr 365,24 Tage. Da ein Kalender aber normalerweise nur ganze Tage beinhaltet, ist das sogenannte Gemeinjahr in der Regel 365 Tage lang und somit eigentlich ein bisschen zu kurz. Deshalb ist jedes durch vier teilbare Jahr ein Schaltjahr*, in dem ein zusätzlicher Tag am 29. Februar eingeschoben wird, um diesen Rückstand wieder auszugleichen. Der Grund dafür ist übrigens, dass der Februar im vorangehenden System - dem julianischen Kalender - der letzte Monat war.

Leider gibt es keine Möglichkeit, diese beiden unterschiedlichen Herangehensweisen ohne Weiteres in einem System zu vereinen. Wir finden nämlich schlichtweg keine Kombination hohler und voller Mondmonate, bei der nicht entweder mehrere Tage auf das Sonnenjahr fehlen oder zu viel sind. Der Grund dafür hängt, vereinfacht gesagt, mit der Teilbarkeit der beiden Umlaufzeiten zusammen: Fast alle Primteiler der Mondmonate sind keine Primteiler des Sonnenjahres. Die Zahl 29 ist bereits eine Primzahl und die Zahl 30 hat die Primteiler 2, 3 und 5 (2 ∙ 3 ∙ 5 = 30). Die Zahl 365 hat jedoch nur die beiden Primteiler 5 und 73 (5 ∙ 73 = 365). Der einzige Faktor, der beide Male vorkommt, ist die Zahl 5. In anderen Worten: Die Bausteine der Mondmonate sind großteils andere als jene für ein Sonnenjahr, weshalb sie nicht restlos in dieses hineinpassen.

Ein Weg, um Mondmonate trotzdem vollständig in Sonnenjahren unterzubringen, wäre also stattdessen einen längeren Zeitraum festzulegen, welcher ein Vielfaches der beiden Umlaufzeiten darstellt. Die kürzeste Zeitspanne (das kleinste gemeinsame Vielfache) für ausschließlich hohle Mondmonate wären beispielsweise ganze 29 Sonnenjahre. Bei vollen Mondmonaten wären es zwar nur 2 ∙ 3 = 6 Jahre, aber da ein durchschnittlicher Mondmonat nun einmal keine ganzzahlige Länge hat, kommt noch die Notwendigkeit hinzu, beide Varianten zu kombinieren. Im antiken Griechenland wurde dafür ein Zeitraum von 19 Sonnenjahren (davon 12 Jahre mit 12 Monaten und 7 Jahre mit 13 Monaten) vorgeschlagen, welcher aus 235 Mondmonaten (davon 110 hohle und 125 volle) mit insgesamt 6940 Tagen zusammengesetzt ist.

Dieses Modell wurde im Laufe der Zeit noch weiter verfeinert und die daraus resultierende Kompromisslösung sind sogenannte Lunisolarkalender. Diese arbeiten nicht gegen das Problem des Restbetrags, sondern schieben ihn einfach in regelmäßigen Abständen ein, um den Zeitunterschied wieder auszugleichen. Beim jüdischen Kalender geschieht das z. B. in den Jahren 3, 6, 8, 11, 14, 17 und 19 in Form eines zusätzlichen dreizehnten Schaltmonats. Es gibt noch viele weitere Varianten, doch in der Regel wird auch hier mit Schaltzeiten gearbeitet. Allerdings mit dem Unterschied, dass es in diesem Fall nicht um die Differenz zwischen tatsächlichem Sonnen- und ganzzahligem Kalenderjahr, sondern um jene zwischen Sonnen- und Mondjahr geht.

Johannes C. Huber (ist froh über unsere vergleichsweise einfache Schaltzeitberechnung)

* jedes durch 100 teilbare Jahr ist ausgenommen (abgesehen von allen durch 400 teilbaren Jahren)

Quellen:

Vogtherr T. (2001): Zeitrechnung. Von den Sumerern bis zur Swatch.

Montag, 23. Januar 2023

Der Bosna-Index für Inflation

Thema: Imbissstände und Prozentrechnung

Dieser Beitrag ist am 27.01.2023 auch im Standard erschienen.

