Nein, das andere rechts!

Thema: Software und Koordinatensysteme

Obwohl manche Menschen mit räumlicher Geometrie zu kämpfen haben, sind wir grundsätzlich recht gut darin, uns in einer dreidimensionalen Umgebung zurechtzufinden. Sobald unser Vorstellungsvermögen einigermaßen mit dem kartesischen Koordinatensystem vertraut ist, erweitern wir dieses noch um eine weitere Achse und können uns somit in alle erdenklichen Richtungen bewegen.

Dabei spielt die Orientierung der drei Raumachsen jedoch eine entscheidende Rolle. Es gibt nämlich sogenannte rechts- und linkshändige Koordinatensysteme. Auf den ersten Blick mag man vielleicht keinen großen Unterschied zwischen den beiden Varianten erkennen, aber wir können sie uns, wie der Name schon sagt, ganz einfach mit zwei Händen veranschaulichen. Dazu streckt man jeweils den Daumen, Zeige- und Mittelfinger aus und spreizt die drei so auseinander, dass jeweils ein kleines Koordinatensystem entsteht. Der Daumen stellt dabei die x-, der Zeigefinger die y- und der Mittelfinger die z-Achse dar, wobei diese meist rot, grün und blau gefärbt werden:

Merkhilfe für Links- & Rechtssystem (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Ein rechtshändiges System ist vor allem in der Wissenschaft und vermutlich deshalb auch im Schulunterricht gebräuchlich. Es ist mathematisch positiv, aber geodätisch negativ, d. h. gegen den Uhrzeigersinn orientiert. In diesem Fall stellen wir uns vor, dass wir ein zweidimensionales Koordinatensystem auf einem Blatt Papier vor uns liegen haben und es mit einer dritten Achse nach oben erweitern, sodass wir es frontal betrachten (Normalsicht).

Rechtssystem auf einem 200 Franken-Schein (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Ein linkshändiges System, hingegen, ist mathematisch negativ, aber geodätisch positiv, d. h. im Uhrzeigersinn orientiert. Dazu können wir uns vorstellen, dass wir ein zweidimensionales Koordinatensystem auf einem Bildschirm sehen, welches wir mit einer dritten Achse in das Display hinein erweitern, sodass wir es aus der Vogelperspektive betrachten (Draufsicht). Linkssysteme kommen unter anderem in der Geodäsie und bei Pixelgrafiken zum Einsatz, wobei im letzteren Fall die positive y-Achse nach unten zeigt.

So weit so gut, aber was genau ist jetzt das Besondere an den beiden Systemen? Immerhin können wir in beiden letzendlich die gleichen Dinge tun. Es kommt also eigentlich nur darauf an, welche Orientierung man bevorzugt. Die Eigenschaften mathematisch und geodätisch positiv bzw. negativ beruhen auf dem Drehsinn der Achsen (ähnlich wie bei der Drehrichtung von Gewinden von Schrauben). Um diesen zu ermitteln, schauen wir uns an, in welche Richtung wir den positiv bzw. negativ orientierten Richtungsvektor einer Achse drehen müssten, um auf dem kürzesten Weg zum entsprechenden Richtungsvektor der nächsten zu kommen.

Eine einfache Möglichkeit, um die Orientierung der Achsen rechnerisch festzustellen, ist das Spatprodukt (Skalarprodukt des Kreuzprodukts zweier Vektoren und eines dritten Vektors) ihrer positiven Richtungsvektoren zu bilden. Falls dieses positiv ist, handelt es sich um ein Rechtssystem und falls nicht, handelt es sich um ein Linkssystem.

Der wesentliche Unterschied zwischen einem Links- und einem Rechtssystem ist, dass wir das eine nicht ohne Spiegelungen in das andere überführen können. In anderen Worten: Wir können ein Rechtssystem so lange drehen, wie wir wollen, aber es wird trotzdem niemals ein Linkssystem daraus werden und umgekehrt. Das würde mathematisch gesehen nämlich einer nicht-zyklischen Vertauschung der Einheitsvektoren des entsprechenden Vektorraums entsprechen.

