Unverhältnismäßig verhältnismäßig

Thema: Kochrezepte und Zahlentheorie

Wenn wir ein Verhältnis in ein anderes umwandeln wollen, dann können wir das mit einer Gleichung machen, die wir unter anderem auch Proportion, Dreisatz, Schlussrechnung oder einfach Verhältnisgleichung nennen. Im Schulunterricht müssen in diesem Zusammenhang häufig Zutatenmengen für Kochrezepte angepasst werden. Bei solchen Aufgaben geht es beispielsweise darum, bei der Menge Rindfleisch (75 dag) von den Zutaten für ein Gulasch von jener für vier Personen auf jene für fünf zu schließen. Wir können dafür eine Gleichung aufstellen und diese anschließend nach x auflösen:

4 : 5 = 75 : x
4x = 375
x = 93,75

Einer meiner ehemaligen Schüler hat bei der Suche nach einer eigenen Lösungsstrategie erkannt, dass uns dabei der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache (in weiterer Folge kurz: ggT und kgV) behilflich sein können. Als er mir seine Vorgehensweise geschildert hat, war mir zunächst nicht ganz klar, worauf er eigentlich hinausmöchte. Daraus hat sich in weiterer Folge ein für beide Seiten sehr bereicherndes Gespräch über den Lehrstoff ergeben. Da solche Situationen in meinem Alltag eher selten vorkommen, begrüße ich es umso mehr, wenn es doch einmal dazu kommt, weil es einer der besonders schönen Aspekte meiner Arbeit als Lehrkraft ist. In diesem Beitrag möchte ich seine Funde erläutern.

Unser Zahlenpaar vier und fünf aus der oben beschriebenen Aufgabe sind teilerfremd. Sie haben also nur den trivialen ggT eins, den wir in der Schule gerne auch scherzhaft als "kleinsten gemeinsamen Teiler" bezeichnen, und das kgV ist ganz einfach ihr Produkt:

ggT(4; 5) = 1 und kgV(4; 5) = 20

Der ggT empfiehlt in diesem Fall gewissermaßen, dass wir die Menge für vier Personen erst vierteln, um die Menge für eine Person zu erhalten und diese anschließend verfünffachen. Hierbei handelt es sich um den klassischen Dreisatz, bei der wir zuerst die Einheitsgröße ermitteln, weil diese anschließend auf eine beliebige andere Größe vervielfacht werden kann. Das kgV wiederum geht quasi in die andere Richtung. Wir verfünffachen erst die Menge für vier Personen, erhalten dadurch zunächst die Menge für zwanzig und vierteln diese, um schlussendlich die Menge für nur fünf Personen zu erhalten.

Als Nächstes schauen wir uns ein anderes Zahlepaar an, bei dem eine der beiden Zahlen ein gemeinsamer Teiler und die andere ein gemeinsames Vielfaches ist:

ggT(4; 8) = 4 und kgV(4; 8) = 8

Sowohl der ggT, als auch das kgV sagen uns, dass wir die Menge für vier Personen lediglich verdoppeln müssen, um die Menge für acht Personen zu erhalten bzw. dass wir die Menge für acht Personen halbieren müssen, um die Menge für vier Personen zu erhalten. Das dürfte aber höchstwahrscheinlich auch ohne die Berechnung von ggT und kgV bereits klar gewesen sein. In diesem Fall ist es also möglich, direkt zur Lösung zu kommen ohne den Umweg auf eine andere Menge zu nehmen.

Zum Schluss betrachten wir noch den letzten Fall, bei dem das Zahlenpaar zwar einen gemeinsamen nichttrivialen Teiler hat, aber keine der beiden Zahlen ein Vielfaches der anderen ist:

 ggT(4; 6) = 2 und kgV(4; 6) = 12

In diesem Fall wäre es möglich, die Menge für vier Personen erst zu halbieren und anschließend zu verdreifachen oder erst zu verdreifachen und anschließend zu halbieren, um auf jene für sechs Personen zu kommen. Umgekehrt könnten wir die Menge für sechs Personen erst dritteln und dann verdoppeln oder erst verdoppeln und dann dritteln, um auf jene für vier Personen zu kommen. In diesem Fall benötigen wir also ebenfalls einen Zwischenschritt auf eine ganzzahlige andere Menge, aber dabei muss es sich, wie wir eben gezeigt haben, nicht zwingend um die Einheitsgröße handeln.

Wir fassen zusammen: Insofern wir zumindest beim Verhältnis ganzzahlig bleiben wollen, sagt uns der ggT, ob es unbedingt nötig ist, zuerst auf die Einheitsgröße herunter zu rechnen und dann zu vervielfältigen oder nicht, weil die eine Menge bereits ein Vielfaches der anderen ist. Falls der ggT gleich eins ist, können wir mit dem klassischen Dreisatz arbeiten, aber falls nicht, geht es unter Umständen schneller, und zwar dann, wenn der ggT eine der beiden Zahlen ist. Falls der ggT wiederum weder eins, noch eine der beiden Zahlen ist, können wir, falls gewünscht, stattdessen auch auf eine andere Zwischengröße herunterrechnen.

Das kgV wiederum sagt uns ebenfalls etwas über die mögliche Vorgehensweise. Wir können allgemein das Produkt der beiden Zahlen bilden und anschließenddirekt auf die gesuchte Menge herunterrechnen, in dem wir durch die ursprüngliche Menge dividieren. Manchmal ist es aber auch möglich, direkt auf die gesuchte Menge zu schließen, und zwar dann, wenn das kgV eine der beiden Zahlen ist. Falls die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind, gibt es auch ein kleineres ganzzahliges Vielfaches als das Produkt der beiden Zahlen, was uns in der Praxis unter Umständen die Arbeit erleichtert.

Johannes C. Huber (begrüßt es, wenn Kinder beim Lernen ihre eigenen Entdeckungen machen)

Mathemagische Kartentricks Teil 9

Thema: Kartentricks und Zahlenfolgen

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Wir lassen unser Gegenüber zwei Karten ziehen und bitten darum, uns die Summe der beiden Karten zu nennen, woraufhin wir sofort sagen können, um welche es sich handelt. Der Name dieses Tricks von Colm Mulcahy (2013) ist Little Fibs. Dabei handelt es sich um ein Wortspiel, weil das englische Wort fib einerseits Schwindelei bedeutet und andererseits eine Referenz auf die Fibonacci-Zahlen darstellt:

F(0) = 0        F(1) = 1        n > 1 : F(n) = F(n – 1) + F(n – 2)

Wir haben nämlich für die Ziehung zu Beginn nur eine ganz bestimmte Teilmenge des Decks zur Verfügung gestellt, und zwar: {A; 2; 3; 5; 8; K}. Ihre Ränge entsprechen den folgenden Fibonacci-Zahlen: {F(1) = F(2) = 1; F(3) = 2; F(4) = 3; F(5) = 5; F(6) = 8; F(7) = 13}.

 
Wir haben eine gewisse Vorauswahl getroffen. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die Fibonacci-Zahlen stellen eine sogenannte Sidon-Folge dar und haben die praktische Eigenschaft, dass jede Summe zweier ihrer Folgenglieder verschieden von allen anderen ist. Wir können also problemlos von der Summe auf die beiden Summanden schließen, weil jedes Ergebnis nur durch zwei der sechs Zahlen zustande kommt: {3 = 1 + 2; 4 = 1 + 3; 5 = 2 + 3; 6 = 1 + 5; 7 = 2 + 5; 8 = 3 + 5; 9 = 1 + 8; 10 = 2 + 8; 11 = 3 + 8; 13 = 5 + 8; 14 = 1 + 13; 15 = 2 + 13; 16 = 3 + 13; 18 = 5 + 13; 21 = 8 + 13}.

Im Original wird zusätzlich dazu noch die jeweilige Spielfarbe vorhergesagt. Dazu legen wir uns vorab auf eine bestimmte Reihenfolge fest, die wir auswendig können müssen. Mulcahy verwendet die sogenannte CHaSeD-Sortierung, was für die Reihenfolge clubs-hearts-spades-diamonds bzw. auf Deutsch Kreuz-Herz-Pik-Karo steht und in diesem Fall zu folgenden Karten führt: ♣A-♥2-♠3-♦5-♣8-♥K.

Mulcahy merkt an, dass stattdessen auch die sechs Karten einer Spielfarbe genommen werden können, damit man sich nicht extra merken muss, welche Karte zu welcher Farbe gehört. Das hat den Vorteil, dass die Durchführung des Tricks vereinfacht wird, was ihn für leistungsschwächere Lernende zugänglicher macht. Ein Nachteil ist wiederum, dass er so womöglich weniger Eindruck schindet und außerdem einfacher zu durchschauen ist. Insbesondere bei wiederholter Durchführung wird nämlich schnell offensichtlich, dass alle gezogenen Karten dieselbe Spielfarbe aufweisen.

