Rätselhafte Namen Teil 1

Thema: Buchstaben und Stellenwerte

Für meinen 50. Blogbeitrag wollte ich etwas Besonderes machen. Ein Gedanke, der schon länger in meinem Kopf herumgegeistert ist, war, ein eigenes Rätsel zu erstellen. Im Zuge meiner Ideenfindung bin ich durch Zufall auf den Namen Simon Phillips Norton gestoßen. Dabei handelt es sich um einen recht obskuren Mathematiker aus Großbritannien. Wenn man Alexander Masters, der seine Biographie verfasst hat und zeitweise auch sein Untermieter war, glauben darf, hat er Leuten, die sich auf sein Wohnungsinserat gemeldet hatten, manchmal folgendes Rätsel gestellt: SIMON ⋅ P = NORTON.

Das Ziel ist herauszufinden, mit welchen Ziffern die Buchstaben ausgetauscht werden müssen, damit die Rechnung aufgeht. Anscheinend gibt es in diesem Fall sogar zwei mögliche Lösungen. In diesem Beitrag werde ich zeigen, wie ich selbst auf eine davon gekommen bin.

Zu Beginn ist es ratsam, sich den Aufbau des Rätsels genauer anzsehen. Hinter den Buchstaben steckt eine fünfstellige Zahl, die mit einer einstelligen multipliziert wird. Das Ergebnis ist eine sechsstellige Zahl:

ZT T  H  Z  E  ⋅  E  =  HT ZT T  H  Z  E
S I M O N ⋅ P = N O R T O N

Dabei fällt uns auf, dass manche Buchstaben mehr als einmal vorkommen: Sowohl O, als auch N sind beide gleich dreimal vertreten. Insgesamt sind es acht verschiedene Buchstaben, weshalb wir auch nach bis zu acht verschiedenen Ziffern suchen müssen.

Zunächst einmal konzentrieren wir uns auf die Einer- und Zehnerstellen, da dort die beiden Buchstaben O und N in derselben Reihenfolge vorkommen. Wir suchen also nach zwei Ziffern, die mit P multipliziert beim Ergebnis gleich bleiben.

Um mir einen Überblick zu verschaffen, habe ich alle möglichen Multiplikationen von N mit P in einer Tabelle aufgelistet. Da es zehn verschiedene Ziffern gibt, kommen wir auf 10 ⋅ 10 = 100 Möglichkeiten:

Im nächsten Schritt habe ich jene Ergebnisse grün markiert, bei denen die Einerstelle gleich ist, wie die Ziffer für N. Dadurch können wir die Anzahl der Möglichkeiten bereits auf 27 reduzieren:

 

Diese lässt sich noch weiter verringern, denn es gibt zwei Optionen für P, die wir ausschließen können, und zwar 0 und 1, da sonst das Ergebnis der Multiplikation nicht mit der angegebenen Lösung zusammenpassen würde. Eine Multiplikation mit 0 führt nämlich zum einstelligen Ergebnis 0 und eine mit 1 ändert nichts an der Zahl, weshalb sie in diesem Fall fünfstellig bleibt und das Ergebnis außerdem ebenso SIMON sein müsste. Somit bleiben uns noch sechzehn mögliche Fälle:

Als Nächstes können wir den Fall N = 0 ausschließen, weil das Ergebnis NORTON dann in Wirklichkeit nur fünfstellig wäre. Dadurch halbiert sich die Anzahl auf acht Möglichkeiten: 

Wir haben also bei der Multiplikation mit der Einerstelle auf jeden Fall einen Übertrag auf die nächstgrößere Stelle, und zwar entweder 1, 2, 3 oder 4. Ein netter Nebeneffekt dieser Erkenntnis ist, dass wir dadurch gleich O = 0 ausschließen können, weil in diesem Fall die Zehnerstelle der ersten Zahl aufgrund des Übertrags nicht mit jener vom Ergebnis übereinstimmen würde.

