Mathemagische Kartentricks Teil 2

Thema: Kartentricks und Zahlensysteme

Im Rahmen meiner Masterarbeit beschäftige ich mich mit dem Einsatz mathemagischer Kartentricks im Schulunterricht. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

In diesem Beitrag möchte ich einen Trick namens "The name of the card is..." vorstellen, den Michael E. Matthews in einem Artikel erläutert. Obwohl ich die gewissermaßen poetische Herangehensweise bei der Gestaltung des Tricks bewundere, hat mich bei der englischsprachigen Originalversion gestört, dass einer der Buchstaben nur mithilfe eines Tricks zum Vorschein kommt, weil statt einem zweiten T bei "TEN OF HEARTS" ein Ī verwendet wird, indem man einen Strich über das I schreibt. Ich habe mir deshalb eine deutschsprachige Version überlegt, bei der das nicht nötig ist.

Bevor der Trick vorgeführt wird, muss das Karo Ass an der achtzehnten Position des Kartenstapels liegen. Nun erzählen wir dem Publikum, dass wir vorhersagen können, welche Karte später aus dem Deck gezogen wird. Diese Vorhersage schreiben wir auf ein Stück Papier, das wir anschließend in einen Umschlag oder in eine Box geben. Als Nächstes soll sich jemand aus dem Publikum eine dreistellige Zahl mit drei unterschiedlichen Ziffern aussuchen. Danach sollen die größt- und die kleinstmögliche Zahl mit den drei Ziffern der Zahl gebildet werden. Anschließend wird die kleinere Zahl von der größeren subtrahiert und zum Schluss wird die Quersumme vom Ergebnis gebildet.

Wir schauen uns das am Beispiel der Zahl 231 an. Die größtmögliche Zahl, die wir mit den drei Ziffern bilden können, ist 321 und die kleinstmögliche 123. Wir rechnen also 321 - 123 und erhalten die Differenz 198. Die Ziffernsumme des Ergebnisses ist 1 + 9 + 8 = 18. Nun zieht die Person aus dem Publikum also die Karte an dieser Position aus dem Deck. Dabei muss darauf geachtet werden, dass zunächst nur das Publikum die Karte sehen kann.

Um zu überprüfen, ob wir richtig getippt haben, nimmt die Person anschließend die Vorhersage aus dem Umschlag und liest sie laut vor. Unglücklicherweise klingt diese recht kryptisch: DIESE KARTE IST OFTMALS EINS. Wir helfen ein wenig nach, indem wir ein paar der Buchstaben durchstreichen:  DIESE KARTE IST OFTMALS EINS. Bei der gezogenen Karte handelt es sich also um das Karo Ass.

 Diese Karte ist oftmals eins. (Bildquelle: Freepik)

Der Grund dafür, dass der Trick funktioniert, hängt mit unserem Zahlensystem zusammen. Wir können jede Dezimalzahl a_n…a₂a₁a₀ in erweiterter Notation als Polynomfunktion aufschreiben können:

10ⁿa_n + … + 10²a₂ + 10¹a₁ + 10⁰a₀ = 10ⁿa_n + … + 100a₂ + 10a₁ + a₀

Wir können also eine beliebige dreistellige Zahl a₂a₁a₀ stattdessen als 100a₂ + 10a₁ + a₀ schreiben. Wenn wir nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon ausgehen, dass diese bereits die größtmögliche ist, die wir mit den drei verschiedenen Ziffern a₂, a₁ und a₀ bilden können, dann ist 100a₀ + 10a₁ + a₂ dementsprechend die kleinstmögliche. Wir bilden nun die Differenz der beiden Zahlen und erhalten als Ergebnis 100a₂ + 10a₁ + a₀ - (100a₀ + 10a₁ + a₂) = 100a₂ + 10a₁ + a₀ - 100a₀ - 10a₁ - a₂ = 99(a₂ - a₀). Die einzigen möglichen Werte für (a₂ - a₀) sind die Zahlen von zwei bis neun, d. h. die einzigen möglichen Ergebnisse sind 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 und 891, weshalb die Ziffernsumme in jedem Fall gleich 18 ist und dadurch immer die Karte an der entsprechenden Position gezogen wird.