Er schlägt folgende Impulsfragen vor, die man den Lernenden stellen kann, sobald ihnen die Funktionsweise erklärt wurde:

Funktioniert der Trick auch noch, wenn drei der sechs Karten gezogen werden? 

Ja, aber dann kann folgender Fall eintreten, bei dem nicht eindeutig gesagt werden kann, um welche drei Karten es sich handelt: 1+2+13 = 3+5+8. Mulcahy schlägt vor, in diesem Fall ein kleines Wortgeplänkel einzubauen, das darauf abzielt, eine der Spielfarben herauszufinden, um dadurch auf die drei Karten zu schließen.

Funktioniert der Trick auch, wenn vier der sechs Karten gezogen werden? 

Ja, und es ist sogar, wie Mulcahy es formuliert, doppelt so beeindruckend, aber nur halb so schwierig, da wir lediglich die Summe der Ränge von der Gesamtsumme abziehen müssen. Mit dem Rest machen wir anschließend  dasselbe wie bei der Variante mit nur zwei Karten. Dadurch wissen wir, welche Karten nicht gezogen wurden und dementsprechend auch, um welche vier Karten es sich handelt. Als Hilfestellung empfiehlt er, die Lernenden aufzufordern, die Gesamtsumme aller sechs Karten zu bestimmen.

Gibt es noch weitere Zahlenmengen, für die der Trick mit zwei Karten funktioniert?

Ja, denn eine vergleichsweise einfache und artverwandte Möglichkeit wäre eine Teilmenge der sogenannten Tribonacci-Zahlen, bei denen jede Zahl, ähnlich wie bei den Fibonacci-Zahlen, aus der Summe der drei statt nur zwei vorangehenden gebildet wird:

T(0) = 0        T(1) = T(2) = 1        n > 3 : T(n) = T(n – 1) + T(n – 2) + T(n – 3)

Falls wir unbedingt sechs Zahlen haben möchten, bieten sich folgende Tribonacci-Zahlen an: {T(0) = 0; T(1) = T(2) = 1; T(3) = 2; T(4) = 4; T(5) = 7; T(6) = 13}, wobei für die Null zum Beispiel ein Joker verwendet werden könnte und folgende Karten infrage kommen: {J; A; 2; 4; 7; K}. Wir können stattdessen auch gewissermaßen die Reihenfolge umkehren und die Fibonacci-Zahlen als Differenzen betrachten, die wir von 14 abziehen: {1; 6; 9; 11; 12; 13}. Dasselbe lässt sich auch mit den Tribonacci-Zahlen bewerkstelligen, indem wir sie als Differenzen betrachten, die wir von 13 abziehen: {0; 6; 9; 11; 12; 13}.

Welche Möglichkeiten gibt es, wenn wir nur fünf statt sechs Zahlen zur Verfügung haben? 

Eine naheliegende Strategie ist, einfach eine der sechs Zahlen zu entfernen:

• {1; 2; 3; 5; 8}
• {1; 2; 3; 5; 13}
• {1; 2; 3; 8; 13}
• {1; 2; 5; 8; 13}
• {1; 3; 5; 8; 13}
• {2; 3; 5; 8; 13}

Es gibt allerdings auch noch andere Möglichkeiten (ohne Anspruch auf Vollständigkeit):

• {1; 3; 4; 7; 11} (Lukas-Zahlen ohne 2)
• {2; 3; 5; 7; 11} (Primzahlen)
• {1; 2; 4; 6; 10} (Primzahlen minus 1)
• {0; 1; 2; 5; 12} (Pell-Zahlen)
• {0; 1; 3; 5; 11} (Jacobsthal-Zahlen)
• {1; 3; 5; 8; 9}
• {1; 2; 5; 7; 13}

Falls auch weniger Zahlen zulässig sind, bieten sich unter anderem auch noch die Potenzen der Zahlen zwei {1; 2; 4; 8} und drei {1; 3; 9} an.

Gibt es, abgesehen von der Addition, noch andere Rechenoperationen, die einen eindeutigen Rückschluss auf zwei Zahlen zulassen?

Ja, denn ein naheliegendes Beispiel wäre die Multiplikation mit den ersten sechs Primzahlen: {2; 3; 5; 7; 11; 13}. Bei der Subtraktion oder Division hingegen kommt erschwerend hinzu, dass die Reihenfolge der Zahlen eine Rolle spielt. Darüber hinaus funktioniert die Multiplikation auch mit folgenden Zahlenmengen:

• {1; 2; 3; 4; 5; 7}
• {1; 2; 3; 4; 5; 9}
• {1; 2; 3; 4; 5; 11}
• {1; 2; 3; 4; 5; 13}

Bei dieser Variante des Tricks beschränken wir uns auf eine Ziehung, aber der Trick kann unter anderem mit verschiedenen Mischtechniken, wie beispielsweise durch das Zurückhalten der sechs Karten beim Bogenmischen, noch weiter ausgeschmückt werden. Die wesentliche Erkenntnis sollte jedenfalls sein, dass es bestimmte Zahlenmengen gibt, die sich für eine derartige Codierung von Informationen eignen und man diese auch variieren kann, um die Funktionsweise des Tricks besser zu verschleiern. Falls auch mit Computern gearbeitet wird, sollten die Lernenden dazu animiert werden, mit Tabellenkalkulation zu arbeiten, um verschiedene Zahlenmengen zu testen.

Johannes C. Huber (verlieh seiner Defensio mit der Vorführung dieses Tricks ein wenig Flair)

Quellen:

• Mulcahy C. (2013): Little Fibs; In: Mathematical Card Magic: Fifty-Two New Effects, 89-93; Chapman & Hall/CRC Press.

Von der hohen Kunst im Kreis zu fahren

Thema: Mario Kart und Kreisteile

Ich arbeite in meinen Mathematikstunden gerne hin und wieder mit Inhalten aus der Welt der Videospiele. Um meinen Lernenden die Kreisbestandteile bei zusammengesetzten Flächen näherzubringen, haben wir uns unter anderem verschiedene Grundrisszeichungen angeschaut. Ein einfaches Beispiel dafür ist die Rennstrecke Baby Park aus der Spielreihe Mario Kart.

Verlauf der Rennstrecke in Mario Kart 8 (Bildquelle: Mario Kart Wiki)

Für meine Aufgabenstellung waren zumindest grobe Streckenmaße nötig. Selbstverständlich hätte ich mir einfach irgendetwas ausdenken können, aber ich konnte es wieder einmal nicht lassen und wollte es genau wissen. Da es im Internet unzählige Hintergrundinformationen über die Spielreihe gibt, bin ich davon überzeugt gewesen, dass sich auch etwas über die Länge der Rennstrecke herausfinden lässt. Also habe ich mich voller Zuversicht auf die Suche gemacht, aber nirgends in den diversen Wikis, Foren und Blogbeiträgen gab es auch nur ansatzweise Informationen über die im Spiel gefahrenen Distanzen. Ein berechtiger Einwand wäre freilich, dass es sich um ein Videospiel handelt, dessen Elemente ohnehin nicht allzu realistisch sind, aber das Programm müsste doch zumindest mit irgendeinem Referenzwert arbeiten, den ich für eine Berechnung verwenden kann.

Beim Vorgänger Mario Kart 64 gibt es nämlich durchaus Angaben zu den Längen der verschiedenen Strecken. Die längste davon ist Rainbow Road mit anscheinend genau zweitausend Metern. Um nun für den Baby Park eine halbwegs zuverlässige Schätzung machen zu können, habe ich mir zunächst einmal die Rekorde beim Zeitfahren auf den beiden Strecken angeschaut. Für drei Runden auf der Strecke Rainbow Road werden aktuell mindestens 4'51"87 ≙ 291,87 Sekunden (NTSC-Version) bzw. 5'50"95 ≙ 350,95 Sekunden (PAL-Version) benötigt. Um die Zeiten der NTSC- und der PAL-Version ineinander umzuwandeln wird der Änderungsfaktor 1,2024 verwendet, aber ich werde in weiterer Folge ohnehin beide Varianten bei der Berechnung berücksichtigen.

