Mathemagische Kartentricks Teil 5

Thema: Kartentricks und Differenzen

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathemagischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Eddie Woo hat in der Pandemiezeit einen Kartentrick vorgestellt, der ein paar Jahre zuvor von James Grime entwickelt wurde. Da er keinen Namen hat, bezeichne ich ihn hier als "Wir haben unsere Differenzen". Wir benötigen dafür im Grunde nur die Karten Ass bis Zehn einer Spielfarbe, wobei das Ass in diesem Fall den Rang eins hat. Zusätzlich dazu verwenden wir noch die Karten von Ass bis Neun der beiden komplementären anderen Spielfarben, um später die namengebenden Differenzen zwischen gegenüberliegenden Karten zu markieren. 

Zunächst legen wir jene Karten beiseite, die für die Markierung der Differenzen gedacht sind und mischen anschließend die zehn Karten. Im nächsten Schritt verteilen wir diese auf eine beliebige Art und Weise auf uns und unser Gegenüber. Wichtig ist dabei nur, dass beide jeweils die Hälfte der Karten bekommen. Falls sie verdeckt ausgeteilt oder gezogen wurden, drehen wir sie nun um und legen sie anschließend in von links nach rechts aufsteigender Reihenfolge vor uns auf. Das hat zu Folge, dass unsere niedrigste Karte gegenüber von der höchsten unseres Gegenübers liegt und umgekehrt. 

Anschließend bilden wir jeweils die absolute Differenz zweier gegenüberliegender Karten und legen dafür die entsprechende Karte der anderen Spielfarbe zwischen die beiden gegenüberliegenden, um diese zu veranschaulichen. Zum Schluss fordern wir unser Gegenüber auf, diese fünf Differenzen zu addieren. Währenddessen offenbaren wir unsere Vorhersage, auf der ebenfalls die Zahl 25 steht. In diesem Fall könnten wir den Vorhersagetrick als Gedankenlesetrick durchführen, indem wir uns die ganze Zeit wegdrehen und unser Gegenüber die Karten auflegen lassen. Zusätzlich dazu können wir das Ganze in beiden Fällen auch als Wette verpacken.

Hier ein Beispiel: Wir verwenden die Karten Ass bis Zehn der Spielfarbe Pik für die Verteilung und Ass bis Neun der Spielfarben Herz und Karo für die Veranschaulichung der Differenzen. Eine mögliche Verteilung der Karten könnte dann wie folgt sein: Auf unserer liegen Ass, Vier, Fünf, Sieben und Neun, während auf der gegenüberliegenden Seite Zwei, Drei, Sechs, Acht und Zehn liegen. Dabei liegt das Ass also gegenüber vom Zehner, der Vierer gegenüber vom Achter und so weiter (siehe Abbildung). Woo arbeitet bei der Erläuterung des Tricks mit einem Lageplan, auf dem er Pfeile für die Reihenfolgen einzeichnet, in der die Karten aufgelegt werden sollen, damit es hier keine Unklarheiten gibt.

Beispiel mit zehn Karten (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Es spielt keine Rolle, wie die Karten aufgeteilt werden, denn die Summe der Differenzen D ist in jedem Fall 25. Das liegt daran, dass für jeden Unterschied jeweils einer der fünf niedrigen (Ass bis Fünf) von einem der fünf hohen Ränge (Sechs bis Zehn) abgezogen wird. Um das zu zeigen, arbeiten wir mit der Gaußschen Summenformel und überlegen uns Folgendes: Zuerst berechnen wir die Summe aller zehn Ränge und ziehen dann die Summe der fünf niedrigen ab, um jene der fünf hohen zu erhalten. Anschließend müssen wir erneut die Summe der fünf niedrigen abziehen, um schließlich die gewünschte Summe der Differenzen zu erhalten. Zusammengefasst subtrahieren wir also zweimal die Summe der niedrigeren Ränge von der Gesamtsumme aller Ränge und kommen so auf folgende Formel:

Dabei fällt uns auf, dass es sich stets um eine Quadratzahl handelt, und zwar jene der Anzahl an Karten, die jede Seite bekommt. Für zehn Karten ist die Summe der Differenzen demnach stets (10 : 2)² = 5² = 25. Woo schlägt folgende vereinfachte Notation vor, bei der H für einen der fünf hohen und N für einen der fünf niedrigen Ränge steht, um die Funktionsweise plausibel zu machen: (H - N) + (H - N) + (H - N) + (H - N) + (H - N) = 5H - 5N = (10 + 9 + 8 + 7 + 6) - (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 40 - 15 = 25. Die Lernenden müssen dafür lediglich wissen, wie das Assoziativitätsgesetz funktioniert.

