Samstag, 14. März 2026

Von der hohen Kunst im Kreis zu fahren

Thema: Mario Kart und Kreisteile

Ich arbeite in meinen Mathematikstunden gerne hin und wieder mit Inhalten aus der Welt der Videospiele. Um meinen Lernenden die Kreisbestandteile bei zusammengesetzten Flächen näherzubringen, haben wir uns unter anderem verschiedene Grundrisszeichungen angeschaut. Ein einfaches Beispiel dafür ist die Rennstrecke Baby Park aus der Spielreihe Mario Kart.

Verlauf der Rennstrecke in Mario Kart 8 (Bildquelle: Mario Kart Wiki)

Für meine Aufgabenstellung waren zumindest grobe Streckenmaße nötig. Selbstverständlich hätte ich mir einfach irgendetwas ausdenken können, aber ich konnte es wieder einmal nicht lassen und wollte es genau wissen. Da es im Internet unzählige Hintergrundinformationen über die Spielreihe gibt, bin ich davon überzeugt gewesen, dass sich auch etwas über die Länge der Rennstrecke herausfinden lässt. Also habe ich mich voller Zuversicht auf die Suche gemacht, aber nirgends in den diversen Wikis, Foren und Blogbeiträgen gab es auch nur ansatzweise Informationen über die im Spiel gefahrenen Distanzen. Ein berechtiger Einwand wäre freilich, dass es sich um ein Videospiel handelt, dessen Elemente ohnehin nicht allzu realistisch sind, aber das Programm müsste doch zumindest mit irgendeinem Referenzwert arbeiten, den ich für eine Berechnung verwenden kann.

Beim Vorgänger Mario Kart 64 gibt es nämlich durchaus Angaben zu den Längen der verschiedenen Strecken. Die längste davon ist Rainbow Road mit anscheinend genau zweitausend Metern. Um nun für den Baby Park eine halbwegs zuverlässige Schätzung machen zu können, habe ich mir zunächst einmal die Rekorde beim Zeitfahren auf den beiden Strecken angeschaut. Für drei Runden auf der Strecke Rainbow Road werden aktuell mindestens 4'51"87 ≙ 291,87 Sekunden (NTSC-Version) bzw. 5'50"95 ≙ 350,95 Sekunden (PAL-Version) benötigt. Um die Zeiten der NTSC- und der PAL-Version ineinander umzuwandeln wird der Änderungsfaktor 1,2024 verwendet, aber ich werde in weiterer Folge ohnehin beide Varianten bei der Berechnung berücksichtigen.

Es gibt zwar auch separat aufgelistete Rekordzeiten für einzelne Runden, aber da die dafür erforderliche Geschwindigkeit vermutlich nicht in allen Runden des Zeitfahrens beibehalten werden kann, ist es vermutlich besser, mit der durchschnittlichen Rundenzeit zu arbeiten. Diese beträgt demnach 97,29 bzw. ungefähr 116,98 Sekunden, woraus wir folgende Durchschnittsgeschwindigkeiten ableiten können:

2 000 m : 97,29 s ≈ 20,56 m/s (NTSC) bzw. 2 000 m : 116,98 s ≈ 17,01 m/s (PAL)

Die Strecke Baby Park wiederum kommt gleich mehreren Ablegern der Spielreihe vor und die entsprechenden Zeitrekorde lauten aktuell wie folgt:

  • Mario Kart Double Dash: 01' 02'' 358 ≙ 62,358 Sekunden
  • Mario Kart DS: 00' 42'' 320 ≙ 43,32 Sekunden
  • Mario Kart 8: 01' 02'' 403 ≙ 62,403 Sekunden
  • Mario Kart 8 Deluxe: 01' 01'' 836 ≙ 61,836 Sekunden
Wir müssen dabei berücksichtigen, dass im Spiel Mario Kart DS lediglich fünf statt der sonst üblichen sieben Runden gefahren werden müssen. Die durchschnittliche Rundenzeit beträgt quer durch alle Titel (62,358 + 43,32 + 62,403 + 61,836) : (7 + 5 + 7 + 7) = 228,917 : 26 = 8,8045 Sekunden, womit wir hoffentlich einen recht passablen Schätzwert für die gesuchte Streckenlänge erhalten:

20,56 m/s ⋅ 8,8045 s ≈ 181 m (NTSC) bzw. 17,01 m/s ⋅ 8,8045 s ≈ 150 m (PAL)