Es gibt zwar auch separat aufgelistete Rekordzeiten für einzelne Runden, aber da die dafür erforderliche Geschwindigkeit vermutlich nicht in allen Runden des Zeitfahrens beibehalten werden kann, ist es vermutlich besser, mit der durchschnittlichen Rundenzeit zu arbeiten. Diese beträgt demnach 97,29 bzw. ungefähr 116,98 Sekunden, woraus wir folgende Durchschnittsgeschwindigkeiten ableiten können:

2 000 m : 97,29 s ≈ 20,56 m/s (NTSC) bzw. 2 000 m : 116,98 s ≈ 17,01 m/s (PAL)

Die Strecke Baby Park wiederum kommt gleich mehreren Ablegern der Spielreihe vor und die entsprechenden Zeitrekorde lauten aktuell wie folgt:

• Mario Kart Double Dash: 01' 02'' 358 ≙ 62,358 Sekunden
• Mario Kart DS: 00' 42'' 320 ≙ 43,32 Sekunden
• Mario Kart 8: 01' 02'' 403 ≙ 62,403 Sekunden
• Mario Kart 8 Deluxe: 01' 01'' 836 ≙ 61,836 Sekunden

Wir müssen dabei berücksichtigen, dass im Spiel Mario Kart DS lediglich fünf statt der sonst üblichen sieben Runden gefahren werden müssen. Die durchschnittliche Rundenzeit beträgt quer durch alle Titel (62,358 + 43,32 + 62,403 + 61,836) : (7 + 5 + 7 + 7) = 228,917 : 26 = 8,8045 Sekunden, womit wir hoffentlich einen recht passablen Schätzwert für die gesuchte Streckenlänge erhalten:

20,56 m/s ⋅ 8,8045 s ≈ 181 m (NTSC) bzw. 17,01 m/s ⋅ 8,8045 s ≈ 150 m (PAL)

Die Strecke Baby Park dürfte also ungefähr zwischen 150 und 180 Meter lang sein. Ihr Verlauf setzt sich aus zwei geraden Abschnitten und zwei annähernd halbkreisförmigen Kurven zusammen:

Verlauf der Rennstrecke Baby Park aus Mario Kart DS (Bildquelle: Spriters Resource) 

Um anschließend zusätzlich zur Streckenlänge noch die Breite der Fahrbahn zu bestimmen, habe ich mit dem Bildbearbeitungsprogramm GIMP gearbeitet. Meine Vorgehensweise war im Grunde recht simpel: Ich habe zunächst einen Bildausschnitt mit der Länge der Fahrbahnbreit y markiert und mehrmals kopiert, um zu überprüfen, wie oft er auf die geraden Abschnitte passt. Sie hat dort in Summe etwas mehr als elfmal Platz. Wir gehen in weiterer Folge davon aus, dass die Streckenlängen in der Mitte der Fahrbahn gemessen werden. Die Radien der beiden Halbkreise, auf denen die Kurven liegen, haben die 1,2-fache Länge der Fahrbahnbreite, da ihre Mittelpunkte auf der Grünfläche im Inneren der Strecke liegen. Insgesamt kommen wir damit auf folgende Gesamtlängen:

181 m = (11,2 + 1,2π) ⋅ y m = 14,97y m ≈ 15y m → y ≈ 12 m (NTSC) 

150 m = (11,2 + 1,2π) ⋅ y m = 14,97y m ≈ 15y m → y ≈ 10 m (PAL)

Die Fahrbahn dürfte also zwischen zehn und zwölf Meter breit sein. Nun haben wir alles für die Angabe der eigentlichen Aufgabenstellung beisammen. Eine Schülerin hat gleich zu Beginn richtigerweise erkannt, dass nicht eindeutig ist, nach welcher Länge wir suchen, weil es ja einen Unterschied macht, ob wir innen oder außen unterwegs sind. Darauf wollte ich auch hinaus, also habe ich vorgeschlagen, dass die Kinder den Unterschied zwischen der inneren und äußeren Streckenlänge ermitteln sollen.

Der Unterschied zwischen den gefahrenen Distanzen auf einer solchen Strecke übersteigt übrigens niemals einen bestimmten Wert, bei dem wieder einmal unsere Kreiszahl Pi eine tragende Rolle spielt wie wir gleich sehen werden. Er ist tatsächlich nicht allzu groß, aber nichtsdestotrotz können wir uns einen Vorteil verschaffen, wenn wir stets auf der Innenseite unterwegs sind. Aus diesem Grund sind beispielsweise die Linien auf unterschiedlichen Bahnen bei Wettläufen um genau diesen Abstand versetzt:

Laufbahnen mit versetzten Startpositionen (Bildquelle: Freepik)

Doch wie viel Unterschied macht es nun genau? Die geraden Abschnitte sind innen und außen gleich lang, also ist es dort grundsätztlich egal, auf welcher Seite man fährt. Die kurvigen Abschnitte wiederum sind nichts anderes als Kreissektoren. Es gibt dort zwar Längenunterschiede, und zwar je nachdem, ob man innen oder außen fährt, aber diese heben sich großteils gegenseitig wieder auf, wenn die Kurven in unterschiedliche Richtungen gehen. Falls beispielsweise auf eine 90°-Kurve nach links eine 90°-Kurve nach rechts folgt, dann ist die gefahrene Distanz innen und außen am Ende wieder gleich lang.

Solange eine Fahrbahn sich nicht selbst kreuzt, überall gleich breit und flach sowie in sich geschlossen ist, können wir die orientierten Innenwinkel aller Kurven bzw. Kreissektoren zusammenzählen und werden feststellen, dass am Ende stets ein einziger voller Kreis übrig bleibt, dessen Umfang bekanntlich 2π mal seinem Radius entspricht. In diesem Fall ist dieser Radius einfach die Breite der Fahrbahn. Kurz gesagt: Rennstrecken, die dort enden, wo sie angefangen haben und sich nicht selbst schneiden sind also letztendlich nichts anderes als ein verformter Kreisverkehr. 

Johannes C. Huber (muss noch einen Kuchen für den Pi-Day mit seiner Klasse backen) 

Quellen:

• Stewart I. (2008): Ringstraßendreh. In: Professor Stewarts mathematisches Sammelsurium (3. Auflage 2016)
• Länge der Strecken in Mario Kart 64 (letzter Aufruf 14.03.2026)
• Streckenzeitrekorde:
  
• Mario Kart 64 (letzter Aufruf 14.03.2026)
• Mario Kart Double Dash (letzter Aufruf 14.03.2026)
• Mario Kart DS (letzter Aufruf 14.03.2026)
• Mario Kart 8 (letzter Aufruf 14.03.2026)
• Mario Kart 8 Deluxe (letzter Aufruf 14.03.2026)

Mathemagische Kartentricks Teil 8

Thema: Kartentricks und Parität

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Liljedahl nennt diesen Trick Piano Fingers, aber er ist allgemein schlicht als Piano-Trick bekannt, weil die Haltung der Finger beim Platzieren der Karten so aussieht, als ob jemand Klavier spielt. Er kann bereits mit Kindern im Volksschulalter durchgeführt werden. Zu Beginn bitten wir unser Gegenüber, beide Hände auszustrecken und dabei die Finger auseinander zu spreizen. Dann platzieren wir der Reihe nach Kartenpaare zwischen den Fingern. Es spielt dabei keine Rolle, ob wir mit der linken oder rechten Hand beginnen. Zwischen den letzten beiden Fingern wird nur eine einzelne Karte platziert:

Ausgangslage (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Im nächsten Schritt nehmen wir die Kartenpaare der Reihe nach wieder zwischen den Fingern heraus, trennen sie voneinander und bilden damit zwei gleich große Stapel bis schließlich die einzelne Karte übrig bleibt. Unser Gegenüber darf sich nun aussuchen, auf welchen der beiden Stapel diese verbleibende Karte gelegt werden soll. Dem Anschein nach sollte diese zusätzliche Karte dazu führen, dass die Anzahl der Karten im jeweiligen Stapel ungerade wird. Diese Vermutung lässt sich jedoch widerlegen, indem man zeigt, dass daraus vier Paare gebildet werden können, während das beim anderen Stapel nicht funktioniert.

Eine Portion gesundes Misstrauen ist angebracht, um die Funktionsweise des Tricks zu entlarven. Zunächst sollten wir ergründen, wie viele Karten insgesamt involviert sind. An jeder Hand befinden sich vier Zwischenräume. Dort platzieren wir siebenmal jeweils zwei Karten, aber im letzten nur eine und kommen somit auf 7 · 2 + 1 = 15. Wenn wir jene Karte abziehen, die am Ende dazugelegt wird, sind es vierzehn Karten aufgeteilt auf zwei gleich große Stapel mit jeweils sieben Karten. Die Gesamtanzahl der Karten ist also gerade, aber die Anzahl der Karten in den einzelnen Stapeln nicht.