Eine weitere Möglichkeit zur Unterstützung der Lernenden ist der Hinweis, dass die Summe aller Karten gleich 55 ist. Falls man diesen Umstand nicht gleich verraten möchte, können sie zumindest aufgefordert werden, die Summe der Kartenwerte zu bilden, um ein Muster zu erkennen. Dazu können unter anderem folgende Impulsfragen gestellt werden:

• Wie groß ist der Unterschied zwischen den beiden mittleren Karten höchstens?
  A: Die maximale Differenz zwischen den mittleren Karten ist 8 - 3 = 5.
• Findest du eine Verteilung, bei der die paarweise Summe gegenüberliegender Karten stets elf ist?
  A: Eine Möglichkeit wäre: 1 + 10, 2 + 9, 3 + 8, 4 + 7 und 5 + 6.
• Findest du eine Verteilung, bei der keine der paarweisen Differenzen gegenüberliegender Karten gleich ist?
  A: Eine Möglichkeit wäre: 10 - 2, 9 - 3, 8 - 4, 7 - 5 und 6 - 1.
• Würde der Trick auch mit weniger als zehn Karten funktionieren?
  A: Ja, aber die Anzahl der Karten muss gerade sein. Bei zwei Karten gibt es genau eine Möglichkeit für die Verteilung der Karten (unabhängig davon, welche Seite welche Karte bekommt) und die Differenz ist stets 1. Bei vier Karten ist die Differenz stets 4, bei sechs Karten 9 und bei acht Karten 16. Im Zuge dessen dürfte uns auffallen, dass es sich dabei um die Quadratzahlen handelt.
• Wären auch mehr als zehn Karten möglich?
  A: Ja, es wären auch zwölf Karten möglich, wenn wir einen Buben und eine Dame mit den Rängen elf und zwölf hinzufügen. Die Summe der Differenzen ergibt dann stets 36. Falls wir auch den König mit Rang dreizehn einen Joker mit Rang null oder vierzehn hinzufügen, wären sogar vierzehn Karten möglich und die Summe der Differenzen stets 49.

Falls wir eine andere feste, aber beliebige Schrittlänge wählen, indem wir sie entsprechend skalieren, überträgt sich diese Veränderung auch auf die Summe der Differenzen. Hier ein Beispiel: Falls der Abstand zwei ist, d. h. statt der Reihenfolge A-2-3-4-5-6-7-8-9-10 könnten wir die Reihenfolge 2-4-6-8-10-D-A-3-5-7 festlegen, wobei wir eine Überschreitung von K = 13 machen müssen, um die Zahlen 14, 16, 18 und 20 auszudrücken. In diesem Fall ist die Summe der Differenzen doppelt so groß, d. h. gleich 50. Eine Verschiebung ist ebenso möglich, insofern die Schrittlänge gleich bleibt, d. h. wir könnten theoretisch auch gewisse Kartenwerte als negative Zahlen verwenden. 

Diese Überlegung lässt sich u. a. auch auf Quartettspiele übertragen. Angenommen wir teilen die 32 Karten eines Trumpf-Spiels aus, wählen dann eine bestimmte Kategorie (z. B. Hubraum in ccm, Länge in m, Leistung in PS, Drehzahl in U/min oder Gewicht in kg bei Traktoren) und legen dann alle Karten in der gleichen Sortierung auf, sodass immer zwei Karten gegenüber sind. In diesem Fall wird die Summe der Differenzen ebenfalls gleich sein (auch wenn sie uns nichts darüber sagt, welche Seite im jeweiligen Fall die besseren Karten hat), weil quasi alle Karten gleichzeitig gespielt werden, sodass die höchste der einen Seite gegen die niedrigste der anderen antritt und umgekehrt immer so weiter.

Johannes C. Huber (erwartet mit dieser Erkenntnis keinen strategischen Vorteil bei Quartettspielen)

Mathemagische Kartentricks Teil 4

Thema: Kartentricks und Wortlängen

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathemagischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Der nachfolgende Trick heißt im Original True or False? bzw. auf Deutsch Wahr oder falsch? auf Deutsch. Wir beginnen damit, dass wir drei Pakete mit jeweils drei Karten auflegen und unser Gegenüber auffordern, sich die unterste Karte von einem davon anzusehen, ohne dass wir mitbekommen, um welche Karte es sich handelt. Danach legen wir die drei Pakete auf einen Stapel zusammen, wobei das Paket mit der zuvor betrachteten Karte ganz oben aufliegt. Nun fragen wir als Erstes nach dem Rang der Karte, d. h. wir möchten wissen, welchen Wert von one bzw. ace bis king die gesuchte Karte hat. Allerdings darf unser Gegenüber entscheiden, ob dabei die Wahrheit oder eine Lüge erzählt wird. Angenommen wir bekommen als Antwort eight. Das Wort hat fünf Buchstaben, also legen wir der Reihe nach fünf Karten von oben ab und geben den restlichen Stapel darüber.

