Mathemagische Kartentricks Teil 8

Thema: Kartentricks und Parität

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Liljedahl nennt diesen Trick Piano Fingers, aber er ist allgemein schlicht als Piano-Trick bekannt, weil die Haltung der Finger beim Platzieren der Karten so aussieht, als ob jemand Klavier spielt. Er kann bereits mit Kindern im Volksschulalter durchgeführt werden. Zu Beginn bitten wir unser Gegenüber, beide Hände auszustrecken und dabei die Finger auseinander zu spreizen. Dann platzieren wir der Reihe nach Kartenpaare zwischen den Fingern. Es spielt dabei keine Rolle, ob wir mit der linken oder rechten Hand beginnen. Zwischen den letzten beiden Fingern wird nur eine einzelne Karte platziert:

Ausgangslage (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Im nächsten Schritt nehmen wir die Kartenpaare der Reihe nach wieder zwischen den Fingern heraus, trennen sie voneinander und bilden damit zwei gleich große Stapel bis schließlich die einzelne Karte übrig bleibt. Unser Gegenüber darf sich nun aussuchen, auf welchen der beiden Stapel diese verbleibende Karte gelegt werden soll. Dem Anschein nach sollte diese zusätzliche Karte dazu führen, dass die Anzahl der Karten im jeweiligen Stapel ungerade wird. Diese Vermutung lässt sich jedoch widerlegen, indem man zeigt, dass daraus vier Paare gebildet werden können, während das beim anderen Stapel nicht funktioniert.

Eine Portion gesundes Misstrauen ist angebracht, um die Funktionsweise des Tricks zu entlarven. Zunächst sollten wir ergründen, wie viele Karten insgesamt involviert sind. An jeder Hand befinden sich vier Zwischenräume. Dort platzieren wir siebenmal jeweils zwei Karten, aber im letzten nur eine und kommen somit auf 7 · 2 + 1 = 15. Wenn wir jene Karte abziehen, die am Ende dazugelegt wird, sind es vierzehn Karten aufgeteilt auf zwei gleich große Stapel mit jeweils sieben Karten. Die Gesamtanzahl der Karten ist also gerade, aber die Anzahl der Karten in den einzelnen Stapeln nicht.

Es macht folglich keinen Unterschied, auf welchen Stapel wir die verbleibende Karte legen, da die Anzahl der Karten dort dadurch automatisch gerade wird und wir behaupten nur fälschlicherweise, dass beide bereits zuvor eine gerade Anzahl an Karten enthalten. Der Trick gelingt uns nur, wenn das Publikum dieser Behauptung Glauben schenkt und dadurch einem Trugschluss unterliegt. Da der Trick auf der Parität der Kartenanzahl, d. h. ob diese gerade oder ungerade ist, basiert, wird er auf Englisch treffenderweise auch als the odd piano-duet bezeichnet. Wir könnten das in die deutsche Sprache als das eigenartige Piano-Duett übersetzen. Dieser Name wird zwar möglicherweise der dabei entstehenden Verwunderung gerecht, aber leider geht dabei auch ein Hinweis auf die Funktionsweise verloren.

Johannes C. Huber (musste beim Üben feststellen, dass die Durchführung alleine recht schwierig ist)

Quellen:

• Adrion A. (2016): Das verschwundene Kaninchen und andere mathematische Tricks; Dumont. Neuauflage der deutsche Übersetzung aus dem Jahr 1981 von Gardner M. (1956): Mathematics, Magic and Mystery; Dover. 

 

Mathemagische Kartentricks Teil 7

Thema: Kartentricks und Terme

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathematischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Liljedahl nennt diesen Trick Rearrange 10, während er bei Gardner als das vorhergesagte Umstecken übersetzt wird. Wir benötigen dafür zehn Karten von Ass bis Zehn, aber er kann auch mit einer größeren Anzahl durchgeführt werden. Die Spielfarbe der Karten ist zwar nebensächlich, aber es sieht unter Umständen schöner aus, wenn wir nur eine davon verwenden. Zu Beginn legen wir die Karten in aufsteigender Reihenfolge nebeneinander auf. Wir gehen in weiterer Folge davon aus, dass die Karte mit dem niedrigsten Rang (das Ass) aus der Sicht unseres Gegenübers links und jene mit dem höchsten Rang (der Zehner) rechts liegt. Aus unserer Sicht ist es also genau umgekehrt.

Die Karten werden zuerst nach Rang sortiert... (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Nachdem die Reihenfolge der Karten für alle Beteiligten klar ist, drehen wir sie um und schlagen eine Proberunde vor. Dazu wenden wir uns ab und fordern unser Gegenüber auf, eine beliebige Anzahl an Karten von der linken auf die rechte Seite bzw. von uns aus gesehen von der rechten auf die linke Seite zu schieben, ohne jedoch zu verraten, wie viele es waren.

