Thema: Scrabble und Anordnungen
Es gibt Gesellschaftsspiele, die so gut wie alle kennen und regelmäßig für Streitereien sorgen, obwohl sie im Grunde recht einfach sind. Wer bei Monopoly oder DKT schon einmal auf einem Feld voller Hotels gelandet ist, nur um danach genervt um einen Kredit zu bitten, dürfte dieses Gefühl kennen. Manche von uns haben vielleicht schon die Erfahrung gemacht, dass es möglicherweise doch keine allzu gute Idee war, sich beim Uno auf seltsame Hausregeln einzulassen, weil sie plötzlich zwanzig Karten ziehen mussten. Von Ludo, das auf Deutsch ironischerweise "Mensch ärgere dich nicht!" genannt wird, mal ganz zu schweigen. Beim Spiel Scrabble hingegen liegt das meist einfach daran, das sich die Mitspielenden nicht darauf einigen können, ob bestimmte Wörter erlaubt sind oder nicht.
Das Spiel gibt es zwar schon seit fast hundert Jahren, aber falls jemand aus dem Lesepublikum es tatsächlich nicht kennen sollte, folgt hier eine kurze Erläuterung: Vereinfacht gesagt geht es darum, mit einer Menge von Buchstaben sinnvolle Wörter geschickt auf dem Spielfeld zu platzieren und dafür möglichst viele Punkte zu bekommen. Es wird deshalb auch gerne als Wort- oder Sprachenspiel bezeichnet, doch abgesehen von einem großen Vokabular (und einer anfänglichen Klarstellung, was davon erlaubt ist) sind auch ein paar mathematische Fähigkeiten wie Mustererkennung und Wahrscheinlichkeitsrechnung nötig, um beim Spielen wirklich erfolgreich zu sein. Ich nehme Scrabble gerne als Beispiel in der Schulmathematik der Oberstufe, um ein paar wichtige Begriffe aus der Kombinatorik zu erklären. Falls man das Spiel selbst besitzt, kann man es auch in den Unterricht mitnehmen und diese mit den Spielsteinen veranschaulichen.
Zu Beginn des Spiels ziehen wir zunächst eine Kombination von sieben Buchstaben und versuchen in weiterer Folge mit diesen regelkonforme Wörter zu bilden. Das Kunststück, alle sieben Steine auf einmal abzulegen, wird im englischsprachigen Original Bingo und in anderen Versionen Bonus genannt. In diesem Fall haben wir es mit einer sogenannten Permutation bzw. der Anordnung einer Menge von Objekten unter Beachtung einer bestimmten Reihenfolge zu tun. Wir können die Auswahl von Buchstaben in unserer Hand als Ziehung ohne Wiederholung betrachten und kommen so auf bis zu 7! = 5 040 mögliche Anordnungen. Leider wird in den meisten Fällen kein sinnvoller Begriff entstehen, was jedoch in der Praxis viele nicht davon abhält, es trotzdem mit plausibel klingenden Eigenkreationen zu versuchen. Falls die Mitspielenden sich nicht auf die eigenen Wortschöpfungen einlassen möchten, kann das allerdings schnell zu den bereits angesprochenen Problemen führen.
Zurück zur Kombinatorik: Der Einfachheit halber betrachten wir zunächst nur drei (unterschiedliche) Buchstaben, für die es überschaubare 3! = 6 mögliche Anordnungen gibt. Falls wir beispielsweise O, R und T gezogen haben, könnten wir damit die drei Begriffe ORT, ROT oder TOR bilden, während die drei restlichen Zeichenfolgen OTR, RTO und TRO sowohl in der deutsch-, als auch in der englischsprachigen Version unzulässig sind. In diesem Fall ist also immerhin die Hälfte der Anordnungen für uns interessant. Bei längeren Zeichenfolgen hingegen wird der Großteil davon unbrauchbar sein. Aus diesem Grund werden stattdessen oft kürzere Wörter mit einem Teil der Buchstaben gebildet. Uns stehen nämlich nicht nur alle Anordnungen der sieben Buchstaben zur Verfügung, sondern zusätzlich auch jene aller Teilmengen davon. Hierbei handelt es sich um sogenannte Variationen, da nicht notwendigerweise alle Objekte einer Menge ausgewählt werden. Dadurch tun sich wesentlich mehr Möglichkeiten auf, um Wörter auf das Spielbrett zu legen.