Die Strecke Baby Park dürfte also ungefähr zwischen 150 und 180 Meter lang sein. Ihr Verlauf setzt sich aus zwei geraden Abschnitten und zwei annähernd halbkreisförmigen Kurven zusammen:


Verlauf der Rennstrecke Baby Park aus Mario Kart DS (Bildquelle: Spriters Resource) 

Um anschließend zusätzlich zur Streckenlänge noch die Breite der Fahrbahn zu bestimmen, habe ich mit dem Bildbearbeitungsprogramm GIMP gearbeitet. Meine Vorgehensweise war im Grunde recht simpel: Ich habe zunächst einen Bildausschnitt mit der Länge der Fahrbahnbreit y markiert und mehrmals kopiert, um zu überprüfen, wie oft er auf die geraden Abschnitte passt. Sie hat dort in Summe etwas mehr als elfmal Platz. Wir gehen in weiterer Folge davon aus, dass die Streckenlängen in der Mitte der Fahrbahn gemessen werden. Die Radien der beiden Halbkreise, auf denen die Kurven liegen, haben die 1,2-fache Länge der Fahrbahnbreite, da ihre Mittelpunkte auf der Grünfläche im Inneren der Strecke liegen. Insgesamt kommen wir damit auf folgende Gesamtlängen:

181 m = (11,2 + 1,2π) ⋅ y m = 14,97y m ≈ 15y m → y ≈ 12 m (NTSC) 

150 m = (11,2 + 1,2π) ⋅ y m = 14,97y m ≈ 15y m → y ≈ 10 m (PAL)

Die Fahrbahn dürfte also zwischen zehn und zwölf Meter breit sein. Nun haben wir alles für die Angabe der eigentlichen Aufgabenstellung beisammen. Eine Schülerin hat gleich zu Beginn richtigerweise erkannt, dass nicht eindeutig ist, nach welcher Länge wir suchen, weil es ja einen Unterschied macht, ob wir innen oder außen unterwegs sind. Darauf wollte ich auch hinaus, also habe ich vorgeschlagen, dass die Kinder den Unterschied zwischen der inneren und äußeren Streckenlänge ermitteln sollen.

Der Unterschied zwischen den gefahrenen Distanzen auf einer solchen Strecke übersteigt übrigens niemals einen bestimmten Wert, bei dem wieder einmal unsere Kreiszahl Pi eine tragende Rolle spielt wie wir gleich sehen werden. Er ist tatsächlich nicht allzu groß, aber nichtsdestotrotz können wir uns einen Vorteil verschaffen, wenn wir stets auf der Innenseite unterwegs sind. Aus diesem Grund sind beispielsweise die Linien auf unterschiedlichen Bahnen bei Wettläufen um genau diesen Abstand versetzt:


Laufbahnen mit versetzten Startpositionen (Bildquelle: Freepik)

Doch wie viel Unterschied macht es nun genau? Die geraden Abschnitte sind innen und außen gleich lang, also ist es dort grundsätztlich egal, auf welcher Seite man fährt. Die kurvigen Abschnitte wiederum sind nichts anderes als Kreissektoren. Es gibt dort zwar Längenunterschiede, und zwar je nachdem, ob man innen oder außen fährt, aber diese heben sich großteils gegenseitig wieder auf, wenn die Kurven in unterschiedliche Richtungen gehen. Falls beispielsweise auf eine 90°-Kurve nach links eine 90°-Kurve nach rechts folgt, dann ist die gefahrene Distanz innen und außen am Ende wieder gleich lang.

Solange eine Fahrbahn sich nicht selbst kreuzt, überall gleich breit und flach sowie in sich geschlossen ist, können wir die orientierten Innenwinkel aller Kurven bzw. Kreissektoren zusammenzählen und werden feststellen, dass am Ende stets ein einziger voller Kreis übrig bleibt, dessen Umfang bekanntlich 2π mal seinem Radius entspricht. In diesem Fall ist dieser Radius einfach die Breite der Fahrbahn. Kurz gesagt: Rennstrecken, die dort enden, wo sie angefangen haben und sich nicht selbst schneiden sind also letztendlich nichts anderes als ein verformter Kreisverkehr. 

Johannes C. Huber (muss noch einen Kuchen für den Pi-Day mit seiner Klasse backen) 

Quellen:

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