Als Nächstes überprüfen wir, bei welchen Multiplikationen die gleiche Ziffer N auf der Einer- und Hunderttausenderstelle beim Ergebnis erzeugt werden kann und können 5 ⋅ 3, 5 ⋅ 5, 6 ⋅ 6 und 8 ⋅ 6 streichen. Das liegt daran, dass der zweite Faktor P in diesen Fällen nicht groß genug dafür ist, denn selbst wenn wir die größtmögliche Ziffer 9 für S und I einsetzen, führen die Ergebnisse 99 ⋅ 3 = 297, 99 ⋅ 5 = 495 und 99 ⋅ 6 = 594 nicht dazu, dass die Ziffer an der Einer- und Hunderttausenderstelle beim Ergebnis gleich ist. Dadurch halbiert sich die Anzahl der Fälle erneut auf vier:

Nun überlegen wir uns, ob wir noch weitere Fälle ausschließen können. Dazu testen wir, welche Zehnerziffern beim ersten Faktor multipliziert mit dem jeweiligen zweiten Faktor (6, 7 oder 9) zusammen mit dem Übertrag von 1 bis 4 wieder zur gleichen Zehnerziffer beim Ergebnis führen:

SIMO2 ⋅ 6 = 2ORTO2
SIMO4 ⋅ 6 = 4ORTO4
SIMO5 ⋅ 7 = 5ORTO5
SIMO5 ⋅ 9 = 5ORTO5

Auf diese Weise können wir für jeden der vier Fälle alle Ziffern von 1 bis 9 für O ausprobieren und sehen, dass der Großteil davon nicht passt. Der einzig verbleibende Fall ist somit 5 ⋅ 9 mit den beiden Möglichkeiten O = 2 und O = 7. Zum Schluss spielen wir einfach alle möglichen Ziffernkombinationen für diese beiden Varianten durch, indem wir die restlichen Stellen mit passenden Ziffern ergänzen:

SIM25 ⋅ 9 = 52RT25
SIM75 ⋅ 9 = 57RT75

Dadurch kommen wir überraschenderweise auf über zwanzig mögliche Lösungen, wobei alle bis auf eine mindestens eine Mehrfachbelegung von Ziffern aufweisen: 

• 57 825 ⋅ 9 = 520 425 (S = N = 5)
• 57 925 ⋅ 9 = 521 325 (S = N = 5 und M = P = 9)
• 58 025 ⋅ 9 = 522 225 (S = N = 5 und O = R = T = 2)
• 58 125 ⋅ 9 = 523 125 (S = N = 5 und M = T = 1)
• 58 225 ⋅ 9 = 524 025 (S = N = 5 und O = M = 2)
• 58 325 ⋅ 9 = 524 925 (S = N = 5 und P = T = 9)
• 58 425 ⋅ 9 = 525 825 (S = N = R = 5 und I = T = 8)
• 58 525 ⋅ 9 = 526 725 (S = M = N = 5)
• 58 625 ⋅ 9 = 527 625 (S = N = 5 und M = T = 6)
• 58 725 ⋅ 9 = 528 525 (S = N = T = 5 und I = R = 8)
• 58 825 ⋅ 9 = 529 425 (S = N = 5 und I = M = 8)
• 63 075 ⋅ 9 = 576 675 (S = R = T = 6)
• 63 375 ⋅ 9 = 570 375 (I = M = R = 3)
• 63 575 ⋅ 9 = 572 175 (M = N = 5)
• 63 675 ⋅ 9 = 573 075 (S = M = 6 und I = R = 3)
• 63 775 ⋅ 9 = 573 975 (M = O = 7 und I = R = 3 und P = T = 9)
• 63 875 ⋅ 9 = 574 875 (M = T = 8)
• 63 975 ⋅ 9 = 575 775 (M = P = 9 und N = R = 5)
• 64 175 ⋅ 9 = 577 575 (O = R = 7 und N = T = 5)
• 64 275 ⋅ 9 = 578 475 (I = R = 4)
• 64 375 ⋅ 9 = 577 375 (O = R = 7 und M = T = 3)

Ich nehme an, dass der Hinweis auf nur zwei mögliche Lösungen um ein zusätzliches Kriterium ergänzt werden sollte: jede Ziffer darf nur einem Buchstaben zugeordnet werden. Die dementsprechend einzige gültige Lösung lautet 63 475 ⋅ 9 = 571 275 mit folgender Belegung: I = 3, M = 4, N = 5, O = 7, P = 9, R = 1, S = 6 sowie T = 2.

Ich bin eigentlich davon ausgegangen, dass ich alle Möglichkeiten berücksichtigt habe und dementsprechend auch zwei Lösungen ohne Mehrfachbelegungen erhalten hätte müssen, aber leider scheint es noch eine andere zu geben. Da ich jedoch keine Lust habe alles noch einmal von vorne durchzugehen, werde ich versuchen, ein Programm zu schreiben, das diese Arbeit für mich übernimmt.

Johannes C. Huber (möchte gerne ein ähnliches Rästel mit seinem eigenen Namen erstellen)