Als nächstes fragen wir nach der Spielfarbe, d. h. wir möchten wissen, ob es sich um eine Karte der Farbe spades, hearts, clubs oder diamonds handelt. Allerdings darf sich unser Gegenüber auch diesmal aussuchen, ob es die Wahrheit erzählt oder nicht. Angenommen wir bekommen als Antwort clubs. Da wir in der englischen Sprache die Karte als eight of clubs aussprechen, legen wir zuerst zwei Karten ab und legen den restlichen Stapel darüber, ehe wir das erneut mit fünf Karten machen, weil die Wörter of und clubs aus zwei bzw. fünf Buchstaben bestehen. Zum Schluss möchten wir noch wissen, ob unser Gegenüber stets bei der Wahrheit geblieben ist oder auch gelogen hat, d. h. die Antwort kann entweder true oder false lauten. Angenommen wir bekommen als Antwort, dass stets die Wahrheit gesagt wurde. In diesem Fall buchstabieren wir das englische Wort truth und legen insgesamt fünf Karten ab, von denen die letzte die gesuchte ist.

Die Funktionsweise dieses Tricks basiert auf der Anzahl der Buchstaben und der jeweiligen Position der gesuchten Karte. Das erste Wort hat auf jeden Fall mindestens drei Buchstaben, wodurch sich diese nach dem Ablegen gewissermaßen einfach nur umdreht, d. h. die gesuchte Karte befindet sich danach nicht mehr an der dritten Position von oben, sondern an der dritten Position von unten. Durch das nächste Wort mit zwei Buchstaben, wandert die Karte garantiert in die Mitte des Stapels. Das dritte Wort hat auf jeden Fall mindestens fünf Buchstaben, weshalb sich die Position der Karte danach nicht mehr ändert und aufgrund der Tatsache, dass das vierte Wort in beiden Fällen abermals fünf Buchstaben hat, decken wir mit Sicherheit die Karte in der Mitte des Stapels auf. Bei einer Variante des Youtubers Michael D. Stevens, welcher unter anderem als Betreiber des Kanals VSauce bekannt ist, wird stattdessen einfach immer das Wort magic buchstabiert.

Positionen der gesuchten Karte in der englischsprachigen Variante (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Ich habe mir auch eine deutschsprachige Variante überlegt, bei der wir zuerst nach der Spielfarbe (Pik, Herz, Kreuz/Treff oder Karo) fragen. Als Nächstes fragen wir jedoch noch nicht danach, welchen Rang die Karte hat, sondern zuerst, ob eine Zahl oder ein Bild darauf zu sehen ist. Unabhängig von der Antwort buchstabieren wir den Namen der genannten Teilmenge an Karten, d. h. entweder das Wort Zahlen oder Bilder. Da beide Wörter sechs Buchstaben haben, legen wir auf jeden Fall sechs Karten ab, wodurch die gesuchte Karte ganz oben aufliegt. Nun können wir auch noch nach dem Rang der Karte fragen*. Zum Schluss stellen wir die Ehrlichkeit unseres Gegenübers infrage: "Wie oft hast du die Wahrheit gesagt: Immer, teilweise oder nie? Du darfst allerdings auch hier wieder lügen, wenn du möchtest." Anschließend buchstabieren wir, je nach Antwort entweder jedes Mal, manchmal oder gar nicht, sodass am Ende auf jeden Fall die gesuchte Karte in unserer Hand verbleibt.

Positionen der gesuchten Karte in der deutschsprachigen Variante (Bildquelle: Johannes C. Huber) 

Johannes C. Huber (ist gespannt darauf, wie die deutschsprachige Variante in der Praxis ankommt)

* Da wir im Endeffekt nur eine Karte bewegen müssen, funktioniert der Trick sogar mit der alten Schreibweise As anstatt Ass. Es spielt außerdem keine Rolle, ob wir Bub, Bube oder Junge sagen.  

Eine affige Aufgabe

Thema: Bananen und Gleichungssysteme

Einer meiner Vorsätze für dieses Jahr ist, meinen Internetkonsum besser im Griff zu haben, da ein maßgeblicher Teil der Zeit, die ich auf verschiedenen Plattformen verbringe, vermutlich anderweitig besser investiert wäre. Mir war jedoch klar, dass es wahrscheinlich nicht nachhaltig funktionieren würde, einfach nur meine Zeit im Internet zu verringern. Also habe ich versucht, zunächst einmal mein Surfverhalten so umzugestalten, dass ich beispielsweise weniger Youtube-Videos schaue und stattdessen etwas sinnvolleres tue. Ich habe deshalb begonnen, Quizze zu spielen, um ein wenig Gehirnjogging zu betreiben und nebenbei auch mein Allgemeinwissen ein wenig auszuweiten.

Auf der Quizseite Jetpunk gibt es etliche davon zu verschiedenen Themen wie Geographie, Popkultur oder Sprachen. Ich bin jedoch auf eines zum Thema Bananen gestoßen, das eine vergleichsweise schwierige Frage beinhaltet, und zwar diese hier:

"A rope over the top of a fence has the same length on each side, and weighs one-third of a pound per foot. On one end hangs a monkey holding a banana, and on the other end a weight equal to the weight of the monkey. The banana weighs 2 ounces per inch. The length of the rope in feet is the same as the age of the monkey, and the weight of the monkey in ounces is as much as the age of the monkey's mother. The combined ages of the monkey and its mother are 30 years. One-half the weight of the monkey, plus the weight of the banana is one-fourth the sum of the weights of the rope and the weight. The monkey's mother is one-half as old as the monkey will be when it is three times as old as its mother was when she was one-half as old as the monkey will be when it is as old as its mother will be when she is four times as old as the monkey was when it was twice as old as its mother was when she was one-third as old as the monkey was when it was as old as its mother was when she was three times as old as the monkey was when it was one-fourth as old as it is now. How long is the banana?"

In die deutsche Sprache übersetzt bedeutet das:

"Ein Seil, das über einen Zaun gespannt ist, ist auf beiden Seiten gleich lang und wiegt ein Drittel Pfund pro Fuß. An einem Ende hängt ein Affe mit einer Banane, am anderen Ende ein Gewicht, das dem Gewicht des Affen entspricht. Die Banane wiegt 2 Unzen pro Zoll. Die Länge des Seils in Fuß entspricht dem Alter des Affen, und das Gewicht des Affen in Unzen entspricht dem Alter seiner Mutter. Zusammen sind Affe und Mutter 30 Jahre alt. Die Hälfte des Gewichts des Affen plus das Gewicht der Banane ergibt ein Viertel der Summe aus Seil und Gewicht. Die Mutter des Affen ist halb so alt wie der Affe sein wird, wenn er dreimal so alt ist wie seine Mutter, als sie halb so alt war wie der Affe, wenn er so alt ist wie seine Mutter, wenn sie viermal so alt ist wie der Affe, als er doppelt so alt war wie seine Mutter, als sie ein Drittel so alt war wie der Affe, als er so alt war wie seine Mutter, als sie dreimal so alt war wie der Affe, als er ein Viertel so alt war wie jetzt. Wie lang ist die Banane?"

Ich gehe davon aus, dass jene Person, die das Quiz erstellt hat, diese Frage als Scherz eingebaut hat. Meines Erachtens grenzt es an ein Wunder, wenn man es schafft, diese Aufgabe im Rahmen der Zeit, die für die Beantwortung zur Verfügung steht, spontan zu lösen. Da nach Ablauf des Timers stets alle richtigen Antworten angezeigt werden, weiß ich, dass die Banane anscheinend 5,75 Zoll lang sein muss. Dieses Maß entspricht umgerechnet ungefähr 15 Zentimetern und somit in etwa der durchschnittlichen Länge der Tropenfrucht. Das ist aber auch schon das einzige realistische an dieser Aufgabe.

Wir sollten den Kontext der Aufgabe nicht hinterfragen. (Bildquelle: Pixlr)

Nun könnte ich mich natürlich darüber freuen, dass ich das Quiz gleich im Anschluss noch einmal gespielt habe und somit auch die fehlende Frage beantworten konnte, um alle Punkte zu bekommen. Allerdings gehöre ich zu den wahrscheinlich sehr wenigen Leuten, die am Ende auch wissen möchten, ob das tatsächlich stimmt und wie man darauf kommt. Wir können den überladenen Angabentext in mehrere Gleichungen übersetzen, also suche ich mir zunächst einmal ein paar passende Variablen aus, um nicht den Überblick zu verlieren:

• length banana     l_b
• length rope         l_r
• weight banana    w_b
• weight monkey  w_m
• weight rope        w_r
• age monkey       m_y
• age mother         m_o
  