Im Zuge einer Erprobung in der Schule kam auch die Frage auf, ob man nicht einfach einen Satz formulieren kann, bei dem es gar keine Rolle spielt, um welche Karte es sich handelt, damit man sich die Vorbereitung sparen kann. Ich habe mich deshalb auf die Suche nach einem solchen Satz gemacht und mir dabei ein paar durchaus ambitionierte Ziele gesetzt:

1. Der Satz klingt zumindest halbwegs natürlich, ist grammatikalisch richtig und möglichst kurz.
   
2. Jeder benötigte Buchstabe kommt tatsächlich im Satz vor, d. h. wir müssen nicht schummeln, indem wir beispielsweise zusätzliche Striche einfügen oder Zeichen miteinander kombinieren.
3. Jede Karte des Decks ist unverändert im Satz versteckt, d. h. die jeweils benötigten Buchstaben können in der richtigen Reihenfolge gefunden werden.

Als Ausgangsbasis für meine weitere Vorgehensweise schauen wir uns zunächst einen vergleichsweise unspannenden Satz an, in dem alle Spielfarben explizit genannt werden: "Diese Karte ist entweder Pik, Herz, Kreuz oder Karo." Die Kartenfarbe Karo ist hier am einfachsten zu verstecken, weil im Wort "Karte" bereits drei der vier dafür nötigen Buchstaben vorkommen. Wir können den vierten und letzten Buchstaben ergänzen, indem wir statt "Karo" ein anderes Wort hinzufügen: "Diese KARte ist Offensichtlich entweder Pik, Herz oder Kreuz."

Im nächsten Schritt verstecken wir die Farbe Herz: "Diese Karte HiER ist ganZ offensichtlich entweder Pik oder Kreuz.", danach die Farbe Kreuz: "Diese KaRtE hier Unten ist ganZ offensichtlich Pik." und schließlich noch die Farbe Pik, indem wir den Satz ein wenig poetischer formulieren: "Diese PIttoresKe Karte hier unten ist ganz offensichtlich...". Es ist also im Grunde gar nicht so schwierig, die Begriffe in einem Satz zu verstecken, aber wenn das für alle siebzehn Begriffe* funktionieren soll, gestaltet sich die Sache schon ein bisschen schwieriger.

Es hat lange gedauert, aber nach etlichen Umformulierungen bin ich schließlich fündig geworden und ich denke, das Ergebnis kann sich sehen lassen. Der folgende Satz enthält zunächst einmal alle nötigen Buchstaben für die vier Spielfarben und ist sogar noch ein wenig kürzer als der vorherige: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos." Wenn wir diesen anschließend mit einem Nebensatz ergänzen, können wir tatsächlich alle 52 Karten des Decks einbauen:

Ass: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem ZAhlenwert entSprechen und oftmalS dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Zwei: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem ZahlenWErt entsprechen und oftmals dürfte sIe auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Drei: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals DüRfte sie auch EIn farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Vier: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges BildmotiV zIERen."

Fünf: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oFtmals dÜrfte sie auch eiN Farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Sechs: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entSprECHen und oftmalS dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Sieben: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn SIE könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zierEN."

Acht: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie AuCH ein farbenfreudiges BildmoTiv zieren."

Neun: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert eNtsprEchen UNd oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Zehn: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprEcHeN und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Bube: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farBenfreUdiges Bildmotiv ziEren."

Dame: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals Dürfte sie Auch ein farbenfreudiges BildMotiv ziEren."

König: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie KÖNnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudIGes Bildmotiv zieren."

Ich gehe einerseits davon aus, dass der Satz unter Umstämden auch noch weiter gekürzt werden kann, und andererseits, dass es wahrscheinlich noch viele weitere, möglicherweise natürlicher klingende und auch kürzere, Sätze mit den nötigen Buchstaben gibt. Selbstverständlich macht ein solcher Satz den eigentlich spannenden, weil mathematischen Teil des Tricks obsolet, aber dafür kann er auch in Verbindung mit anderen Vorhersagetricks eingesetzt werden.

