Thema: Kartenhäuser und Formeln
In meinem letzten Beitrag habe ich eine rekursive Formel für den Bau eines Kartenhauses vorgestellt, der am 22.11.2022 auch im Standard erschienen ist. Leider ist mir beim Aufschreiben der Formel ein Fehler passiert, da ich zwei verschiedene Sichtweisen miteinander vermischt habe. Ich habe ursprünglich geschrieben \(k(n+1) = k(n) + n - 1 + 2n = k(n) + 3n - 1\) und damit "Anzahl der Karten jetzt = Anzahl der Karten vorher + Anzahl der Stockwerke jetzt minus 1 + zwei mal Anzahl der Stockwerke jetzt" gemeint. Allerdings hätte ich besser darauf achten müssen, welches Stockwerk ich meine, weil meine falsche Formel stattdessen "Anzahl der Karten jetzt = Anzahl der Karten vorher + Anzahl der Stockwerke vorher minus 1 + zwei mal Anzahl der Stockwerke vorher" bedeutet, was nicht stimmt. Glücklicherweise hat mich jemand in einem Forenkommentar gleich darauf aufmerksam gemacht.
Ein positiver Nebeneffekt der ganzen Sache ist, dass die richtige Formel für \((n+1)\) Stockwerke ebenfalls schön veranschaulicht werden kann. Dafür bauen wir das Kartenhaus nicht nach unten, sondern seitlich weiter, was, im Gegensatz zu meiner ursprünglichen Überlegung, tatsächlich praktisch durchführbar ist. Auch in diesem Fall sollte klar sein, dass die bisher benötigten Karten im größeren Haus enthalten sein müssen, weil das jeweils kleinere Haus einen seitlichen Anbau bekommt. Im nächsten Schritt brauchen wir dreimal so viele Karten wie die Anzahl der Stockwerke zuvor für die zusätzlichen Zimmer mit Boden auf der Seite. Zum Schluss kommen jedes Mal noch zwei Karten für die beiden Wände des neuen untersten Zimmers ohne Boden dazu.
Wenn wir also beispielsweise ein viertes Stockwerk dazu bauen, brauchen wir einerseits die fünfzehn Karten für ein dreistöckiges Haus (orange) und andererseits drei mal drei, also neun Karten für die neuen Zimmer mit Boden im Anbau (magenta) sowie zwei Karten für das Zimmer ohne Boden (cyan):
Insgesamt brauchen wir 15 + 9 + 2 = 26 Karten. Wir kommen also auf dasselbe Ergebnis, auch wenn die Rechenbausteine anders zustandekommen. Nun fassen wir wieder unsere drei Beobachtungen zusammen. Die Anzahl der Karten für ein Kartenhaus mit einem weiteren Stockwerk beinhaltet:
- die Anzahl der Karten für das bisher gebaute Haus
- die bisherige Anzahl der Stockwerke mal drei für die zusätzlichen Zimmer mit Boden
- zwei Karten für das zusätzliche Zimmer ohne Boden
Mit diesen Bausteinen basteln wir uns eine weitere rekursive Formel:
Karten insgesamt = Karten vorher + Stockwerke vorher ⋅ 3 + 2
Um das ein wenig abzukürzen, nennen wir die Anzahl der Karten \(k\) und die Anzahl der Stockwerke \(n\). Für das jeweils nächste Stockwerk schreiben wir nun allgemein auf:
\(k(n+1) = k(n) + 3n + 2\)
Die Glieder der dadurch entstehenden Folge \(k(n)\) (mit \(k(0) = 0\)) sind ebenfalls die sogenannten Pentagonalzahlen (Fünfeckszahlen) der zweiten Art bzw. Kartenhauszahlen.
An dieser Stelle ein großes Dankeschön für wertvollen Input von meinem Redakteur Tizian Rupp, Stefan und Standard-Forum-User "maohl"!
Johannes C. Huber (wird in Zukunft beim Übergang von der Angabe zum Rechenweg besser aufpassen)
Quellen:
- Matroid
(2002): Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung; In: Wohlgemuth M.
(Hrsg.) (2010): Mathematik für fortgeschrittene Anfänger, S. 177-182; auch online verfügbar (zuletzt aufgerufen am 19.11.2022)