Viele Computerprogramme arbeiten mit Koordinatensystemen. Dabei gibt es anscheinend keinen einheitlichen Standard, aber durchaus eine Tendenz in Richtung Rechtssysteme. Zusätzlich dazu wird noch unterschieden, ob dabei die y- oder z-Achse nach oben zeigt. Ich habe mich informiert, welche Programme mit welcher Variante arbeiten und meine Erkenntnisse in Form einer Übersicht, die an jene von Ahmed Yasin Burul und Freya Holmér angelehnt ist, festgehalten (kein Anspruch auf Vollständigkeit):

 
Orientierung der Koordinatenachsen in verschiedenen Computerprogrammen* (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Derartige Software kommt beispielsweise in der Mathematik und den Naturwissenschaften, in der Architektur, beim 3D-Druck oder der 3D-Animation und im Game Design zum Einsatz. Personen, die verschiedene Programme verwenden, müssen sich unter Umständen mit Rechts- und Linkssystemen auseinandersetzen, da es unter anderem zu Darstellungsfehlern kommen kann, falls Dateien in unterschiedlichen Umgebungen bearbeitet werden. Mithilfe von Skripten können jedoch, unabhängig von der Orierntierung der Achsen, Transformationen durchgeführt werden, um die Koordinaten aus einem System in ein anderes zu übertragen und so etwaige Probleme zu vermeiden.

Johannes C. Huber (achtet beim Anwenden der Handregel darauf, nicht nur die z-Achse zu zeigen)

* Hier eine genaue Auflistung der Software in der Übersicht:
Rechtssysteme mit y-Achse oben: Adobe Substance 3D Painter, Autodesk Maya, Autodesk Softimage (früher XSI), Houdini, Minecraft, Modo, OpenGL, Roblox Studio, Verge3D
Rechtsysteme mit z-Achse oben: Archicad, Autodesk 3DS Max (war früher ein Linkssystem), Autodesk AutoCAD, Blender, Cryengine, Gam3d, GeoGebra, SketchUp, Ultimaker CURA, Valve Source²
Linkssysteme mit y-Achse oben: Lightwave 3D, Maxon Cinema 4D, Microsoft Direct3D/X, Unity, ZBrush
Linkssysteme mit z-Achse oben: Unreal Engine

Quellen:

• Rechts- und Linkssystem in Mathe online
• Koordinatentransformationen in Cinema 4D
• Unterschied zwischen Umgebungs- und Objektkoordinaten in Cinema 4D
  
• Koordinatensysteme in OpenGL
• Portieren von einem System in ein anderes in Direct3D
  
• Transformation über Parameter auf IN DUBIO PRO GEO
  
• Tabelle der Orientierungen in verschiedenen Programmen
•  

Der Rubel rollt bergauf

Thema: Geldstrafen und Logarithmen

Dieser Beitrag ist am 05.11.2024 auch im Standard erschienen.

Vor Kurzem wurde im Standard ein Artikel über die Höhe einer Entschädigungsauflage (in anderen Worten: Strafzahlung) berichtet, zu der Google von einem russischen Gericht verurteilt wurde. Dabei geht es um den atemberaubenden Betrag von umgerechnet ungefähr 20 Quintilliarden US-Dollar, welcher die gesamte auf der Welt verfügbare Geldmenge bei Weitem übersteigt.

Die Geldstrafe betrug ursprünglich 100 000 Rubel, was laut Artikel gerundet in etwa 1 025 US-Dollar entspricht.  Mithilfe einer einfachen Schlussrechnung können wir folgern, dass ein Rubel somit 0,01025 US-Dollar wert sein müsste. Dieser Betrag stimmt tatsächlich recht genau mit dem aktuellen Wechselkurs (Stand: 31.10.2024) von 0,01027 US-Dollar überein.