Johannes C. Huber (schätzt vor allem die mathematische Funktionsweise des Tricks)

* Wir benötigen zuerst die vier Spielfarben Pik, Herz, Kreuz und Karo, gefolgt von den dreizehn Rängen Ass, Zwei, Drei, Vier, Fünf, Sechs, Sieben, Acht, Neun, Zehn, Bube, Dame und König in jeweils beliebiger Reihenfolge.

Das kleine sechs mal sieben

Thema: Spielkarten und Multiplikation

Viele Lehrpersonen beklagen, dass die Kinder in der Volksschule die Malreihen nicht mehr ausreichend üben. Uns fällt beispielsweise auf, dass manche von ihnen bei Schularbeiten immer noch mit den Fingern zählen. Leider kostet sie das in der Regel unverhältnismäßig viel Zeit, die ihnen dann bei der Bearbeitung anderer Aufgaben fehlt. Es ist also wichtig, dass wir einfache Multiplikationen ohne langes Nachdenken im Kopf lösen können, damit ausreichend Rechenleistung für schwierigere Probleme übrig bleibt.

Der griechische Mathematiker Euklid soll einst gesagt haben: "Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik." und wollte damit zum Ausdruck bringen, dass wir gewisse Fähigkeiten nur durch ausreichend Übung erlangen können. Das gilt insbesondere für die Grundlagen, die wir in der Volksschule lernen und auf denen alles weitere fußt. Deshalb werden auch heute noch trotz Taschenrechnern, Tablets und seit geraumer Zeit auch KI die Malreihen auswendig gelernt.

Manchen Kindern macht das durchaus Spaß, aber andere empfinden es als Qual, weil sie sich so viele Zahlen merken müssen. Doch wie viele verschiedene Rechnungen sind eigentlich nötig, um das kleine Einmaleins zu beherrschen? Wie wir gleich sehen werden, geht die Antwort auf diese vermeintlich einfache Frage über den Stoff der Volksschule hinaus.

Eine Kollegin wollte zu Beginn des Schuljahres herausfinden, wie gut die Kinder aus ihrer ersten Klasse mit dem Multiplizieren zurechtkommen. Dafür hat sie entsprechende Rechnungen auf kleine Karteikarten geschrieben und jedem Kind dieselben gegeben, indem sie diese nacheinander aufgedeckt hat. Ich fand die Idee toll und wollte mir selbst solche Karten basteln. Zufälligerweise habe ich sogar ein Deck mit leeren Spielkarten zum selbst Gestalten herumliegen, das sich perfekt dafür eignet:

Spielkartenrohlinge (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Der Vollständigkeit halber wollte ich ein Deck haben, in dem alle Multiplikationen des kleinen Einmaleins vorkommen. Dieses besteht aus insgesamt 10 · 10 = 100 Rechnungen, weil jede Zahl von eins bis zehn für ihre jeweilige Malreihe nochmal mit eins bis zehn multipliziert wird:

Das Problem ist allerdings, dass mein Deck nur aus 45 statt der üblichen 52 Karten besteht, d. h. selbst dann, wenn ich die Vorder- und Rückseiten beschrifte, wären es immer noch 10 Multiplikationen zu wenig. Ich muss mir also eine andere Möglichkeit überlegen, wie sich das ausgehen könnte. Glücklicherweise gibt es eine nützliche Eigenschaft der Multiplikation, die wir bereits in der fünften Schulstufe genauer kennenlernen: Das sogenannte Kommutativ- oder auch Vertauschungsgesetz. Da es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge wir die Faktoren aufschreiben, sind es in Wirklichkeit wesentlich weniger voneinander unterscheidbare Multiplikationen.

Wenn wir mit der Einserreihe beginnen, sind es zunächst einmal zehn unterschiedliche Rechnungen, aber eine Rechnung der Zweierreihe, und zwar 1 · 2, kommt bereits als 2 · 1 in der Einserreihe vor und kann deshalb weggelassen werden. Die beiden Rechnungen 1 · 3 und 2 · 3 der Dreierreihe kommen als 3 · 1 und 3 · 2 in der Einser- bzw. Zweierreihe vor und so weiter. Für die Berechnung der entsprechenden Anzahl bietet sich die Gaußsche Summenformel an: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 5 · 11 = 55:

Kommutativität reduziert wir die Menge der Rechnungen im kleinen Einmaleins auf fast die Hälfte...

Wir haben aber noch nicht das Ende der Fahnenstange erreicht. Wenn wir uns stattdessen die Ergebnisse anschauen, fällt uns auf, dass viele Multiplikationen des kleinen Einmaleins auf dasselbe hinauslaufen:

...und Primfaktoren reduzieren sie noch weiter auf die Antwort nach dem Leben, dem Universum und allem.

In der sechsten Schulstufe lernen wir, dass die meisten Zahlen aus Primfaktoren zusammengesetzt sind. Falls wir uns also nur auf einzigartige Ergebnisse beschränken, bleiben noch 42 voneinander unterscheidbare Multiplikationen, die wir mithilfe der Potenzschreibweise, die wir in der siebten Schulstufe kennenlernen, recht kompakt aufschreiben können:

Die wirklichen Multiplikationen des kleinen Einmaleins.

Ich habe mich im Endeffekt dafür entschieden, die Vorder- und Rückseiten der Karten mit den beiden Varianten der jeweiligen Multiplikation zu beschriften und dabei den überwiegenden Teil der Einserreihe wegzulassen, weil sie keine große Herausforderung darstellt. Da außerdem die Reihenfolge bei den zehn Quadratzahlen ohnehin keinen Unterschied macht, habe ich sie jeweils in Zweierpaaren auf fünf Karten untergebracht, wodurch mir sogar ein paar Karten als Ersatz übrig geblieben sind.

Johannes C. Huber (freut sich darauf, die Karten in der Praxis zu testen)

Mathemagische Kartentricks Teil 1

Thema: Kartentricks und Maßangaben

Im Rahmen meiner Masterarbeit beschäftige ich mich mit dem Einsatz mathemagischer Kartentricks im Schulunterricht. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

Als ich ich einige Tricks im Rahmen der MINT-Tage an meiner Schule mit einer siebten Klasse ausprobiert habe, hat mir ein Schüler als Feedback mitgegeben, dass er sich einen einfachen Kartentrick gewünscht hätte, der schnell durchgeführt werden kann und einen Wow-Effekt erzielt. Ich habe darauf erwidert, dass ich einen parat hätte, der allerdings ein wenig Vorbereitung benötigt und deshalb (noch?) kein Teil des Workshops ist. Nun wird er nachgeliefert.

Morgan & Ginther (1994) erläutern unter anderem den topologischen Kartentrick "The card that turns inside out", bei dem eine Karte auf die andere Seite gestülpt wird. Die Erklärung der tatsächlichen Funktionsweise des Tricks geht zwar weit über den Lehrplan hinaus, aber die Vorbereitung der dafür nötigen Requisite kann theoretisch bereits in der fünften Schulstufe gelingen. Dafür sind lediglich genaues Arbeiten mit dem Lineal sowie Kenntnisse über Längenmaße (mm und cm) und Parallelität vonnöten.

Beispiel: 8,4×6 cm Karte (Bildquelle: Freepik)

Bei der Vorbereitung der Requisite wird eine Spielkarte unbrauchbar gemacht, weil wir sie zunächst entlang der beiden horizontalen und vertikalen Linien falten (siehe Abbildung). Anschließend schneiden wir sie bei den drei durchgehend markierten Linien in der Mitte ein, sodass eine Art Klappe entsteht. Um unser Kartendeck zu verschonen, können wir stattdessen aber auch einfach auf ein Stück Papier ausweichen. Wichtig ist dabei nur, dass die beiden Seiten unterschiedlich gestaltet sind.