Um den Unterschied zwischen Permutationen und Variationen noch ein wenig mehr zu verdeutlichen, schauen wir uns noch ein Beispiel an: Eine tatsächliche Permutation des englischen Wortes permutation ist dementsprechend ein Wort mit den gleichen Buchstaben, aber in einer anderen Reihenfolge. Da das T doppelt vorkommt, müssen wir die Anzahl aller möglichen Anordnungen der elf Buchstaben zwar erst noch durch zwei teilen, aber wir kommen insgesamt auf immer noch beachtliche 11! : 2! = 19 958 400. Das mag vielversprechend wirken, doch der Schein trügt, da lediglich eine weitere davon ebenfalls ein sinnvolles Wort ergibt, und zwar importunate. Dieser Begriff bedeutet übersetzt so viel wie hartnäckig und das müssen wir auch sein, falls wir stattdessen die Variationen betrachten. Hier scheint der Grundsatz "weniger ist mehr" zu gelten, denn immerhin gibt es noch fast neunhundert weitere Wörter, die wir laut dem offiziellen Scrabble-Wörterbuch der englischsprachigen Originalversion* mit Teilmengen der Buchstaben bilden können.
Johannes C. Huber (aka Banjo E. Hunchers, Be Harsh Once jun. oder Jane Brunch-Hose)
Quellen:
* Hinweis: In diesem Fall zählen Wörter mit nur einem Buchstaben nicht.
zehn Buchstaben (2): portamenti, reputation
neun Buchstaben (5): important, importune, protamine, antitumor, tentorium
acht Buchstaben (21): apterium, impotent, orpiment, protamin, ptomaine, amoretti, atropine, eruption, inputter, intermat, martinet, mutation, outpaint, patentor, printout, routeman, ruminate, tautomer, trapunto, triptane, tentoria
sieben Buchstaben (95): amniote, antipot, atropin, automen, autopen, emporia, enamour, imputer, intreat, iterant, maintop, manitou, manrope, meropia, minaret, minuter, moraine, mounter, muriate, mutator, natrium, nattier, neuroma, nitrate, nutmeat, nuttier, omitter, operant, opuntia, outearn, outrate, painter, pantoum, partite, patient, patriot, pattern, permian, pertain, petunia, pimento, pinetum, pointer, portent, pottier, poutier, poutine, primate, promine, pronate, protean, protein, protium, ptomain, puritan, putamen, puttier, raiment, rainout, rampion, remount, repaint, repoint, reptant, romaine, romaunt, routine,ruinate, tampion, tantrum, tapetum, taunter, taurine, tempura, tertian, timeout, timpano, tinamou, tomenta, tonearm, torment, trimpot, tripman, tripmen, triptan, tritoma, tritone, tropine, trumpet, umptier, unmiter, unmitre, uranite, urinate, utopian
sechs Buchstaben (166): airmen, amount, anomie, antrum, armpit, aroint, arpent, atoner, atrium, attire, attorn, attune, auntie, enamor, enrapt, entrap, etamin, imaret, impart, impone, import, impure, impute, inmate, inpour, intort, iterum, manito, manitu, manure, marine, marten, martin, matier, matron, matter, mattin, mature, mentor, merino, minter, minuet, minute, mitten, moaner, mopier, murein, murine, mutant, mutate, mutine, mutter, mutton, natter, nature, norite, notate, nutate, nutria, nutter, oatier, omenta, omerta, opiate, optima, optime, orient, ornate, orpine, outate, outeat, outman, outran, panier, pantie, parent, parton, patent, patine, patron, patten, patter, pattie, peanut, permit, pernio, pineta, pirate, pitman, pitmen, pneuma, pointe, potent, potman, potmen, potter, pouter, pratie, preman, protea, protei, prutot, pterin, punier, punter, purine, putter, puttie, rapine, ratine, ration, ratite, ratten, ratton, remain, remint, retain, retina, retint, rotate, rotten, roupet, rumina, rumpot, tamein, tamper, tampon, tarpon, tauten, tauter, teapot, tenour, tenuti, tenuto, teopan, tinpot, tinter, tiptoe, titman, titmen, tonier, torten, toupie, touter, trepan, triton, triune, trompe, tropin, troupe, truant, turion, turnip, umpire, uniter, unripe, unrope, untame, untrim, uprate, uptear, uptime, uptore, uptorn, uremia, utopia