Abgesehen davon benötigen wir noch ein paar Umwandlungen für die angloamerikanischen Maße:

• 1 ft (foot ... Fuß) ≙ 12 " (inch ... Zoll)
• 1 lb (pound ... Pfund) ≙ 16 oz (ounces ... Unzen)
  

Wir können dem ersten Satz: "A rope over the top of a fence has the same length on each side, and weighs one-third of a pound per foot." folgende Maßangabe für das Gewicht des Seils entnehmen, wobei es viele verschiedene Möglichkeiten gibt, dieses umzuwandeln: 

w_r = ⅓ lb/ft ≙ ⅓ lb/12" ≙ ¹⁶⁄₃ oz/ft ≙ ¹⁶⁄₃ oz/12" = ⁴⁄₃ oz/3" = 4 oz/9"

Der zweite Satz "On one end hangs a monkey holding a banana, and on the other end a weight equal to the weight of the monkey." verrät uns, dass das Gegengewicht am anderen Ende des Seils einfach gleich schwer ist wie der Affe, wobei die Banane anscheinend gekonnt ignoriert wird. In dem dritten Satz "The banana weighs 2 ounces per inch." steckt wieder eine Maßangabe, wobei wir die Länge der Banane, die wir noch nicht kennen, als Platzhalter verwenden:

w_b = 2 · l_b

Im vierten Satz "The length of the rope in feet is the same as the age of the monkey, and the weight of the monkey in ounces is as much as the age of the monkey's mother." stecken zwei weitere Maßangaben bei denen wir die beiden Altersangaben des Affen und seiner Mutter einsetzen:

l_r = m_y
w_m = m_o

Aufgrund den darauffolgendenen Satzes "The combined ages of the monkey and its mother are 30 years." wissen wir außerdem etwas über die Summe der beiden Altersangaben:

m_y + m_o = 30

Im nächsten Satz "One-half the weight of the monkey, plus the weight of the banana is one-fourth the sum of the weights of the rope and the weight." steckt eine weitere Gleichung, die wir durch ein paar elementare Umformungen auch gleich ein wenig vereinfachen können:

w_m/2 + w_b = (w_r + w_m)/4
w_m/2 + w_b = w_r/4 + w_m/4
w_m/4 + w_b = w_r/4

Zuguterletzt kommt der schwierigste Satz "The monkey's mother is one-half as old as the monkey will be when it is three times as old as its mother was when she was one-half as old as the monkey will be when it is as old as its mother will be when she is four times as old as the monkey was when it was twice as old as its mother was when she was one-third as old as the monkey was when it was as old as its mother was when she was three times as old as the monkey was when it was one-fourth as old as it is now." Zu Beginn steht, dass wir das aktuelle Alter der Mutter m_o durch eine andere Größe ausdrücken.

Um diese Angabe zu entschlüsseln, arbeiten wir von hinten nach vorne. Ganz am Ende steht der Satzteil "...when it was one-fourth as old as it is now." Unsere Ausgangsbasis ist also das aktuelle Alter des Affen m_y und die Angabe weist folgende Struktur auf: m_o = m_y · x. Wir müssen also im Grunde nur herausfinden, aus welchen Faktoren x, wenn auch äußert kompliziert beschrieben, zusammengesetzt ist.

Der erste Faktor ist ein Viertel und im Satzteil davor wird erwähnt, dass die Mutter dreimal so alt war wie diese Altersangabe, weshalb wir außerdem den Faktor drei benötigen. Der Satzteil davor entspricht einfach dem Faktor eins, weil es um das gleiche Alter geht und im nächsten steckt der Faktor ein Drittel. Wenn wir diese Vorgehensweise bis zum Satzanfang durchziehen, kommen wir auf folgende Verkettung für das aktuelle Alter der Mutter:

 m_o = m_y · ¼ · 3 · 1 · ⅓ · 2 · 4 · 1 · ½ · 3 · ½ = 3 · m_y/2

Wenn wir diesen Ausdruck in die Gleichung mit der Summe der beiden Altersangaben einsetzen und diese nach m_y auflösen, erhalten wir das aktuelle Alter des Affen m_y = 12. Dieses Ergebnis setzen wir erneut in dieselbe Gleichung ein, um auch das Alter der Mutter m_o = 18 zu ermitteln. Dadurch wissen wir außerdem, dass der Affe achtzehn Unzen wiegt und das Seil zwölf Fuß lang ist.

Wir können also im nächsten Schritt das Gewicht des Seils berechnen und kommen auf vier Pfund bzw. vierundsechzig Unzen für das gesamte Seil. Diese Werte können wir wiederum in die folgende Gleichung einsetzen, um das Gewicht der Banane zu berechnen:

 w_m/4 + w_b = w_r/4
18/4 + w_b = 64/4
4,5 + w_b = 16
w_b = 11,5

Um zum Schluss noch die eigentliche Frage: "How long is the banana?" zu beantworten, formen wir die Maßangabe mit dem Gewicht der Banane um und setzen unser Ergebnis ein:

l_b = 11,5 : 2 = 5,75

Diese Aufgabe ist eine relativ große Bestellung und die Verschachtelungen im letzten Satz haben es in sich, aber falls wir sorgfältig arbeiten, kommen wir tatsächlich auf die Musterlösung.

Johannes C. Huber (fragt sich, warum das Gewicht der Banane im zweiten Satz vernachlässigt wird)

Mathemagische Kartentricks Teil 3

Thema: Kartentricks und Stundeneinstiege

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathemagischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

In diesem Beitrag möchte ich ein paar vergleichsweise einfache Tricks vorstellen, die schnell durchgeführt werden können und unter Umständen auch ein wenig gemein sind, weil die Auflösung z. B. darauf aufbaut, dass unser Publikum einen Denkfehler macht oder die Erklärung zu Beginn falsch versteht.

Aus fünf mach vier

Für den ersten Trick benötigen wir nur die vier Fünfer eines Standard-Decks. Das Ziel ist dabei, die Karten so aufzulegen, dass auf jeder Karte nur noch vier Symbole zu sehen sind. Zu Beginn versuchen die meisten Leute zunächst einmal, die Karten so aufzufächern, dass jeweils eines der Symbole für die Spielfarbe abgedeckt ist. Das funktioniert allerdings für die oberste Karte nicht. Für die Lösung des Problems müssen wir Teile der Karten gewissermaßen im Kreis übereinander legen:

 
Des Rätsels Lösung. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Das Gebilde ist sogar rotationssymmetrisch, falls wir vier Fünfer der gleichen Spielfarbe verwenden:

Eine punktsymmetrische Lösung (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Es gibt grundsätzlich 4! = 24 verschiedene Möglichkeiten dafür, wie wir die vier Karten in einer Reihe arrangieren können. Da wir die Karten allerdings im Kreis auflegen, reduziert sich diese Anzahl auf sechs, sodass jede der vier Zeilen in der folgenden Abbildung alle Möglichkeiten darstellt:

Wir können uns dazu vorstellen, dass wir die Reihenfolge der Karten wie eine Uhr lesen. In der bei der Erklärung der Funktionsweise gezeigten Abbildung ist die Reihenfolge beispielsweise Karo-Kreuz-Herz-Pik. Wenn wir diese um neunzig Grad im Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir Pik-Karo-Kreuz-Herz. In anderen Worten: Jede der oben aufgelisteten sechs Möglichkeiten beinhaltet noch drei weitere, wenn wir jeweils eine der drei anderen Spielfarben als Startpunkt nehmen. Da wir außerdem die Laufrichtung bzw. die Reihenfolge der Überlappungen umkehren können, müssen wir diese Anzahl noch verdoppeln:

Zwölf verschiedene Arrangements (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Allerdings müssen wir, streng genommen, auch noch berücksichtigen, dass es bei allen Spielfarben außer Karo zwei mögliche Orientierungen des Symbols in der Mitte der Karte gibt, und kommen somit auf insgesamt 12 ⋅ 2³ = 96 verschiedene Möglichkeiten. 

Die goldene Mitte

Für den nächsten Trick genügen sogar drei Karten, die wir nebeneinander auflegen. Das Ziel ist dabei, die mittlere Karte zu entfernen, ohne sie zu berühren. Der Teufel steckt im Detail, da wir einfach die linke oder rechte Karte entfernen können, sodass es schlichtweg keine mittlere Karte mehr gibt. Das erinnert an die vermeintliche Unklarheit, welche Schiene bei einem Backofen mit vier Schienen die mittlere sein soll.

Wie man es dreht und wendet

Beim letzten Trick verwenden wir das gesamte Deck, um die Spannung zu steigern. Wir lassen jemanden aus dem Publikum eine Karte ziehen, die uns nicht gezeigt und danach wieder im Deck platziert wird. Danach kann unser Gegenüber das Deck beliebig oft mischen. Anschließend gehen wir das Kartendeck der Reihe nach durch und betrachten die Karten, bevor wir sie wieder zu einem Stapel zusammenschieben. Nun verkünden wir, dass wir mit unserem nächsten Handgriff die gesuchte Karte umdrehen werden und fragen, ob jemand dagegen wetten möchte. Für uns spielt es tatsächlich keine Rolle, um welche Karte es sich handelt. Wichtig ist nur, dass unser Gegenüber auf die Wette eingeht. In der Regel wird unsere Ankündigung nämlich so interpretiert, dass wir einzig und allein die gesuchte Karte umdrehen. Das haben wir allerdings nicht behauptet, weshalb wir einfach den ganzen Stapel umdrehen und die Wette gewinnen.