Den Balkangrill (besser bekannt als erster Salzburger Bosnastand) gibt es schon seit fast 75 Jahren. Als meine Brüder und ich noch klein waren, sind wir hin und wieder mit unsern Eltern dort gewesen. Ich weiß nicht mehr, wie viel ein Bosna früher in Schilling gekostet hat, glaube aber mich zu erinnern, dass der Stückpreis bei der Einführung des Euro noch bei 2,50 € lag. Mittlerweile ist diese über 20 Jahre her und die Preise sind seitdem gestiegen. Leider habe ich kein Foto aus dem Jahr 2002 gefunden, aber im Jahr 2007 lag der Preis bei 2,70 €. Mittlerweile sind wir bei 4,90 € angekommen und es wird wohl nicht mehr lange dauern, bis sich der ursprüngliche Preis verdoppelt hat.

Jänner 2023: Bis zur Verdopplung des ursprünglichen Preises fehlt nicht mehr viel. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Ich verwende dieses Fallbeispiel gerne in der Schule beim Thema Prozentrechung zur Veranschaulichung von Inflation. In einer vergangenen Mathematikstunde haben wir, in Anlehnung an den Big Mac-Index, einen eigenen "Bosna-Index" berechnet. Dabei ging es jedoch im Gegensatz dazu nicht darum Preise in verschiedenen Ländern zu vergleichen, sondern darum herauszufinden, ob die Preise des Balkangrills die tatsächliche Inflation verhältnismäßig gut widerspiegeln. Die Grundlage dafür waren Preisschilder auf Fotos des Imbissstandes aus verschiedenen Jahren, die man auf Restarantbewertungsseiten, wie z. B. Tripadvisor oder Foursquare, finden kann:

Preisentwicklung von 2007 bis 2022 (Bildquelle: eigene Darstellung mit Google Tabellen)

In der Unterrichtseinheit haben wir zunächst den absoluten Preisunterschied zwischen 2007 und 2023 berechnet, um den Lernenden vor Augen zu führen, wie stark der Stückpreis seitdem gestiegen ist. Ein Preisunterschied von 2,20 € nach 15 Jahren entspricht einer relativen Preissteigerung von über 80 %. Danach haben wir die Definition von Inflation wiederholt und recherchiert, wie hoch diese im Jahr 2022 war: 8,6 %. Die jährliche Inflation (vorbereitet durch die Lehrkraft ausgehend von Daten der Statistik Austria) über den Zeitraum von 2008 bis 2022 beträgt im Schnitt ungefähr 2,37 %. Nun zum Vergleich: Wie stark wäre der Bosnapreis gestiegen, wenn wir die durchschnittliche Inflationsrate zugrunde legen?

Wir sehen also, dass der Bosnapreis sogar noch viel stärker gestiegen ist. Allerdings müssen wir dabei berücksichtigen, dass wir nur einen allgemeinen Vergleich gemacht haben. Um zu verstehen, was gemeint ist, muss man wissen, wie Inflation gemessen wird. Das geschieht u. a. mithilfe des sogenannten Verbraucherpreisindex, indem die Preise für einen Warenkorb betrachtet werden. Darin befindet sich, vereinfacht gesagt, eine Mischung aus verschiedenen Produkten und Dienstleistungen, die von einem durchschnittlichen Haushalt konsumiert, d. h. "verbraucht" werden. Anschließend werden diese Preise mit einem früheren Zeitpunkt verglichen. Anhand der dadurch ermittelten Preisänderungen kann schließlich die Inflationsrate berechnet werden.

Gewisse Bestandteile dieses Warenkorbs, wie Lebensmittel, werden jedoch z. B. nicht in die sogenannte Kerninflation miteinberechnet, da sie stärkeren Schwankungen ausgesetzt sind. Für den Index "Nahrungsmittel und alkoholfreie Getränke" betrug die Inflation im Dezember 2022 beispielsweise 16,1 % und für "Restaurants und Hotels" 12,7 %, während die Gesamtinflation bei 10,2 % lag. Der Bosnapreis wird die Inflation für Lebensmittel und Restaurants also vermutlich besser widerspiegeln als die Inflation für alle Bereiche zusammen.

An dieser Stelle ein herzliches Dankeschön an Kai J. Lingnau für wertvollen Input zu ökonomischen Rückfragen!

Johannes C. Huber (findet, dass früher nicht alles besser, aber vieles auf jeden Fall günstiger war)

Quellen: