Thema: Kartentricks und Verkettung von Funktionen
Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathemagischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.
Wir gehen mit einem Kartenstapel durch das Publikum und lassen mehrere Personen jeweils eine Karte ziehen. Charles P. Geer empfiehlt zwar, den Trick mit einem Deck übergroßer Karten aus dem Fachhandel vorzuführen, aber eines in regulärer Größe genügt vollkommen. Da es 52 Karten beinhaltet, sollten außerdem alle Lernenden in einer Schulklasse problemlos mitmachen können. Sobald alle Teilnehmenden eine Karte gezogen haben, bekommen sie folgende Instruktionen: Der Wert ihrer Karte (Ass entspricht dabei der Zahl 1, Bube 11, Dame 12 und König 13) wird verdoppelt, danach wird drei addiert und das Ergebnis verfünffacht. Zum Schluss wird abhängig von der Farbe der Karte noch eine Zahl addiert. Beispielsweise im Falle von Pik eins, bei Herz zwei, bei Kreuz drei und bei Karo vier. Nun kann jemand aus dem Publikum das eigene Ergebnis verkünden und wir wissen sofort, welche Karte jeweils gezogen wurde. Wir können für jeden Rechenschritt eine Funktion aufstellen, um uns ein besseres Bild davon machen, was passiert:
- a(k) = 2k (Verdopplung des Rangs)
- b(k) = k + 3 (Addition der Zahl drei)
- c(k) = 5k (Verfünffachung des Zwischenergebnisses)
- d(k) = k + n (Addition der Kennzahl der jeweiligen Spielfarbe)
Wenn wir diese anschließend miteinander verketten, erhalten wir folgenden Term:
(d ○ c ○ b ○ a)(k) = d(c(b(a(k)))) = 5(2k+3)+n = 10k+15+n
Wir müssen also lediglich im Kopf fünfzehn vom Endergebnis abziehen, um herauszufinden, welche Karte es ist. Die Hunderter- und Zehnerstellen verraten uns dabei den Rang und die Einerstelle die Spielfarbe der Karte, wobei diese natürlich davon abhängt, welche der Zahlen von eins bis vier wir welcher Farbe zuordnen. Wir können die Codierung offensichtlicher machen, indem wir den letzten Schritt, d. h. die Subtraktion der Zahl fünfzehn in die Arbeitsanweisungen miteinbeziehen.
Um das Durchschauen des Tricks entweder zu vereinfachen oder zu erschweren, können generell die verschiedenen Parameter der Formel entsprechend verändert oder auch neue hinzugefügt werden. Kien H. Lim merkt an, dass Lernende in der Regel größere Schwierigkeiten mit der Verkettung von Funktionen haben, weshalb stattdessen die Operationen der Arbeitsschritte miteinander kombiniert werden können, um den gewünschten Term zu erhalten. Statt der Variable für die Kennzahl der Spielfarbe kann zwecks Übersicht auch das jeweilige Symbol verwendet werden. Falls die Lernenden mit Computern arbeiten, sollten sie dazu angehalten werden, die Ergebnisse für alle 52 Karten des Decks mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms durchzuspielen, um das Muster zu erkennen. Im Anschluss können sie sich auch überlegen, welche Parameter problemlos geändert werden könnten und nach Möglichkeit auch Ideen für eigene Tricks umsetzen. In der folgenden Abbildung sind alle 52 Ergebnisse für die oben beschriebene Zuteilung der Kennzahlen aufgelistet:
Die Kennzahlen der vier Spielfarben können auch geändert werden. (Bildquelle: Johannes C. Huber)
Der ehemalige AHS-Lehrer Dieter Kadan stellt eine einfachere Variante vor, bei der die Spielfarbe gänzlich irrelevant ist: Wir verdoppeln den Rang der Karte, addieren dann die Zahl zwei, multiplizieren das Ergebnis mit fünf und subtrahieren schließlich die Zahl sieben, was einfach nur dem folgenden Term entspricht: 5(2k + 2) - 9 = 10k + 1. Der Rang der ursprünglichen Karte steht dabei auf der Zehner- sowie gegebenenfalls auch der Hunderterstelle. Nun bitten wir unser Gegenüber, uns das Ergebnis zu nennen, woraufhin wir den Rang der gesuchten Karte nennen und außerdem ein Ass zücken, das wir daneben legen, um das Ergebnis zu veranschaulichen.
Johannes C. Huber (empfiehlt, diesen Trick gleich mit einer ganzen Schulklasse auszuprobieren)
- Geer C. P. (1992): Exploring patterns, relations, and functions; In: The Arithmetic Teacher, 39:9 (Mai, 1992), 19-21.
- Kadan D. (2017): Zauberhafte Mathematik - Mathematische Zaubereien 2. ÖMG, 50, 43–53.
- Lim K. H. (2019): Using math magic to reinforce algebraic concepts: an exploratory study; In: International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 50:5, 747-765.