Johannes C. Huber (streut derartige Tricks gerne als Denksport zu Beginn einer Unterrichtsstunde ein)

Mathemagische Kartentricks Teil 2

Thema: Kartentricks und Zahlensysteme

Im Rahmen meiner Masterarbeit habe ich mich mit dem Einsatz mathemagischer Kartentricks im Schulunterricht beschäftigt. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

In diesem Beitrag möchte ich einen Trick namens "The name of the card is..." vorstellen, den Michael E. Matthews in einem Artikel erläutert. Obwohl ich die gewissermaßen poetische Herangehensweise bei der Gestaltung des Tricks bewundere, hat mich bei der englischsprachigen Originalversion gestört, dass einer der Buchstaben nur mithilfe eines Tricks zum Vorschein kommt, weil statt einem zweiten T bei "TEN OF HEARTS" ein Ī verwendet wird, indem man einen Strich über das I schreibt. Ich habe mir deshalb eine deutschsprachige Version überlegt, bei der das nicht nötig ist.

Bevor der Trick vorgeführt wird, muss das Karo Ass an der achtzehnten Position des Kartenstapels liegen. Nun erzählen wir dem Publikum, dass wir vorhersagen können, welche Karte später aus dem Deck gezogen wird. Diese Vorhersage schreiben wir auf ein Stück Papier, das wir anschließend in einen Umschlag oder in eine Box geben. Als Nächstes soll sich jemand aus dem Publikum eine dreistellige Zahl mit drei unterschiedlichen Ziffern aussuchen. Danach sollen die größt- und die kleinstmögliche Zahl mit den drei Ziffern der Zahl gebildet werden. Anschließend wird die kleinere Zahl von der größeren subtrahiert und zum Schluss wird die Quersumme vom Ergebnis gebildet.

Wir schauen uns das am Beispiel der Zahl 231 an. Die größtmögliche Zahl, die wir mit den drei Ziffern bilden können, ist 321 und die kleinstmögliche 123. Wir rechnen also 321 - 123 und erhalten die Differenz 198. Die Ziffernsumme des Ergebnisses ist 1 + 9 + 8 = 18. Nun zieht die Person aus dem Publikum also die Karte an dieser Position aus dem Deck. Dabei muss darauf geachtet werden, dass zunächst nur das Publikum die Karte sehen kann.

Um zu überprüfen, ob wir richtig getippt haben, nimmt die Person anschließend die Vorhersage aus dem Umschlag und liest sie laut vor. Unglücklicherweise klingt diese recht kryptisch: DIESE KARTE IST OFTMALS EINS. Wir helfen ein wenig nach, indem wir ein paar der Buchstaben durchstreichen:  DIESE KARTE IST OFTMALS EINS. Bei der gezogenen Karte handelt es sich also um das Karo Ass.

 
 Diese Karte ist oftmals eins. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Der Grund dafür, dass der Trick funktioniert, hängt mit unserem Zahlensystem zusammen. Wir können jede Dezimalzahl a_n…a₂a₁a₀ in erweiterter Notation als Polynomfunktion aufschreiben können:

10ⁿa_n + … + 10²a₂ + 10¹a₁ + 10⁰a₀ = 10ⁿa_n + … + 100a₂ + 10a₁ + a₀

Wir können also eine beliebige dreistellige Zahl a₂a₁a₀ stattdessen als 100a₂ + 10a₁ + a₀ schreiben. Wenn wir nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon ausgehen, dass diese bereits die größtmögliche ist, die wir mit den drei verschiedenen Ziffern a₂, a₁ und a₀ bilden können, dann ist 100a₀ + 10a₁ + a₂ dementsprechend die kleinstmögliche. Wir bilden nun die Differenz der beiden Zahlen und erhalten als Ergebnis 100a₂ + 10a₁ + a₀ - (100a₀ + 10a₁ + a₂) = 100a₂ + 10a₁ + a₀ - 100a₀ - 10a₁ - a₂ = 99(a₂ - a₀). Die einzigen möglichen Werte für (a₂ - a₀) sind die Zahlen von zwei bis neun, d. h. die einzigen möglichen Ergebnisse sind 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 und 891, weshalb die Ziffernsumme in jedem Fall gleich 18 ist und dadurch immer die Karte an der entsprechenden Position gezogen wird.