In der Abbildung erkennen wir möglicherweise bereits, welche Bedingungen erfüllt sein müssen:

1. Die beiden Abschnitte links und rechts der vertikalen Faltlinien sind gleich breit. Dazu können wir das Rechteck zuerst einmal vertikal falten, um die Mitte zu finden und anschließend die beiden Seiten, ähnlich wie bei manchen Papierfliegern, zur Mitte hineinfalten. So stellen wir sicher, dass die Breite der Klappe in der Mitte gleich lang ist wie die beiden seitlichen Abschnitte zusammen und diese anschließend durchpassen.
   
2. Die Länge der Karte wird in drei gleich lange Abschnitte geteilt. Hierbei kann noch einmal nachgemessen werden, um sicherzugehen, dass die Öffnung in der Mitte lang genug ist.
   

Die meisten Spielkarten sind ungefähr neun Zentimeter lang und sechs Zentimeter breit, aber um sicherzustellen, dass es nachher nicht zu Problemen kommt, sollten wir vorsichtshalber genau nachmessen. Ich empfehle, bei den Maßen für die Breite und Länge der Klappe in der Mitte lieber ein bisschen mehr Spielraum zu lassen, damit die gefalteteten Seiten der Karte anschließend gut durchpassen. Ich habe ein Geogebra-Applet erstellt, mit dem man sich die Maße für alle Spielkarten bis zu sieben Zentimetern Breite und zehn Zentimetern Länge anzeigen kann.

Falls Lernende Schwierigkeiten mit der Handhabung von Lineal oder Geodreieck haben, kann eine vorgefertigte Schablone hilfreich sein. Es wäre auch denkbar, die Lernenden stattdessen eine Anleitung für die Herstellung der Requisite schreiben zu lassen, um zu überprüfen, ob sie die notwendigen Arbeitsschritte in eine sinnvolle Reihenfolge bringen können. Dabei kann gegebenenfalls auch bereits mit Variablen gearbeitet werden, indem man die Länge der Schnitte in Abhängigkeit von den beiden Seitenlängen angibt. Am Ende sollte die Requisite jedenfalls in etwa so aussehen:

Dieses Exemplar kam bereits ein paarmal zum Einsatz. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Wir können nun zeigen, dass es möglich ist, die Karte durch die Öffnung von einer Seite auf die andere zu drehen, ohne dabei das abstehende Stück in der Mitte loszulassen. Die Durchführung des eigentlichen Tricks lässt sich wesentlich einfacher mit Bildern als mit Worten erklären:

Ablauf der Arbeitsschritte (Bildquellen: Johannes C. Huber)

Es ist trivialerweise genauso möglich die Schritte umzukehren, um die Karte wieder auf die ursprüngliche Seite zurück zu drehen, aber richtig verwirrend wird es für das Publikum, wenn man den Trick mehrmals mit unterschiedlichen Orientierungen oder sogar einhändig vorführt.

Johannes C. Huber (hatte glücklicherweise eine einzelne Spielkarte für die Requisite übrig)

Ein Tag mit mehr als 24 Stunden

Thema: Zeitzonen und Intervalle

Am 31. Dezember 2024 hat der Standard einen Artikel mit einer Weltkarte veröffentlicht, auf der zu sehen war, welche Staaten in Abhängigkeit von der jeweiligen Zeitzone bereits im neuen Kalenderjahr 2025 angekommen sind. Diese wurde laufend aktualisiert bis schlussendlich auch in den letzten verbleibenden Regionen die Mitternachtsgrenze überschritten wurde.

Im Zuge des Beitrags kam auch die Frage auf, wie lange man theoretisch Neujahr feiern kann. Nach einer kurzen Überlegung würde man wahrscheinlich vermuten, dass bis zu 24 Stunden möglich sind und die Begründung ist denkbar einfach: Wir warten den Jahreswechsel an einem Ort auf der Erde ab und reisen danach an einen anderen, an dem dieser noch nicht stattgefunden hat. Vorausgesetzt zu diesem Zeitpunkt sind noch Zeitzonen übrig, in denen der 31. Dezember noch nicht vorbei ist.