fünf Buchstaben (198): aimer, ament, amine, amino, amnio, amort, amour, amrit, anime, antre, aport, apron, apter, armet, arpen, atone, atrip, aurei, enorm, entia, erupt, impro, inapt, inarm, inept, inert, input, inter, intro, inure, irate, irone, manor, mater, matin, matte, meant, menta, mento, merit, metro, miaou, minae, miner, minor, miter, mitre, moira, moire, monie, monte, moper, morae, motet, motte, mount, mourn, muter, muton, nairu, namer, netop, niter, nitre, nitro, noria, noter, notum, oaten, oater, onium, opera, opine, opium, orate, orpin, ottar, otter, ourie, outer, outre, outta, paeon, paint, panto, paren, pareo, pareu, paten, pater, patin, patio, peart, petit, petti, petto, piano, pieta, pinot, pinta, pinto, piton, pitot, pitta, point, porin, prate, prima, prime, primo, print, prion, proem, prone, prune, pruta, punto, purin, puton, putti, putto, ramen, ramet, ramie, ramin, ratio, reman, remap, remit, repin, repot, retia, riant, ripen, roman, rotte, rouen, route, rumen, rutin, taint, tamer, tanto, taper, tapir, tarot, tater, taunt, tauon, taupe, tempi, tempo, tempt, tenia, tenor, terai, tetra, tetri, timer, tinea, titan, titer, titre, toman, toner, toper, torta, torte, totem, toter, train, trait, tramp, trapt, treat, trine, tripe, trite, tromp, trona, trone, trope, trout, trump, tumor, tuner, tutor, unapt, unarm, unite, unmet, unrip, untie, uraei, urate, urine, uteri, utter
vier Buchstaben (232): aeon, aero, airn, airt, amen, amie, amin, amir, ante, anti, aper, arum, atom, atop, aunt, auto, earn, emir, emit, etna, etui, euro, inro, into, iota, iron, item, main, mair, mane, mano, mare, mart, mate, matt, maun, maut, mean, meat, meno, menu, meou, meta, mien, mina, mine, mint, mire, mite, mitt, moan, moat, mope, mora, more, morn, mort, mote, mott, moue, muni, muon, mura, mure, mute, mutt, name, naoi, nape, neap, near, neat, nema, nett, neum, nipa, nite, noir, noma, nome, nope, nori, norm, nota, note, omen, omer, omit, open, outa, pain, pair, pane, pant, pare, part, pate, pean, pear, peat, pein, pent, peon, peri, perm, pert, pian, pier, pima, pina, pine, pint, pion, pirn, pita, poem, poet, pome, pone, pore, porn, port, pour, pout, pram, prao, prat, prau, prim, proa, prom, ptui, puma, puna, punt, pure, puri, putt, rain, rami, ramp, rani, rant, rape, rapt, rate, rato, ream, reap, rein, reno, rent, repo, rime, riot, ripe, rite, roam, roan, romp, rope, rota, rote, roti, roue, roup, rout, ruin, rump, rune, runt, tain, tame, tamp, tape, tare, tarn, taro, tarp, tart, tate, taut, team, tear, teat, tein, temp, tent, tepa, term, tern, tian, tier, time, tine, tint, tire, tiro, toea, toit, tome, tone, tope, topi, tora, tore, tori, torn, tort, tote, tour, tout, tram, trap, trem, tret, trim, trio, trip, trop, trot, trou, true, tump, tuna, tune, turn, unai, unit, unto, upon, urea
drei Buchstaben (140): aim, ain, air, ait, ami, amp, amu, ane, ani, ant, ape, apo, apt, are, arm, art, ate, att, eat, eat, eau, emo, emu, eon, era, ern, eta, imp, ion, ire, mae, man, map, mar, mat, men, met, mir, moa, moi, mon, mop, mor, mot, mun, mut, nae, nam, nap, net, nim, nip, nit, nom, morm not, nut, oar, oat, oma, one, opa, ope, opt, ora, ore, ort, our, out, pam, pan, par, pat, pea, pen, per, pet, pia, pie, pin, pit, piu, poi, pot, pro, pun, pur, put, rai, ram, ran, rap, rat, rei, rem, rep, ret, ria, rim, rin, rip, roe, rom, rot, rue, rum, run, rut, tae, tam, tan, tao, tap, tar, tat, tau, tea, ten, tet, tie, tin, tip, toe, tom, ton, top, tor, tot, tui, tum, tun, tup, tut, ump, uni, upo, urn, urp, uta, ute
zwei Buchstaben (40): am, em, ma, me, mi, mo, mu, om, op, pa, pe, pi, po, um, up, ae, ai, an, ar, at, en, er, et, in, it, na, ne, no, nu, oe, oi, on, or, re, ta, te, ti, to, un, ut