Es macht folglich keinen Unterschied, auf welchen Stapel wir die verbleibende Karte legen, da die Anzahl der Karten dort dadurch automatisch gerade wird und wir behaupten nur fälschlicherweise, dass beide bereits zuvor eine gerade Anzahl an Karten enthalten. Der Trick gelingt uns nur, wenn das Publikum dieser Behauptung Glauben schenkt und dadurch einem Trugschluss unterliegt. Da der Trick auf der Parität der Kartenanzahl, d. h. ob diese gerade oder ungerade ist, basiert, wird er auf Englisch treffenderweise auch als the odd piano-duet bezeichnet. Wir könnten das in die deutsche Sprache als das eigenartige Piano-Duett übersetzen. Dieser Name wird zwar möglicherweise der dabei entstehenden Verwunderung gerecht, aber leider geht dabei auch ein Hinweis auf die Funktionsweise verloren.

Johannes C. Huber (musste beim Üben feststellen, dass die Durchführung alleine recht schwierig ist)

Quellen:

• Adrion A. (2016): Das verschwundene Kaninchen und andere mathematische Tricks; Dumont. Neuauflage der deutsche Übersetzung aus dem Jahr 1981 von Gardner M. (1956): Mathematics, Magic and Mystery; Dover. 

 

Mathemagische Kartentricks Teil 7

Thema: Kartentricks und Terme

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Liljedahl nennt diesen Trick Rearrange 10, während er bei Gardner als das vorhergesagte Umstecken übersetzt wird. Wir benötigen dafür zehn Karten von Ass bis Zehn, aber er kann auch mit einer größeren Anzahl durchgeführt werden. Die Spielfarbe der Karten ist zwar nebensächlich, aber es sieht unter Umständen schöner aus, wenn wir nur eine davon verwenden. Zu Beginn legen wir die Karten in aufsteigender Reihenfolge nebeneinander auf. Wir gehen in weiterer Folge davon aus, dass die Karte mit dem niedrigsten Rang (das Ass) aus der Sicht unseres Gegenübers links und jene mit dem höchsten Rang (der Zehner) rechts liegt. Aus unserer Sicht ist es also genau umgekehrt.

Die Karten werden zuerst nach Rang sortiert... (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Nachdem die Reihenfolge der Karten für alle Beteiligten klar ist, drehen wir sie um und schlagen eine Proberunde vor. Dazu wenden wir uns ab und fordern unser Gegenüber auf, eine beliebige Anzahl an Karten von der linken auf die rechte Seite bzw. von uns aus gesehen von der rechten auf die linke Seite zu schieben, ohne jedoch zu verraten, wie viele es waren.

...und anschließend umgedreht. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Sobald das geschehen ist, decken wir die (von uns aus gesehen) linke Karte auf und erklären stolz, dass dem Rang der aufgedeckten Karte entsprechend viele Karten bewegt wurden. In unserem Beispiel waren es beim ersten Durchgang zwei Karten:

Nach der ersten Verschiebung decken wir die linke Karte auf... (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Da diese Erkenntnis noch nicht allzu beeindruckend ist, drehen wir die Karte wieder um und starten sogleich einen neuen Durchgang. Nachdem ein weiteres Mal Karten bewegt wurden, decken wir zielsicher eine ganz bestimmte andere Karte auf, die uns sofort anzeigt, wie viele es diesmal gewesen sind. In unserem Beispiel wurden beim zweiten Mal vier Karten bewegt, weshalb wir diese Karte aufdecken:

...und nach der zweiten jene, die uns anzeigt, wie viele diesmal bewegt worden sind. (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Das Ganze lässt sich auch danach noch beliebig oft wiederholen, doch woher wissen wir überhaupt, welche Karte uns beim zweiten Mal die Anzahl verrät? Das Geheimnis liegt in der Durchführung des Probelaufs zu Beginn, da dieser nicht nur unser Gegenüber mit dem Ablauf vertraut macht, sondern auch das Gelingen des Tricks ermöglicht. Es ist nämlich essenziell, dass wir uns nach der ersten Verschiebung die letzte Karte auf unserer linken Seite anschauen, um herauszufinden, welche Karte wir nach der zweiten Verschiebung aufdecken müssen. Wir haben diese nach dem ersten Mal deshalb aufgedeckt, weil das am Anfang die Position des Zehners war. Dieser ist nämlich unsere sogenannte Leitkarte.

Zur besseren Nachvollziehbarkeit können wir die Karten aufgedeckt liegen lassen, während wir den Trick durchführen. Uns interessiert nicht die aktuelle Position der Leitkarte, sondern die jeweils vorige. Nach der zweiten Verschiebung machen wir also einfach das Gleiche noch einmal und müssen nur wissen, wo der Zehner nach der ersten Verschiebung gelegen ist. In unserem Beispiel war das die dritte Karte von links bzw. die achte Karte von rechts, weshalb wir auch diese nach der zweiten Verschiebung aufdecken:

Hier ist die Position des Zehners nach der ersten Verschiebung sichtbar... (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Hätten wir nach der zweiten Verschiebung erneut die linke Karte aufgedeckt, hätten wir einen Sechser gesehen und immerhin erkannt, dass insgesamt sechs Karten bewegt wurden. Wir hätten dann einfach die Differenz berechnen und somit auf 6 – 2 = 4 bewegte Karten kommen können. Insofern wir diesen Wert jedoch gleich direkt ablesen möchten, müssen wir stattdessen jene Karte aufdecken, die sich zu diesem Zeitpunkt an der vorigen Position unserer Leitkarte befindet:

...um zu zeigen, warum nach der zweiten Verschiebung eine andere Karte aufgedeckt wird. (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Um besser zu verstehen, wie sich so jene Karte, deren Rang die Anzahl der bewegten Karten offenbart, ermitteln lässt, können wir uns auch vorstellen, dass wir nach der ersten Verschiebung die linke Karte aufdecken und noch immer einen Zehner sehen. Das würde also heißen, dass gar keine Karten verschoben wurden. Dieser Fall wird normalerweise nicht eintreten, aber er ist grundsätzlich möglich. Wir könnten es auch so deuten, dass alle zehn Karten verschoben wurden, wodurch sich jedenfalls nichts geändert hat. Dementsprechend würden wir beim nächsten Mal einfach erneut die Karte an dieser Position betrachten.

Falls jedoch tatsächlich Karten verschoben werden, wandert der Zehner einfach um entsprechend viele Positionen weiter. Bei unserem Beispiel war das die Position 10 – 2 = 8. Im Endeffekt läuft es also darauf hinaus, dass der weiter oben beschriebene Prinzip an einer anderen Position erneut ausgenutzt wird. Sollte der Zehner im Zuge einer Verschiebung wieder mit an das andere Ende der Reihe wandern, zählen wir einfach von dort weiter. Allgemein gilt Folgendes: Wenn wir insgesamt n Karten in aufsteigender Reihenfolge mit den Rängen von 1 bis n haben und k Karten vom oberen ans untere Ende verschieben, dann befindet sich die Leitkarte, d. h. jene mit Rang n bzw. an der Position n, danach an der Position n – k. Hier ein paar weitere Beispiele:

• Wenn die linke Karte nach der ersten Verschiebung ein Dreier ist, decken wir nach der zweiten die von uns aus gesehen vierte Karte von links bzw. die siebte Karte von rechts auf, weil der Zehner im Zuge der ersten Verschiebung drei Positionen weiter nach rechts gewandert ist: 10 – 3 = 7.
• Wenn die linke Karte nach der ersten Verschiebung ein Achter ist, decken wir nach der zweiten die von uns aus gesehen neunte Karte von links bzw. die zweite Karte von rechts auf, weil der Zehner im Zuge der ersten Verschiebung acht Positionen weiter nach rechts gewandert ist: 10 – 8 = 2.

Im Extremfall kann der Trick auch mit dem kompletten Deck durchgeführt werden. Die Voraussetzung dafür ist im Grunde nur eine fixe Reihenfolge für alle Karten. Martin Gardner stellt auch eine Variante vor, die mit Dominosteinen durchgeführt wird.

Johannes C. Huber (tut sich leichter, wenn er sich die Karten in einem Kreis angeordnet vorstellt)

Quellen:

• Adrion A. (2016): Das verschwundene Kaninchen und andere mathematische Tricks; Dumont. Neuauflage der deutsche Übersetzung aus dem Jahr 1981 von Gardner M. (1956): Mathematics, Magic and Mystery; Dover. 