 Das signierte Andenken eines Couchsurfers, der vor ein paar Jahren bei unserem Autor zu Gast war, ist derzeit ungefähr einen US-Dollar wert. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Allerdings gilt der Zusatz, dass diese nach jeder Woche verdoppelt wird, und zwar grundsätzlich unbegrenzt. Doch wie viele Wochen sind seit der Ankündigung der Strafe bereits vergangen, um auf einen dermaßen abgehobenen Betrag zu kommen? Um das auszurechnen, basteln wir uns nun eine passende Formel. Um den Geldbetrag in US-Dollar einmal zu verdoppeln, multiplizieren wir ihn mit der Zahl zwei. Nach einer Woche, hat sich die Strafe also beispielsweise bereits auf 1 025 · 2 = 2 050 verdoppelt. Nach zwei Wochen auf 1 025 · 2 · 2 = 2 050 · 2 = 4 100 und so weiter.

Diese Überlegung können wir für jede weitere Woche fortsetzen, aber anstatt eine immer länger werdende Kette von Multiplikationen mit Zweiern aufzuschreiben, nutzen wir die Potenzschreibweise. Da wir es mit einer kontinuierlichen Verdopplung zu tun haben, wählen wir als Basis die Zahl zwei und als Exponent schreiben wir einen Platzhalter n für die gewünschte Anzahl der Wochen: 1 025 · 2ⁿ. Falls wir beispielsweise wissen möchten, wie hoch die Strafe nach acht Wochen ist, ersetzen wir einfach die Variable n mit der Zahl acht und sehen, dass sich die Strafe bereits auf 1 025 · 2⁸ = 1 025 · 256 = 262 400 erhöht hat.

Als Nächstes stellen wir eine Gleichung auf, die den aktuellen Sachverhalt darstellt. Wir wissen, dass die Höhe der Strafe mittlerweile etwa 20 Quintilliarden US-Dollar beträgt, also gilt:

1 025 · 2ⁿ = 20 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Wenn wir diese nach n auflösen, erhalten wir die Anzahl der Wochen, die vergangen sein müssten, um auf den aktuellen Betrag der Geldstrafe zu kommen. Dazu dividieren wir zunächst beide Seiten durch 1 025:

2ⁿ = 19 512 195 121 951 200 000 000 000 000 000

Im nächsten Schritt arbeiten wir mit Logarithmen. Aufgrund der Rechengesetze für Potenzen gilt:

ln(2) · n = ln(19 512 195 121 951 200 000 000 000 000 000)

Um nun die Zahl n auszurechnen, müssen wir lediglich beide Seiten durch den natürlichen Logarithmus der Zahl zwei dividieren. Ein handelsüblicher Taschenrechner wird damit aber aufgrund der schieren Größe der ursprünglichen Zahl auf der rechten Seite der Gleichung Probleme haben, weshalb wir uns mit Online-Tools wie beispielsweise Wolfram Alpha Abhilfe verschaffen können. Wir kommen so auf eine Näherungslösung von ungefähr 104 Wochen bzw. zwei Jahren**.

Johannes C. Huber (еще нужно попрактиковаться в кириллице)

* Wir könnten das Gleiche auch mit Rubel machen und würden so in weiterer Folge bei 100 000 · 2ⁿ = 1 951 219 512 195 120 000 000 000 000 000 000 000 landen. Das Resultat für n ändert sich dadurch jedenfalls nicht.

** Die neunmonatige Frist für die Erfüllung der Auflagen wurde hier nicht mit eingerechnet.

Wann läutet es, Herr Professor?

Thema: Wanduhren und Schulmathematik

Mit Beginn dieses Schuljahres habe ich den nächsten Schritt auf der schulischen Karrierleiter gewagt und darf nun als Klassenvorstand eine erste Klasse begleiten. Zu den vielen Aufgaben, die nicht dezidiert in meiner Jobbeschreibung stehen, zähle ich auch das Einrichten des Klassenraums. Da wir keine Uhr hatten, habe ich das als Anlass genommen, endlich eine von den unzähligen "mathematischen" zu besorgen:

Klassenuhr Version 1.0 (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Dekoelemente wie diese wecken im Idealfall gleich unsere Neugier à la "Ich weiß, dass an dieser Stelle jene Zahl stehen muss, aber warum?". Es gibt unzählige solche Ziffernblätter mit unterschiedlicher Komplexität im Internet zu finden. Ich habe mich für diese Variante entschieden, weil sie eine ausgewogene Mischung an Teilbereichen abdeckt und außerdem, meiner Meinung nach, einen gutes Mittelmaß zwischen einfacher und höherer Mathematik darstellt.

Ziffernblatt der Uhr (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die meisten Einträge auf der Uhr lassen sich mit Mathematik aus dem Schulstoff beantworten. Allerdings gehen manche davon ein wenig über die üblichen Themenbereiche hinaus:

• 1 (11. Schulstufe): Dazu müssen wir die sogenannte Eulersche Identität kennen:
  

  
  

  Aus der Gleichung ergibt sich, dass die Eulersche Zahl e hoch die Kreizahl Pi mal die imaginäre Einheit i die Zahl -1 ergibt. Die Gegenzahl dieses Ausdrucks ist somit 1.
  
• 2 (10. Schulstufe): Hier haben wir es mit einer unendlichen geometrischen Reihe zu tun. Das Sigma steht für eine Summe. Rechts davon steht der Term, der uns sagt, wie die Glieder der Reihe bzw. die Summanden beschaffen sind. Diese werden laufend zusammengezählt. Die Laufvariable i unter dem Sigma legt den Startpunkt (hier die Zahl 0) fest und die Lemniskate darüber bedeutet, dass wir diesen Prozess, zumindest theoretisch, unendlich lange fortsetzen. Das erste Glied der Reihe ergibt ein Ganzes, das zweite ein Halbes, das dritte ein Viertel, das vierte ein Achtel und so weiter. Die Zwischensumme wächst zwar immer weiter an, aber auch mit jedem Summand nur mehr halb so viel wie davor. Die ersten paar Zwischensummen lauten 1 - 1,5 - 1,75 - 1,875 - ... Der Grenzwert der Reihe, gegen die sie strebt, ist 2. Diesen Umstand können wir uns auch schön veranschaulichen:
  

  

• 3 (10. Schulstufe): Der natürliche Logarithmus zur Basis e (ln - logarithmus naturalis) der Zahl 21 ist 3,0445224377234229965005979803657... und kaufmännisch abgerundet ungefähr 3.
• 4 (10. Schulstufe): Der Logarithmus zur Basis 10 (lg - logarithmus generalis bzw. dekadischer Logarithmus) der Zahl 10 000, die hier vermutlich aus Platzgründen als Hochzahl geschrieben steht, ist die Zahl 4. Da es sich bei 10 000 um eine Potenz von 10 handelt, können wir stattdessen auch einfach die Anzahl der Nullen zählen.
  
• 5 (7. Schulstufe): Hier sehen wir das kleinste nichttriviale* pythagoräische Tripel als rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Kathetenlängen 3 und 4 veranschaulicht. Dabei handelt es sich um drei ganze Zahlen a, b und c, die zusammen den pythagoräischen Lehrsatz a² + b² = c² erfüllen. Die fehlende Zahl bzw. die Länge der Hypotenuse im Dreieck ist 5, da 3² + 4² = 5².
  
• 6 (11. Schulstufe): Diese Notation steht für eine dreielementige Menge A. Wir sollen die Anzahl der Permutationen, d. h. die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, um ihre (voneinander unterscheidbaren) Elemente anzuordnen, bestimmen. Das ist in diesem Fall auf 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 verschiedene Arten möglich, da es drei Auswahlmöglichkeiten für das erste Elemente gibt, zwei für das zweite und nur eine für das noch verbleibende. Zur Veranschaulichung: Angenommen die drei Elemente heißen x, y und z, dann lauten die Permutationen xyz, xzy, yxz, yzx, zxy und zyx.
  
• 7 (6. Schulstufe): Hierzu muss man wissen, dass ein Siebtel auch als die Dezimalzahl 0,142857... dargestellt werden kann. Der Kehrwert dieser Zahl ist also 7.
  