Im Zuge einer Erprobung in der Schule kam auch die Frage auf, ob man nicht einfach einen Satz formulieren kann, bei dem es gar keine Rolle spielt, um welche Karte es sich handelt, damit man sich die Vorbereitung sparen kann. Ich habe mich deshalb auf die Suche nach einem solchen Satz gemacht und mir dabei ein paar durchaus ambitionierte Ziele gesetzt:

1. Der Satz klingt zumindest halbwegs natürlich, ist grammatikalisch richtig und möglichst kurz.
   
2. Jeder benötigte Buchstabe kommt tatsächlich im Satz vor, d. h. wir müssen nicht schummeln, indem wir beispielsweise zusätzliche Striche einfügen oder Zeichen miteinander kombinieren.
3. Jede Karte des Decks ist unverändert im Satz versteckt, d. h. die jeweils benötigten Buchstaben können in der richtigen Reihenfolge gefunden werden.

Als Ausgangsbasis für meine weitere Vorgehensweise schauen wir uns zunächst einen vergleichsweise unspannenden Satz an, in dem alle Spielfarben explizit genannt werden: "Diese Karte ist entweder Pik, Herz, Kreuz oder Karo." Die Kartenfarbe Karo ist hier am einfachsten zu verstecken, weil im Wort "Karte" bereits drei der vier dafür nötigen Buchstaben vorkommen. Wir können den vierten und letzten Buchstaben ergänzen, indem wir statt "Karo" ein anderes Wort hinzufügen: "Diese KARte ist Offensichtlich entweder Pik, Herz oder Kreuz."

Im nächsten Schritt verstecken wir die Farbe Herz: "Diese Karte HiER ist ganZ offensichtlich entweder Pik oder Kreuz.", danach die Farbe Kreuz: "Diese KaRtE hier Unten ist ganZ offensichtlich Pik." und schließlich noch die Farbe Pik, indem wir den Satz ein wenig poetischer formulieren: "Diese PIttoresKe Karte hier unten ist ganz offensichtlich...". Es ist also im Grunde gar nicht so schwierig, die Begriffe in einem Satz zu verstecken, aber wenn das für alle siebzehn Begriffe* funktionieren soll, gestaltet sich die Sache schon ein bisschen schwieriger.

Es hat lange gedauert, aber nach etlichen Umformulierungen bin ich schließlich fündig geworden und ich denke, das Ergebnis kann sich sehen lassen. Der folgende Satz enthält zunächst einmal alle nötigen Buchstaben für die vier Spielfarben und ist sogar noch ein wenig kürzer als der vorherige: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos." Wenn wir diesen anschließend mit einem Nebensatz ergänzen, können wir tatsächlich alle 52 Karten des Decks einbauen:

Ass: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem ZAhlenwert entSprechen und oftmalS dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Zwei: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem ZahlenWErt entsprechen und oftmals dürfte sIe auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Drei: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals DüRfte sie auch EIn farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Vier: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges BildmotiV zIERen."

Fünf: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oFtmals dÜrfte sie auch eiN Farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Sechs: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entSprECHen und oftmalS dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Sieben: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn SIE könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zierEN."

Acht: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie AuCH ein farbenfreudiges BildmoTiv zieren."

Neun: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert eNtsprEchen UNd oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Zehn: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprEcHeN und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Bube: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farBenfreUdiges Bildmotiv ziEren."

Dame: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals Dürfte sie Auch ein farbenfreudiges BildMotiv ziEren."

König: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie KÖNnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudIGes Bildmotiv zieren."

Ich gehe einerseits davon aus, dass der Satz unter Umständen auch noch weiter gekürzt werden kann, und andererseits, dass es wahrscheinlich noch viele weitere, möglicherweise natürlicher klingende und auch kürzere, Sätze mit den nötigen Buchstaben gibt. Selbstverständlich macht ein solcher Satz den eigentlich spannenden, weil mathematischen Teil des Tricks obsolet, aber dafür kann er auch in Verbindung mit anderen Vorhersagetricks eingesetzt werden.

Johannes C. Huber (schätzt vor allem die mathematische Funktionsweise des Tricks)

* Wir benötigen zuerst die vier Spielfarben Pik, Herz, Kreuz und Karo, gefolgt von den dreizehn Rängen Ass, Zwei, Drei, Vier, Fünf, Sechs, Sieben, Acht, Neun, Zehn, Bube, Dame und König in jeweils beliebiger Reihenfolge.