Kombinatorik zum Anlegen

Thema: Scrabble und Anordnungen

Es gibt Gesellschaftsspiele, die so gut wie alle kennen und regelmäßig für Streitereien sorgen, obwohl sie im Grunde recht einfach sind. Wer bei Monopoly oder DKT schon einmal auf einem Feld voller Hotels gelandet ist, nur um danach genervt um einen Kredit zu bitten, dürfte dieses Gefühl kennen. Manche von uns haben vielleicht schon die Erfahrung gemacht, dass es möglicherweise doch keine allzu gute Idee war, sich beim Uno auf seltsame Hausregeln einzulassen, weil sie plötzlich zwanzig Karten ziehen mussten. Von Ludo, das auf Deutsch ironischerweise "Mensch ärgere dich nicht!" genannt wird, mal ganz zu schweigen. Beim Spiel Scrabble hingegen liegt das meist einfach daran, das sich die Mitspielenden nicht darauf einigen können, ob bestimmte Wörter erlaubt sind oder nicht.

Das Spiel gibt es zwar schon seit fast hundert Jahren, aber falls jemand aus dem Lesepublikum es tatsächlich nicht kennen sollte, folgt hier eine kurze Erläuterung: Vereinfacht gesagt geht es darum, mit einer Menge von Buchstaben sinnvolle Wörter geschickt auf dem Spielfeld zu platzieren und dafür möglichst viele Punkte zu bekommen. Es wird deshalb auch gerne als Wort- oder Sprachenspiel bezeichnet, doch abgesehen von einem großen Vokabular (und einer anfänglichen Klarstellung, was davon erlaubt ist) sind auch ein paar mathematische Fähigkeiten wie Mustererkennung und Wahrscheinlichkeitsrechnung nötig, um beim Spielen wirklich erfolgreich zu sein. Ich nehme Scrabble gerne als Beispiel in der Schulmathematik der Oberstufe, um ein paar wichtige Begriffe aus der Kombinatorik zu erklären. Falls man das Spiel selbst besitzt, kann man es auch in den Unterricht mitnehmen und diese mit den Spielsteinen veranschaulichen. 

Scrabble ist im Grunde nichts anderes die angewandte Kunst des geschickten Zählens. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Zu Beginn des Spiels ziehen wir zunächst eine Kombination von sieben Buchstaben und versuchen in weiterer Folge mit diesen regelkonforme Wörter zu bilden. Das Kunststück, alle sieben Steine auf einmal abzulegen, wird im englischsprachigen Original Bingo und in anderen Versionen Bonus genannt. In diesem Fall haben wir es mit einer sogenannten Permutation bzw. der Anordnung einer Menge von Objekten unter Beachtung einer bestimmten Reihenfolge zu tun. Wir können die Auswahl von Buchstaben in unserer Hand als Ziehung ohne Wiederholung betrachten und kommen so auf bis zu 7! = 5 040 mögliche Anordnungen. Leider wird in den meisten Fällen kein sinnvoller Begriff entstehen, was jedoch in der Praxis viele nicht davon abhält, es trotzdem mit plausibel klingenden Eigenkreationen zu versuchen. Falls die Mitspielenden sich nicht auf die eigenen Wortschöpfungen einlassen möchten, kann das allerdings schnell zu den bereits angesprochenen Problemen führen.

Zurück zur Kombinatorik: Der Einfachheit halber betrachten wir zunächst nur drei (unterschiedliche) Buchstaben, für die es überschaubare 3! = 6 mögliche Anordnungen gibt. Falls wir beispielsweise O, R und T gezogen haben, könnten wir damit die drei Begriffe ORT, ROT oder TOR bilden, während die drei restlichen Zeichenfolgen OTR, RTO und TRO sowohl in der deutsch-, als auch in der englischsprachigen Version unzulässig sind. In diesem Fall ist also immerhin die Hälfte der Anordnungen für uns interessant. Bei längeren Zeichenfolgen hingegen wird der Großteil davon unbrauchbar sein. Aus diesem Grund werden stattdessen oft kürzere Wörter mit einem Teil der Buchstaben gebildet. Uns stehen nämlich nicht nur alle Anordnungen der sieben Buchstaben zur Verfügung, sondern zusätzlich auch jene aller Teilmengen davon. Hierbei handelt es sich um sogenannte Variationen, da nicht notwendigerweise alle Objekte einer Menge ausgewählt werden. Dadurch tun sich wesentlich mehr Möglichkeiten auf, um Wörter auf das Spielbrett zu legen.

Um den Unterschied zwischen Permutationen und Variationen noch ein wenig mehr zu verdeutlichen, schauen wir uns noch ein Beispiel an: Eine tatsächliche Permutation des englischen Wortes permutation ist dementsprechend ein Wort mit den gleichen Buchstaben, aber in einer anderen Reihenfolge. Da das T doppelt vorkommt, müssen wir die Anzahl aller möglichen Anordnungen der elf Buchstaben zwar erst noch durch zwei teilen, aber wir kommen insgesamt auf immer noch beachtliche 11! : 2! = 19 958 400. Das mag vielversprechend wirken, doch der Schein trügt, da lediglich eine weitere davon ebenfalls ein sinnvolles Wort ergibt, und zwar importunate. Dieser Begriff bedeutet übersetzt so viel wie hartnäckig und das müssen wir auch sein, falls wir stattdessen die Variationen betrachten. Hier scheint der Grundsatz "weniger ist mehr" zu gelten, denn immerhin gibt es noch fast neunhundert weitere Wörter, die wir laut dem offiziellen Scrabble-Wörterbuch der englischsprachigen Originalversion* mit Teilmengen der Buchstaben bilden können.

Johannes C. Huber (aka Banjo E. Hunchers, Be Harsh Once jun. oder Jane Brunch-Hose)

Quellen:

• PlayScrabble
• Scrabble Word Finder
• WordTips
• WordUnscrambler

* Hinweis: In diesem Fall zählen Wörter mit nur einem Buchstaben nicht.

• zehn Buchstaben (2): portamenti, reputation

• neun Buchstaben (5): important, importune, protamine, antitumor, tentorium

• acht Buchstaben (21): apterium, impotent, orpiment, protamin, ptomaine, amoretti, atropine, eruption, inputter, intermat, martinet, mutation, outpaint, patentor, printout, routeman, ruminate, tautomer, trapunto, triptane, tentoria

• sieben Buchstaben (95): amniote, antipot, atropin, automen, autopen, emporia, enamour, imputer, intreat, iterant, maintop, manitou, manrope, meropia, minaret, minuter, moraine, mounter, muriate, mutator, natrium, nattier, neuroma, nitrate, nutmeat, nuttier, omitter, operant, opuntia, outearn, outrate, painter, pantoum, partite, patient, patriot, pattern, permian, pertain, petunia, pimento, pinetum, pointer, portent, pottier, poutier, poutine, primate, promine, pronate, protean, protein, protium, ptomain, puritan, putamen, puttier, raiment, rainout, rampion, remount, repaint, repoint, reptant, romaine, romaunt, routine,ruinate, tampion, tantrum, tapetum, taunter, taurine,  tempura, tertian, timeout,  timpano, tinamou, tomenta, tonearm, torment, trimpot,  tripman, tripmen,  triptan,  tritoma, tritone, tropine, trumpet, umptier, unmiter, unmitre, uranite, urinate, utopian

• sechs Buchstaben (166): airmen, amount, anomie, antrum, armpit, aroint, arpent, atoner, atrium, attire, attorn, attune, auntie, enamor, enrapt, entrap, etamin, imaret, impart, impone, import, impure, impute, inmate, inpour, intort, iterum, manito, manitu, manure, marine, marten, martin, matier, matron, matter, mattin, mature, mentor, merino, minter, minuet, minute, mitten, moaner, mopier, murein, murine, mutant, mutate, mutine, mutter, mutton, natter, nature, norite, notate, nutate, nutria, nutter, oatier, omenta, omerta, opiate, optima, optime, orient, ornate, orpine, outate, outeat, outman, outran, panier, pantie, parent, parton, patent, patine, patron, patten, patter, pattie, peanut, permit, pernio, pineta, pirate, pitman, pitmen, pneuma, pointe, potent, potman, potmen, potter, pouter, pratie, preman, protea, protei, prutot, pterin, punier, punter, purine, putter, puttie, rapine, ratine, ration, ratite, ratten, ratton, remain, remint, retain, retina, retint, rotate, rotten, roupet, rumina, rumpot, tamein, tamper, tampon, tarpon, tauten, tauter, teapot, tenour, tenuti, tenuto, teopan, tinpot, tinter, tiptoe, titman, titmen, tonier, torten, toupie, touter, trepan, triton, triune, trompe, tropin, troupe, truant, turion, turnip, umpire, uniter, unripe, unrope, untame, untrim, uprate, uptear, uptime, uptore, uptorn, uremia, utopia