• 8 (7. Schulstufe): Die Kubikzahl bzw. dritte Potenz von 2 ist 8.
• 9 (5. Schulstufe): Hierbei dürfte es sich um ein sogenanntes magisches Quadrat handeln, in das wir die Zahlen von 1 bis 9 einsetzen müssen, um in jeder Zeile und Spalte die Summe 15 zu erhalten. Damit das auch entlang der Diagonalen funktioniert, müsste die Zahl 5 im Zentrum stehen. Allerdings wissen wir hier bereits, dass dort die 9 stehen muss. In diesem Fall gilt die Summe also nur für die Zeilen und Spalten. Das vollständig ausgefüllte magische Quadrat sieht dann so aus:
  

  

• 10 (6. Schulstufe): 9,999... ist eine andere Darstellung der Zahl 10. Eine Möglichkeit, um diesen Umstand plausibel zu machen, ist die Bruchdarstellung. 0,111... ist ein Neuntel als Dezimalzahl, also muss das Neunfache davon, nämlich 0,999... gleich neun Neuntel bzw. ein Ganzes sein. Somit ist in diesem Fall auch 9 + 0,999... = 9 + 1 = 10.
  
• 11 (7. Schulstufe): Die Quadratwurzel von 121 ist 11**.
  
• 12 (9. Schulstufe): Hierbei handelt es sich um die Zahl 12 in der Zahlendarstellung zur Basis 2 (Binärsystem), da 1 ⋅ 2³ + 1 ⋅ 2² + 0 ⋅ 2¹ + 0 ⋅ 2⁰ = 12.
  

Meine Erstklässler haben mich übrigens gleich damit konfrontiert, dass sie diese Uhr nicht lesen können. Das liegt allerdings nicht an der Beschriftung, sondern ganz einfach daran, dass sie sich noch schwer damit tun, analoge Uhren zu lesen. Ich habe nicht klein bei gegeben, weil es mir wichtig ist, dass sie auch diese Kulturtechnik beherrschen. Als Kompromiss, der hoffentlich auch zur allgemeinen Pünktlichkeit beiträgt, habe ich dann aber die alte Uhr aus meiner Wohngemeinschaft aufgehängt:

Klassenuhr 2.0 (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Auf dem Ziffernblatt habe ich den Kindern außerdem die Pausenzeiten in verschiedenen Farben aufgemalt, damit sie besser einschätzen können, wie viel Zeit sie noch haben. Sobald der Minutenzeiger den entsprechenden Kreisringsektor überquert hat, ist die jeweilige Pause vorbei. Bis jetzt funktioniert unser System vergleichsweise gut. Mit etwas Übung dürfte auch das Lesen der analogen Uhr kein Problem mehr darstellen und ich kann wieder eine mathematischere Variante aufhängen.

Herzlichen Dank für wertvollen Input von Sergey und Christina!

Johannes C. Huber (möchte irgendwann auch selbst ein mathematisches Ziffernblatt gestalten)

* Das kleinste triviale Tripel ist 0² + 0² = 0². Andere wären z. B. 1² + 0² = 1² und so weiter.

** An dieser Stelle möchte ich auf eine Fehlvorstellung in Zusammenhang mit dem Wurzelziehen hinweisen. Manchmal wird nämlich behauptet, dass jede reelle Zahl (außer 0) zwei Quadratwurzeln hat. Das hängt damit zusammen, dass wir diesen Sachverhalt als quadratische Gleichung angeben können. In diesem Fall ist neben 11 auch -11 eine Lösung der Gleichung x² = 121, da das negative Vorzeichen durch das Quadrieren verschwindet. So weit so richtig, doch die Quadratwurzel einer Zahl ist eindeutig als nicht negativ definiert. In anderen Worten: Auf die Frage, welche reelle Zahl quadriert werden muss, um eine bestimmte zu erhalten, gibt es (außer bei 0) zwei Antworten, aber auf die Frage, was die Quadratwurzel einer reellen Zahl ist, gibt es nur eine.