...und anschließend umgedreht. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Sobald das geschehen ist, decken wir die (von uns aus gesehen) linke Karte auf und erklären stolz, dass dem Rang der aufgedeckten Karte entsprechend viele Karten bewegt wurden. In unserem Beispiel waren es beim ersten Durchgang zwei Karten:

Nach der ersten Verschiebung decken wir die linke Karte auf... (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Da diese Erkenntnis noch nicht allzu beeindruckend ist, drehen wir die Karte wieder um und starten sogleich einen neuen Durchgang. Nachdem ein weiteres Mal Karten bewegt wurden, decken wir zielsicher eine ganz bestimmte andere Karte auf, die uns sofort anzeigt, wie viele es diesmal gewesen sind. In unserem Beispiel wurden beim zweiten Mal vier Karten bewegt, weshalb wir diese Karte aufdecken:

...und nach der zweiten jene, die uns anzeigt, wie viele diesmal bewegt worden sind. (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Das Ganze lässt sich auch danach noch beliebig oft wiederholen, doch woher wissen wir überhaupt, welche Karte uns beim zweiten Mal die Anzahl verrät? Das Geheimnis liegt in der Durchführung des Probelaufs zu Beginn, da dieser nicht nur unser Gegenüber mit dem Ablauf vertraut macht, sondern auch das Gelingen des Tricks ermöglicht. Es ist nämlich essenziell, dass wir uns nach der ersten Verschiebung die letzte Karte auf unserer linken Seite anschauen, um herauszufinden, welche Karte wir nach der zweiten Verschiebung aufdecken müssen. Wir haben diese nach dem ersten Mal deshalb aufgedeckt, weil das am Anfang die Position des Zehners war. Dieser ist nämlich unsere sogenannte Leitkarte.

Zur besseren Nachvollziehbarkeit können wir die Karten aufgedeckt liegen lassen, während wir den Trick durchführen. Uns interessiert nicht die aktuelle Position der Leitkarte, sondern die jeweils vorige. Nach der zweiten Verschiebung machen wir also einfach das Gleiche noch einmal und müssen nur wissen, wo der Zehner nach der ersten Verschiebung gelegen ist. In unserem Beispiel war das die dritte Karte von links bzw. die achte Karte von rechts, weshalb wir auch diese nach der zweiten Verschiebung aufdecken:

Hier ist die Position des Zehners nach der ersten Verschiebung sichtbar... (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Hätten wir nach der zweiten Verschiebung erneut die linke Karte aufgedeckt, hätten wir einen Sechser gesehen und immerhin erkannt, dass insgesamt sechs Karten bewegt wurden. Wir hätten dann einfach die Differenz berechnen und somit auf 6 – 2 = 4 bewegte Karten kommen können. Insofern wir diesen Wert jedoch gleich direkt ablesen möchten, müssen wir stattdessen jene Karte aufdecken, die sich zu diesem Zeitpunkt an der vorigen Position unserer Leitkarte befindet:

...um zu zeigen, warum nach der zweiten Verschiebung eine andere Karte aufgedeckt wird. (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Um besser zu verstehen, wie sich so jene Karte, deren Rang die Anzahl der bewegten Karten offenbart, ermitteln lässt, können wir uns auch vorstellen, dass wir nach der ersten Verschiebung die linke Karte aufdecken und noch immer einen Zehner sehen. Das würde also heißen, dass gar keine Karten verschoben wurden. Dieser Fall wird normalerweise nicht eintreten, aber er ist grundsätzlich möglich. Wir könnten es auch so deuten, dass alle zehn Karten verschoben wurden, wodurch sich jedenfalls nichts geändert hat. Dementsprechend würden wir beim nächsten Mal einfach erneut die Karte an dieser Position betrachten.

Falls jedoch tatsächlich Karten verschoben werden, wandert der Zehner einfach um entsprechend viele Positionen weiter. Bei unserem Beispiel war das die Position 10 – 2 = 8. Im Endeffekt läuft es also darauf hinaus, dass der weiter oben beschriebene Prinzip an einer anderen Position erneut ausgenutzt wird. Sollte der Zehner im Zuge einer Verschiebung wieder mit an das andere Ende der Reihe wandern, zählen wir einfach von dort weiter. Allgemein gilt Folgendes: Wenn wir insgesamt n Karten in aufsteigender Reihenfolge mit den Rängen von 1 bis n haben und k Karten vom oberen ans untere Ende verschieben, dann befindet sich die Leitkarte, d. h. jene mit Rang n bzw. an der Position n, danach an der Position n – k. Hier ein paar weitere Beispiele:

• Wenn die linke Karte nach der ersten Verschiebung ein Dreier ist, decken wir nach der zweiten die von uns aus gesehen vierte Karte von links bzw. die siebte Karte von rechts auf, weil der Zehner im Zuge der ersten Verschiebung drei Positionen weiter nach rechts gewandert ist: 10 – 3 = 7.
• Wenn die linke Karte nach der ersten Verschiebung ein Achter ist, decken wir nach der zweiten die von uns aus gesehen neunte Karte von links bzw. die zweite Karte von rechts auf, weil der Zehner im Zuge der ersten Verschiebung acht Positionen weiter nach rechts gewandert ist: 10 – 8 = 2.

Im Extremfall kann der Trick auch mit dem kompletten Deck durchgeführt werden. Die Voraussetzung dafür ist im Grunde nur eine fixe Reihenfolge für alle Karten. Martin Gardner stellt auch eine Variante vor, die mit Dominosteinen durchgeführt wird.

Johannes C. Huber (tut sich leichter, wenn er sich die Karten in einem Kreis angeordnet vorstellt)

Quellen:

• Adrion A. (2016): Das verschwundene Kaninchen und andere mathematische Tricks; Dumont. Neuauflage der deutsche Übersetzung aus dem Jahr 1981 von Gardner M. (1956): Mathematics, Magic and Mystery; Dover.