• fünf Buchstaben (198): aimer, ament, amine, amino, amnio, amort, amour, amrit, anime, antre, aport, apron, apter, armet, arpen, atone, atrip, aurei, enorm, entia, erupt, impro, inapt, inarm, inept, inert, input, inter, intro, inure, irate, irone, manor, mater, matin, matte, meant, menta, mento, merit, metro, miaou, minae, miner, minor, miter, mitre, moira, moire, monie, monte, moper, morae, motet, motte, mount, mourn, muter, muton, nairu, namer, netop, niter, nitre, nitro, noria, noter, notum, oaten, oater, onium, opera, opine, opium, orate, orpin, ottar, otter, ourie, outer, outre, outta, paeon, paint, panto, paren, pareo, pareu, paten, pater, patin, patio, peart, petit, petti, petto, piano, pieta, pinot, pinta, pinto, piton, pitot, pitta, point, porin, prate, prima, prime, primo, print, prion, proem, prone, prune, pruta, punto, purin, puton, putti, putto, ramen, ramet, ramie, ramin, ratio, reman, remap, remit, repin, repot, retia, riant, ripen, roman, rotte, rouen, route, rumen, rutin, taint, tamer, tanto, taper, tapir, tarot, tater, taunt, tauon, taupe, tempi, tempo, tempt, tenia, tenor, terai, tetra, tetri, timer, tinea, titan, titer, titre, toman, toner, toper, torta, torte, totem, toter, train, trait, tramp, trapt, treat, trine, tripe, trite, tromp, trona, trone, trope, trout, trump, tumor, tuner, tutor, unapt, unarm, unite, unmet, unrip, untie, uraei, urate, urine, uteri,  utter

• vier Buchstaben (232): aeon, aero, airn, airt, amen, amie, amin, amir, ante, anti, aper, arum, atom, atop, aunt, auto, earn, emir, emit, etna, etui, euro, inro, into, iota, iron, item, main, mair, mane, mano, mare, mart, mate, matt, maun, maut, mean, meat, meno, menu, meou, meta, mien, mina, mine, mint, mire, mite, mitt, moan, moat, mope, mora, more, morn, mort, mote, mott, moue, muni, muon, mura, mure, mute, mutt, name, naoi, nape, neap, near, neat, nema, nett, neum, nipa, nite, noir, noma, nome, nope, nori, norm, nota, note, omen, omer, omit, open, outa, pain, pair, pane, pant, pare, part, pate, pean, pear, peat, pein, pent, peon, peri, perm, pert, pian, pier, pima, pina, pine, pint, pion, pirn, pita, poem, poet, pome, pone, pore, porn, port, pour, pout, pram, prao, prat, prau, prim, proa, prom, ptui, puma, puna, punt, pure, puri, putt, rain, rami, ramp, rani, rant, rape, rapt, rate, rato, ream, reap, rein, reno, rent, repo, rime, riot, ripe, rite, roam, roan, romp, rope, rota, rote, roti, roue, roup, rout, ruin, rump, rune, runt, tain, tame, tamp, tape, tare, tarn, taro, tarp, tart, tate, taut, team, tear, teat, tein, temp, tent, tepa, term, tern, tian, tier, time, tine, tint, tire, tiro, toea, toit, tome, tone, tope, topi, tora, tore, tori, torn, tort, tote, tour, tout, tram, trap, trem, tret, trim, trio, trip, trop, trot, trou, true, tump, tuna, tune, turn, unai, unit, unto, upon, urea

• drei Buchstaben (140): aim, ain, air, ait, ami, amp, amu, ane, ani, ant, ape, apo, apt, are, arm, art, ate, att, eat, eat, eau, emo, emu, eon, era, ern, eta, imp, ion, ire, mae, man, map, mar, mat, men, met, mir, moa, moi, mon, mop, mor, mot, mun, mut, nae, nam, nap, net, nim, nip, nit, nom, morm not, nut, oar, oat, oma, one, opa, ope, opt, ora, ore, ort, our, out, pam, pan, par, pat, pea, pen, per, pet, pia, pie, pin, pit, piu, poi, pot, pro, pun, pur, put, rai, ram, ran, rap, rat, rei, rem, rep, ret, ria, rim, rin, rip, roe, rom, rot, rue, rum, run, rut, tae, tam, tan, tao, tap, tar, tat, tau, tea, ten, tet, tie, tin, tip, toe, tom, ton, top, tor, tot, tui, tum, tun, tup, tut, ump, uni, upo, urn, urp, uta, ute

• zwei Buchstaben (40): am, em, ma, me, mi, mo, mu, om, op, pa, pe, pi, po, um, up, ae, ai, an, ar, at, en, er, et, in, it, na, ne, no, nu, oe, oi, on, or, re, ta, te, ti, to, un, ut 

Fruchtig, frisch, fragwürdig?

Thema: Orangensaft und Konsument:innenbildung

Ich habe im GWB-Unterricht für meine zweite Klasse vor Kurzem mit dem Thema (globale) Lieferketten begonnen. In diesem Zusammenhang haben wir uns mit der Reise von Orangen beschäftigt. Meine Kollegin, die mich in diesem Schuljahr als Assistenzlehrerin unterstützt, hat mich motiviert, eine Stunde dafür zu nutzen, die Kinder verschiedene Säfte probieren zu lassen - inklusive einem selbst gepressten versteht sich. In der Stunde davor haben wir uns noch gemeinsam überlegt, welche Aspekte in die Kaufentscheidung miteinfließen können und die Kinder haben unter anderem folgende Kriterien genannt:

• guter Geschmack
• praktische Verpackung
• lange Haltbarkeit
• ansprechendes Design
• günstiger Preis
• große Menge 
• keine künstlichen Zusatzstoffe
• fairer Handel
• biologischer Anbau
• keine Kinderarbeit
• hoher Fruchtanteil
• Recyclebarkeit 

Die Liste ließe sich noch weiter fortsetzen, aber abgesehen davon wollten wir auch darauf aufmerksam machen, mit welchen Tricks die Werbung arbeitet, wie die Orangenernte tatsächlich vonstatten geht, wie viele Stationen ein Orangensaft auf dem Weg bis zu uns besucht und welche Unterschiede man sogar sehen, riechen und schmecken kann. Im Zuge der empirischen Erprobung hat sich dann außerdem herausgestellt, welche Kinder schon einmal beim Frühstück machen geholfen und welche vermutlich höchstens zugeschaut haben. Entgegen meiner Erwartung hielt sich der Reinigungsaufwand in Grenzen (abgesehen von einer Orangensaftlacke, die auf meinen eigenen Mist gewachsen ist, als ich eine nicht sachgemäß geschlossene Packung vor dem Einschenken noch einmal schütteln wollte). 

Man beachte die Farbuntschiede von Orangensaftgetränk bis selbst gepresst. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

In der Unterrichtsstunde haben wir insgesamt vier Säfte verkostet. Die Säfte weisen mitunter einen merkbaren Farbunterschied auf und der Konsens war, dass der frisch gepresste Saft mit Abstand am besten ankommt. Für diesen Beitrag habe ich anschließend noch zwei weitere ergänzt, die beim ersten Einkauf budgetär nicht drin waren und zwar allesamt von Spar (keine Werbeeinschaltung):

• Spar Sunny Orange (25 % Fruchtanteil und 1,79 € pro Liter)
• S Budget Orangen Nektar (mind. 50 % Fruchtanteil und 1,33 € pro Liter)
• Spar 100 % Orange (100 % Fruchtanteil und 2,49 € pro Liter)
• Spar 100 % Orange Fairtrade (100 % Fruchtanteil und 2,79 € pro Liter)
• Spar Natur pur Bio-Orange (100 % Fruchtanteil und 2,99 € pro Liter) 
• selbst gepresst (100 % Fruchtanteil und umgerechnet 3,69 € pro Liter*) 

Insbesondere der preisliche Unterschied schien bei einigen Erstaunen hervorzurufen, doch wer echte Früchte will, muss auch saftige Preise in Kauf nehmen. Die Schätzungen der Klasse lagen recht nahe bei dem Betrag, den wir uns für den selbst gepressten ausgerechnet haben, wobei hier nur der Materialeinsatz und nicht die Arbeitszeit berücksichtigt wurde. Ein paar Kinder haben auch berichtet, dass sie sich schon einmal einen frisch gepressten gekauft haben, der direkt im Supermarkt von einem Automaten gewonnen wird und scheinbar noch teurer ist. Hier dürfte die relativ kleine Füllmenge (vermutlich Viertelliterflaschen) noch einmal zusätzlich den Preis nach oben drücken.