Stellenwertschreibweise mit dem Pumuckl

Thema: Kobolde und Stellenwerte

Als kurze Wiederholung der Stellenwertschreibweise von Dezimalzahlen, frage ich meine erste Klassen gerne, ob sie schon zu jung für den Pumuckl sind oder die Figur noch kennen. Anscheinend gab es über die Jahre ausreichend Serien- und Filmmaterial, sodass die meisten zumindest schon einmal von dem frechen Kobold gehört haben, der das Leben vom Schreinermeister Eder auf den Kopf stellt.

Der Pumuckl (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Nachdem geklärt ist, was der Pumuckl so treibt, konfrontiere ich sie mit dieser Aufgabe:

Der Pumuckl hat die Stellenwerte einer Zahl von klein nach groß sortiert.
Leider hat er die Reihenfolge falsch verstanden.

1ZT   2M   3Z   4ZM   5E   6HT   7T   8HM   9H

1. Was ist hier schiefgelaufen? Erkläre den Denkfehler!
2. Wie heißt die Zahl? Schreib sie auf!

Meister Eder hat ihm dann erklärt, dass die richtige Reihenfolge mit den Buchstaben zu tun hat.
Also hat er es noch einmal versucht.

9E   2H   1HM   9HT   5Md   6T   9Z   7ZM   8ZT

1. Was ist hier schiefgelaufen? Erkläre den Denkfehler!
2. Wie heißt die Zahl? Schreib sie auf!

Bei der ersten Aufgabe schauen wir vorrangig darauf, dass die Kinder die richtige Reihenfolge der Stellenwerte im Kopf haben und die Zahl anschließend in Dreierpaketen (Einer, Tausender, Millionen, etc.) aufschreiben, damit sie gut lesbar ist. Bei der zweiten Aufgabe achten wir auch darauf, ob sie berücksichtigen, dass keine Millionen angegeben sind und bei diesem Stellenwert eine Null aufschreiben.

Johannes C. Huber (hat die Stimme vom Pumuckl immer als furchtbar nervig empfunden)

Lösungen:
Beim ersten Mal hat er stattdessen die Ziffern der Stellenwerte von klein nach groß bzw. in aufsteigender Reihenfolge geordnet.
Richtig sortiert wäre es 8 HM   4ZM   2M   6HT   1ZT   7T   9H   3Z   5E und als Zahl: 842 617 935.

Beim zweiten Mal hat er stattdessen die Kürzel der Stellenwerte von A bis Z bzw. in alphabetischer Reihenfolge geordnet.

Richtig sortiert wäre es 5Md   1HM   7ZM  9HT   8ZT   6T   2H   9Z   9E und als Zahl: 5 170 986 299.

Einfach bei 0,625 anläuten

Thema: Türschilder und Bruchrechnung

Bei einer Fortbildung für das Unterrichtsfach Mathematik wurde uns ein Online-Rechner vorgestellt, mit dem man Aufgaben lösen kann, die auf Bildern zu sehen sind. Wie wir spätestens seit ChatGPT wissen, ist jedoch nicht alles Gold, was glänzt. Also habe ich mir den Spaß gemacht und ausprobiert, was das Programm alles als Rechnung interpretiert und bin auf ein paar nette Funde gestoßen.

In diesem Beitrag geht es um das Thema Bruchrechnung im Allgemeinen und Doppelbrüche im Speziellen. Ich habe nämlich unter anderem das Bild eines Türplans aus dem Eingangsbereich in einem Wohnhaus hochgeladen, um zu überprüfen, ob das Programm die Angaben als Doppelbrüche interpretiert und ausrechnet. Das Ganze hat dann auch wie erwartet funktioniert:

Der Mathe-Löser in Microsoft Edge im Einsatz. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Ich habe mir den Spaß gemacht, eine entsprechende Installation vorzunehmen:

Der freundliche Mathematiker aus der Nachbarschaft hat wieder zugeschlagen. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Johannes C. Huber (hofft, dass die Hausgemeinschaft es als Kunst und nicht als Vandalismus sieht)