Aber noch ist das Ende der Fahnenstange nicht erreicht, denn obwohl wir womöglich davon ausgehen würden, dass das Zeitintervall auf der Erde ganz einfach 24 Stunden umfasst, gibt es eine kleine Besonderheit mit der sich sogar noch ein wenig mehr herausholen lässt. Dazu suchen wir jene Orte, deren Uhrzeiten sich am meisten voneinander unterscheiden. Da die internationale Datumgsrenze durch den pazifischen Ozean verläuft, werden wir dort fündig.

Wir betrachten zwei Extremfälle: Die Insel Kiritimati (UTC +14), welche ein Teil der Linieninseln ist, die zu Kiribati gehören und die Howlandinsel (UTC -12), die zu den Außengebieten der Vereinigten Staaten zählt. Zwischen den beiden Inseln liegen nur 2135 Kilometer (das entspricht in etwa fünf Prozent des Erdumfangs), während der Zeitunterschied aufgrund der Zeitzonen in Summe ganze 26 Stunden beträgt.

Wir können uns die Zeitzonen als Punkte auf einer Zahlengerade mit dem Nullpunkt UTC ±0 vorstellen. Die Länge des Intervalls bzw. der Zeitunterschied zwischen seinen beiden Enden ist die Summe ihrer Beträge, d. h. ihre Abstände zum Nullpunkt: |+14| + |-12| = 14 + 12 = 26. Um diese Überlegung besser nachvollziehen zu können, habe ich sie auch mit einer Tabelle veranschaulicht:

Übersicht der Uhrzeiten und Daten von UTC -12 bis +14 (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Wir können also z. B. 00:00 Uhr am ersten Jänner auf den Linieninseln mit der Uhrzeit auf der Howlandinsel vergleichen und sehen, dass mehr als ein Tag dazwischenliegt. Im Artikel wird zwar amerikanisch Samoa (UTC -11) statt der unbewohnten Howlandinsel als Vergleich herangezogen, aber jedenfalls richtigerweise erwähnt, dass es in der Theorie möglich ist, an ständig wechselnden Orten auf der Erde vom 31. Dezember vormittags bis 1. Jänner mittags durchgehend Silvester zu feiern.

Manche Menschen äußern hin und wieder den Wunsch nach einem Tag mit mehr Stunden, weil gefühlt zu wenig Zeit für verschiedene Dinge bleibt. Unabhängig von einer Neujahrsfeier habe ich mir nun ernsthaft die Frage gestellt, wie lange wir die Dauer eines Tages ausdehnen können, sprich: Wie viel Zeit können wir maximal im gleichen Datum verbringen?

Angenommen wir starten um 00:00 Uhr am frühestmöglichen Ort (Linieninseln) und reisen danach in Richtung Westen kontinuierlich dem Tagesbeginn hinterher. Wir ignorieren in diesem Fall den Umstand, dass die Zeitzonen nicht stetig sondern diskret sind und gehen davon aus, dass es bis zum bis zum letztmöglichen Ort (Howlandinsel) konstant 00:00 Uhr ist. Bis dahin sind bereits 26 Stunden vergangen. Nun bleiben wir einfach dort, bis der Tag vorbei ist und bekommen so noch einmal fast 24 Stunden dazu.

Dadurch wächst die Verweildauer auf insgesamt fast 50 Stunden an. Lässt sich diese Vorgehensweise beliebig oft wiederholen? In anderen Worten: Können wir im Extremfall zwei Jahre erleben, obwohl laut Datum nur ein Jahr vergangen ist? Uns dürfte recht schnell klar werden, dass das nicht funktioniert, weil wir zwar ein Datum mehr als doppelt so lange erleben können, aber danach nur drei Möglichkeiten für unsere weitere Vorgehensweise haben:

1. Wir bleiben wo wir sind. In diesem Fall werden die Kalendertage ganz normal weitergezählt und es bleibt bei knapp 26 Stunden extra, d. h. wir könnten so theoretisch mehr als 366 (bzw. 367) Tage Zeit in einem Kalenderjahr mit 365 (bzw. 366) Tagen verbringen.
   