Den meisten Kindern war allerdings nicht klar, dass auch in vermeintlich natürlichen Produkten wie Orangensaft dennoch viele Inhaltsstoffe vorkommen können, die künstlich zugesetzt werden. Glücklicherweise konnte meine Kollegin als Chemikerin hier viele Dinge ergänzen und mit Fehlvorstellungen aufräumen. Stunden wie diese führen zwar womöglich nicht unbedingt zu vielen Hefteinträgen, aber sie bleiben den Lernenden dafür umso länger in Erinnerung und fördern (hoffentlich) die Bereitschaft, Dinge kritisch zu hinterfragen.

Johannes C. Huber (trinkt deshalb seit Tagen nur noch Orangensaft)

* Ich habe zu Hause noch einmal ein 2 kg-Netz Orangen gepresst und daraus ziemlich genau einen Liter Saft erhalten. 

Der letzte macht das Licht aus.

Thema: Lichtschalter und Parität 

Aus gegebenem Anlass habe ich eine kurze mathematische Gruselgeschichte geschrieben:

An einem ohnehin schon langen Arbeitstag, der wieder einmal in ein paar Überstunden gegipfelt hat, erhebe ich mich von meinen Schreibtisch, um mir einen weiteren Kaffee zu holen und außerdem ein wenig die Beine zu vertreten. Dabei werfe ich einen Blick aus dem Fenster und stelle erfreut fest, dass im Büro gegenüber ebenfalls noch das Licht brennt. Geteiltes Leid ist halbes Leid." denke ich mir und wundere mich dennoch, wer sich außer mir um diese Uhrzeit noch im Gebäude befinden könnte. Also spaziere ich in der Hoffnung auf einen kurzen Plausch zum anderen Ende unseres Stockwerks und öffne neugierig die Tür, doch es ist niemand zu sehen. Bevor ich den Raum enttäuscht und leicht verärgert wieder verlasse, drücke ich einen der drei Schalter nach unten, um das Licht abzudrehen. 

Gesagt, getan. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Als ich kurz darauf wieder in mein eigenes Büro zurückkehre, um weiterzumachen, bemerke ich, wie das Licht dort auf einmal wieder angeht. Verwirrt mache ich mich noch einmal auf den Weg, nur um erneut festzustellen, dass sich niemand im Raum befindet. Allerdings sind nun alle drei Lichtschalter nach unten gedrückt. Es kann sein, dass ich überarbeitet bin, aber nichtsdestotrotz macht sich ein ungutes Gefühl in mir breit. Ich weiß nicht, woran genau es liegt, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass hier etwas nicht mit rechten Dingen zugeht. Vielleicht bin ich auch einfach nur überarbeitet, aber ich beschließe es nicht darauf ankommen zu lassen. Ohne einen Gedanken daran zu verschwenden, mir meine Sachen zu holen, verlasse ich fluchtartig das Gebäude..

Was hat unserem Ich-Erzähler einen derartigen Schrecken eingejagt? Unter diesen Umständen können unmöglich alle drei Schalter nach unten gedrückt sein, weil die Ausgangslage bzw. die Anzahl der Schalter diese Konfiguration nicht zulässt. Wenn das Licht eingeschaltet ist, gibt es unter diesen Umständen nur zwei Möglichkeiten: Entweder kein Schalter ist nach unten gedrückt oder genau zwei. Das hängt mit der sogenannten Parität zusammen. In anderen Worten: Ob die Anzahl der Schalter gerade oder ungerade ist. Hierbei handelt es sich im Grunde um nichts anderes als das Rätsel mit den Trinkgefäßen (Gläser, Becher, Tassen, etc.), die am Ende alle in derselben Orientierung (wahlweise mit der Öffnung nach oben oder unten) auf dem Tisch stehen sollen. Dabei müssen in jedem Zug genau zwei Gefäße umgedreht werden. Im Falle der Lichtschalter wird also das Licht einmal aus- und wieder eingeschaltet. 

Johannes C. Huber (kommt spätnachts auf eigenartige Ideen, wenn er das Licht ein- und ausschaltet)

Mathemagische Kartentricks Teil 6

Thema: Kartentricks und Verkettung von Funktionen

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Wir gehen mit einem Kartenstapel durch das Publikum und lassen mehrere Personen jeweils eine Karte ziehen. Charles P. Geer empfiehlt zwar, den Trick mit einem Deck übergroßer Karten aus dem Fachhandel vorzuführen, aber eines in regulärer Größe genügt vollkommen. Da es 52 Karten beinhaltet, sollten außerdem alle Lernenden in einer Schulklasse problemlos mitmachen können. Sobald alle Teilnehmenden eine Karte gezogen haben, bekommen sie folgende Instruktionen: Der Wert ihrer Karte (Ass entspricht dabei der Zahl 1, Bube 11, Dame 12 und König 13) wird verdoppelt, danach wird drei addiert und das Ergebnis verfünffacht. Zum Schluss wird abhängig von der Farbe der Karte noch eine Zahl addiert. Beispielsweise im Falle von Pik eins, bei Herz zwei, bei Kreuz drei und bei Karo vier. Nun kann jemand aus dem Publikum das eigene Ergebnis verkünden und wir wissen sofort, welche Karte jeweils gezogen wurde. Wir können für jeden Rechenschritt eine Funktion aufstellen, um uns ein besseres Bild davon machen, was passiert:

• a(k) = 2k (Verdopplung des Rangs)
• b(k) = k + 3 (Addition der Zahl drei)
• c(k) = 5k (Verfünffachung des Zwischenergebnisses)
• d(k) = k + n (Addition der Kennzahl der jeweiligen Spielfarbe)

Wenn wir diese anschließend miteinander verketten, erhalten wir folgenden Term:

(d ○ c ○ b ○ a)(k) = d(c(b(a(k)))) = 5(2k+3)+n = 10k+15+n

Wir müssen also lediglich im Kopf fünfzehn vom Endergebnis abziehen, um herauszufinden, welche Karte es ist. Die Hunderter- und Zehnerstellen verraten uns dabei den Rang und die Einerstelle die Spielfarbe der Karte, wobei diese natürlich davon abhängt, welche der Zahlen von eins bis vier wir welcher Farbe zuordnen. Wir können die Codierung offensichtlicher machen, indem wir den letzten Schritt, d. h. die Subtraktion der Zahl fünfzehn in die Arbeitsanweisungen miteinbeziehen.

Um das Durchschauen des Tricks entweder zu vereinfachen oder zu erschweren, können generell die verschiedenen Parameter der Formel entsprechend verändert oder auch neue hinzugefügt werden. Kien H. Lim merkt an, dass Lernende in der Regel größere Schwierigkeiten mit der Verkettung von Funktionen haben, weshalb stattdessen die Operationen der Arbeitsschritte miteinander kombiniert werden können, um den gewünschten Term zu erhalten. Statt der Variable für die Kennzahl der Spielfarbe kann zwecks Übersicht auch das jeweilige Symbol verwendet werden. Falls die Lernenden mit Computern arbeiten, sollten sie dazu angehalten werden, die Ergebnisse für alle 52 Karten des Decks mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms durchzuspielen, um das Muster zu erkennen. Im Anschluss können sie sich auch überlegen, welche Parameter problemlos geändert werden könnten und nach Möglichkeit auch Ideen für eigene Tricks umsetzen. In der folgenden Abbildung sind alle 52 Ergebnisse für die oben beschriebene Zuteilung der Kennzahlen aufgelistet:

Die Kennzahlen der vier Spielfarben können auch geändert werden. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Der ehemalige AHS-Lehrer Dieter Kadan stellt eine einfachere Variante vor, bei der die Spielfarbe  gänzlich irrelevant ist: Wir verdoppeln den Rang der Karte, addieren dann die Zahl zwei, multiplizieren das Ergebnis mit fünf und subtrahieren schließlich die Zahl sieben, was einfach nur dem folgenden Term entspricht: 5(2k + 2) - 9 = 10k + 1. Der Rang der ursprünglichen Karte steht dabei auf der Zehner- sowie gegebenenfalls auch der Hunderterstelle. Nun bitten wir unser Gegenüber, uns das Ergebnis zu nennen, woraufhin wir den Rang der gesuchten Karte nennen und außerdem ein Ass zücken, das wir daneben legen, um das Ergebnis zu veranschaulichen.

Johannes C. Huber (empfiehlt, diesen Trick gleich mit einer ganzen Schulklasse auszuprobieren)

Quellen:

• Geer C. P. (1992): Exploring patterns, relations, and functions; In: The Arithmetic Teacher, 39:9 (Mai, 1992), 19-21. 
• Kadan D. (2017): Zauberhafte Mathematik - Mathematische Zaubereien 2. ÖMG, 50, 43–53.
• Lim K. H. (2019): Using math magic to reinforce algebraic concepts: an exploratory study; In: International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 50:5, 747-765.

