Thema: Geldstrafen und Logarithmen
Dieser Beitrag ist am 05.11.2024 auch im Standard erschienen.
Vor Kurzem wurde im Standard ein Artikel über die Höhe einer Entschädigungsauflage (in anderen Worten: Strafzahlung) berichtet, zu der Google von einem russischen Gericht verurteilt wurde. Dabei geht es um den atemberaubenden Betrag von umgerechnet ungefähr 20 Quintilliarden US-Dollar, welcher die gesamte auf der Welt verfügbare Geldmenge bei Weitem übersteigt.
Die Geldstrafe betrug ursprünglich 100 000 Rubel, was laut Artikel gerundet in etwa 1 025 US-Dollar entspricht. Mithilfe einer einfachen Schlussrechnung können wir folgern, dass ein Rubel somit 0,01025 US-Dollar wert sein müsste. Dieser Betrag stimmt tatsächlich recht genau mit dem aktuellen Wechselkurs (Stand: 31.10.2024) von 0,01027 US-Dollar überein.
Das signierte Andenken eines Couchsurfers, der vor ein paar Jahren bei unserem Autor zu Gast war, ist derzeit ungefähr einen US-Dollar wert. (Bildquelle: Johannes C. Huber)
Allerdings gilt der Zusatz, dass diese nach jeder Woche verdoppelt wird, und zwar grundsätzlich unbegrenzt. Doch wie viele Wochen sind seit der Ankündigung der Strafe bereits vergangen, um auf einen dermaßen abgehobenen Betrag zu kommen? Um das auszurechnen, basteln wir uns nun eine passende Formel. Um den Geldbetrag in US-Dollar einmal zu verdoppeln, multiplizieren wir ihn mit der Zahl zwei. Nach einer Woche, hat sich die Strafe also beispielsweise bereits auf 1 025 · 2 = 2 050 verdoppelt. Nach zwei Wochen auf 1 025 · 2 · 2 = 2 050 · 2 = 4 100 und so weiter.
Diese Überlegung können wir für jede weitere Woche fortsetzen, aber anstatt eine immer länger werdende Kette von Multiplikationen mit Zweiern aufzuschreiben, nutzen wir die Potenzschreibweise. Da wir es mit einer kontinuierlichen Verdopplung zu tun haben, wählen wir als Basis die Zahl zwei und als Exponent schreiben wir einen Platzhalter n für die gewünschte Anzahl der Wochen: 1 025 · 2n. Falls wir beispielsweise wissen möchten, wie hoch die Strafe nach acht Wochen ist, ersetzen wir einfach die Variable n mit der Zahl acht und sehen, dass sich die Strafe bereits auf 1 025 · 28 = 1 025 · 256 = 262 400 erhöht hat.
Als Nächstes stellen wir eine Gleichung auf, die den aktuellen Sachverhalt darstellt. Wir wissen, dass die Höhe der Strafe mittlerweile etwa 20 Quintilliarden US-Dollar beträgt, also gilt:
1 025 · 2n = 20 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Wenn wir diese nach n auflösen, erhalten wir die Anzahl der Wochen, die vergangen sein müssten, um auf den aktuellen Betrag der Geldstrafe zu kommen. Dazu dividieren wir zunächst beide Seiten durch 1 025:
2n = 19 512 195 121 951 200 000 000 000 000 000
Im nächsten Schritt arbeiten wir mit Logarithmen. Aufgrund der Rechengesetze für Potenzen gilt:
ln(2) · n = ln(19 512 195 121 951 200 000 000 000 000 000)
Um nun die Zahl n auszurechnen, müssen wir lediglich beide Seiten durch den natürlichen Logarithmus der Zahl zwei dividieren. Ein handelsüblicher Taschenrechner wird damit aber aufgrund der schieren Größe der ursprünglichen Zahl auf der rechten Seite der Gleichung Probleme haben, weshalb wir uns mit Online-Tools wie beispielsweise Wolfram Alpha Abhilfe verschaffen können. Wir kommen so auf eine Näherungslösung von ungefähr 104 Wochen bzw. zwei Jahren**.
Johannes C. Huber (еще нужно попрактиковаться в кириллице)
* Wir könnten das Gleiche auch mit Rubel machen und würden so in weiterer Folge bei 100 000 · 2n = 1 951 219 512 195 120 000 000 000 000 000 000 000 landen. Das Resultat für n ändert sich dadurch jedenfalls nicht.
** Die neunmonatige Frist für die Erfüllung der Auflagen wurde hier nicht mit eingerechnet.