Mathemagische Kartentricks Teil 5

Thema: Kartentricks und Differenzen

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Eddie Woo hat in der Pandemiezeit einen Kartentrick vorgestellt, der ein paar Jahre zuvor von James Grime entwickelt wurde. Da er keinen Namen hat, bezeichne ich ihn hier als "Wir haben unsere Differenzen". Wir benötigen dafür im Grunde nur die Karten Ass bis Zehn einer Spielfarbe, wobei das Ass in diesem Fall den Rang eins hat. Zusätzlich dazu verwenden wir noch die Karten von Ass bis Neun der beiden komplementären anderen Spielfarben, um später die namengebenden Differenzen zwischen gegenüberliegenden Karten zu markieren. 

Zunächst legen wir jene Karten beiseite, die für die Markierung der Differenzen gedacht sind und mischen anschließend die zehn Karten. Im nächsten Schritt verteilen wir diese auf eine beliebige Art und Weise auf uns und unser Gegenüber. Wichtig ist dabei nur, dass beide jeweils die Hälfte der Karten bekommen. Falls sie verdeckt ausgeteilt oder gezogen wurden, drehen wir sie nun um und legen sie anschließend in von links nach rechts aufsteigender Reihenfolge vor uns auf. Das hat zu Folge, dass unsere niedrigste Karte gegenüber von der höchsten unseres Gegenübers liegt und umgekehrt. 

Anschließend bilden wir jeweils die absolute Differenz zweier gegenüberliegender Karten und legen dafür die entsprechende Karte der anderen Spielfarbe zwischen die beiden gegenüberliegenden, um diese zu veranschaulichen. Zum Schluss fordern wir unser Gegenüber auf, diese fünf Differenzen zu addieren. Währenddessen offenbaren wir unsere Vorhersage, auf der ebenfalls die Zahl 25 steht. In diesem Fall könnten wir den Vorhersagetrick als Gedankenlesetrick durchführen, indem wir uns die ganze Zeit wegdrehen und unser Gegenüber die Karten auflegen lassen. Zusätzlich dazu können wir das Ganze in beiden Fällen auch als Wette verpacken.

Hier ein Beispiel: Wir verwenden die Karten Ass bis Zehn der Spielfarbe Pik für die Verteilung und Ass bis Neun der Spielfarben Herz und Karo für die Veranschaulichung der Differenzen. Eine mögliche Verteilung der Karten könnte dann wie folgt sein: Auf unserer liegen Ass, Vier, Fünf, Sieben und Neun, während auf der gegenüberliegenden Seite Zwei, Drei, Sechs, Acht und Zehn liegen. Dabei liegt das Ass also gegenüber vom Zehner, der Vierer gegenüber vom Achter und so weiter (siehe Abbildung). Woo arbeitet bei der Erläuterung des Tricks mit einem Lageplan, auf dem er Pfeile für die Reihenfolgen einzeichnet, in der die Karten aufgelegt werden sollen, damit es hier keine Unklarheiten gibt.

Beispiel mit zehn Karten (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Es spielt keine Rolle, wie die Karten aufgeteilt werden, denn die Summe der Differenzen D ist in jedem Fall 25. Das liegt daran, dass für jeden Unterschied jeweils einer der fünf niedrigen (Ass bis Fünf) von einem der fünf hohen Ränge (Sechs bis Zehn) abgezogen wird. Um das zu zeigen, arbeiten wir mit der Gaußschen Summenformel und überlegen uns Folgendes: Zuerst berechnen wir die Summe aller zehn Ränge und ziehen dann die Summe der fünf niedrigen ab, um jene der fünf hohen zu erhalten. Anschließend müssen wir erneut die Summe der fünf niedrigen abziehen, um schließlich die gewünschte Summe der Differenzen zu erhalten. Zusammengefasst subtrahieren wir also zweimal die Summe der niedrigeren Ränge von der Gesamtsumme aller Ränge und kommen so auf folgende Formel:

Dabei fällt uns auf, dass es sich stets um eine Quadratzahl handelt, und zwar jene der Anzahl an Karten, die jede Seite bekommt. Für zehn Karten ist die Summe der Differenzen demnach stets (10 : 2)² = 5² = 25. Woo schlägt folgende vereinfachte Notation vor, bei der H für einen der fünf hohen und N für einen der fünf niedrigen Ränge steht, um die Funktionsweise plausibel zu machen: (H - N) + (H - N) + (H - N) + (H - N) + (H - N) = 5H - 5N = (10 + 9 + 8 + 7 + 6) - (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 40 - 15 = 25. Die Lernenden müssen dafür lediglich wissen, wie das Assoziativitätsgesetz funktioniert.

Eine weitere Möglichkeit zur Unterstützung der Lernenden ist der Hinweis, dass die Summe aller Karten gleich 55 ist. Falls man diesen Umstand nicht gleich verraten möchte, können sie zumindest aufgefordert werden, die Summe der Kartenwerte zu bilden, um ein Muster zu erkennen. Dazu können unter anderem folgende Impulsfragen gestellt werden:

• Wie groß ist der Unterschied zwischen den beiden mittleren Karten höchstens?
  A: Die maximale Differenz zwischen den mittleren Karten ist 8 - 3 = 5.
• Findest du eine Verteilung, bei der die paarweise Summe gegenüberliegender Karten stets elf ist?
  A: Eine Möglichkeit wäre: 1 + 10, 2 + 9, 3 + 8, 4 + 7 und 5 + 6.
• Findest du eine Verteilung, bei der keine der paarweisen Differenzen gegenüberliegender Karten gleich ist?
  A: Eine Möglichkeit wäre: 10 - 2, 9 - 3, 8 - 4, 7 - 5 und 6 - 1.
• Würde der Trick auch mit weniger als zehn Karten funktionieren?
  A: Ja, aber die Anzahl der Karten muss gerade sein. Bei zwei Karten gibt es genau eine Möglichkeit für die Verteilung der Karten (unabhängig davon, welche Seite welche Karte bekommt) und die Differenz ist stets 1. Bei vier Karten ist die Differenz stets 4, bei sechs Karten 9 und bei acht Karten 16. Im Zuge dessen dürfte uns auffallen, dass es sich dabei um die Quadratzahlen handelt.
• Wären auch mehr als zehn Karten möglich?
  A: Ja, es wären auch zwölf Karten möglich, wenn wir einen Buben und eine Dame mit den Rängen elf und zwölf hinzufügen. Die Summe der Differenzen ergibt dann stets 36. Falls wir auch den König mit Rang dreizehn einen Joker mit Rang null oder vierzehn hinzufügen, wären sogar vierzehn Karten möglich und die Summe der Differenzen stets 49.

Falls wir eine andere feste, aber beliebige Schrittlänge wählen, indem wir sie entsprechend skalieren, überträgt sich diese Veränderung auch auf die Summe der Differenzen. Hier ein Beispiel: Falls der Abstand zwei ist, d. h. statt der Reihenfolge A-2-3-4-5-6-7-8-9-10 könnten wir die Reihenfolge 2-4-6-8-10-D-A-3-5-7 festlegen, wobei wir eine Überschreitung von K = 13 machen müssen, um die Zahlen 14, 16, 18 und 20 auszudrücken. In diesem Fall ist die Summe der Differenzen doppelt so groß, d. h. gleich 50. Eine Verschiebung ist ebenso möglich, insofern die Schrittlänge gleich bleibt, d. h. wir könnten theoretisch auch gewisse Kartenwerte als negative Zahlen verwenden. 

Diese Überlegung lässt sich u. a. auch auf Quartettspiele übertragen. Angenommen wir teilen die 32 Karten eines Trumpf-Spiels aus, wählen dann eine bestimmte Kategorie (z. B. Hubraum in ccm, Länge in m, Leistung in PS, Drehzahl in U/min oder Gewicht in kg bei Traktoren) und legen dann alle Karten in der gleichen Sortierung auf, sodass immer zwei Karten gegenüber sind. In diesem Fall wird die Summe der Differenzen ebenfalls gleich sein (auch wenn sie uns nichts darüber sagt, welche Seite im jeweiligen Fall die besseren Karten hat), weil quasi alle Karten gleichzeitig gespielt werden, sodass die höchste der einen Seite gegen die niedrigste der anderen antritt und umgekehrt immer so weiter.

Johannes C. Huber (erwartet sich von dieser Erkenntnis keinen strategischen Vorteil bei Quartettspielen)