2. Wir bewegen uns zurück Richtung Osten. Dadurch machen wir allerdings die bisherigen Schritte wieder rückgängig und landen früher im darauffolgenden Datum.
3. Wir bewegen uns noch weiter Richtung Westen. Da es jedoch keinen zusätzlichen Spielraum mehr gibt, landen wir bereits im übernächsten Datum und haben somit eines übersprungen.

Zumindest in Bezug auf die Zeitdauer wären also ein 48 Stunden-Tag und in weiterer Folge eine acht Tage-Woche möglich. Genauso lässt sich auch ein Datum einfach überspringen. Die vergangene Zeit bleibt am Ende jedoch trotzdem gleich, d. h. echte Reisen in die Vergangenheit lassen sich damit nicht bewerkstelligen. Derartige Überlegungen eignen sich aber hervorragend dazu, das Hirn fit zu halten.

Johannes C. Huber (empfiehlt mehr Denksport als Neujahrsvorsatz)

Krumme Statistiken

Thema: Bananen und Prozentrechnung

Ich habe Anfang Dezember eine Fortbildung zum Thema "Globale Ernährung" besucht. Dort wurden unter anderem verschiedene Unterrichtsmethoden vorgestellt, die wir auch selbst ausprobieren konnten. Bei einer davon ging es um die Zusammensetzung der Kosten einer handelsüblichen Banane, sprich: welcher prozentuelle Anteil des Verkaufspreises an wen geht:

Das ausgefüllte Arbeitsblatt des Autors. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Gegen Ende der Veranstaltung wurde uns dann die Musterlösung offenbart:

• Löhne: 6,7 %
• Produktion: 6,1 %
  
• Großhandel & Reifereien: 11,4 %
  
• Einzelhandel: 23,9 %
  
• Zoll: 11,8 %
• Import: 23,9 %
  
• Export: 5,5 %

Da mir die Abbildung bekannt vorkam, habe ich im Anschluss ein bisschen recherchiert, welches Datenmaterial als Grundlage verwendet wurde und bin schon nach kurzer Zeit fündig geworden. Die Prozentsätze basieren auf Berechnungen von BASIC (Bureau d'Analyse Sociétale pour une Information Citoyenne) aus dem Jahr 2014 und dazu passende Grafiken gibt es in vielen unterschiedlichen Ausführungen im Internet. Die Wissenschaftsjournalistin Sarah Zierul hat sie beispielsweise für ihr Buch Billig. Billiger. Banane. Wie unsere Supermärkte die Welt verramschen. aus dem Jahr 2015 verwendet:

Eine Abbildung ohne nähere Quellenangabe im oben genannten Buch. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Ich bin mir auch ziemlich sicher, dass ich die zugehörigen Rohdaten ausfindig machen konnte und habe außerdem noch einige weitere Abbildungen analysiert, bei denen ähnliche Aufteilungen vorgenommen werden. Allerdings stammen die neuesten Datensätze höchstens aus dem Jahr 2015. Bei den anderen konnte ich diesbezüglich leider keine Angaben finden. Aber das spielt wahrscheinlich gar keine allzu große Rolle, weil die Prozentsätze in den meisten Fällen mehr oder weniger übereinstimmen.

Bei derartigen Grafiken soll in erster Linie eine Botschaft transportiert werden und in diesem Fall geht es vor allem darum zu betonen, wie ungleich die Verteilung ist. Schließlich kommt jenen Menschen, die tatsächlich für den Anbau und die Ernte zuständig sind, nur ein vergleichsweise geringer Anteil zu. Aus mathematischer Sicht ist allerdings zu kritisieren, dass sich die Stücke einer Banane bzw. ihre zweidimensionalen Flächen nicht für eine derartige Veranschaulichung eignen, weil die Frucht an den Enden schmaler ist, wie im Extremfall an einem Beispiel wie diesem gut ersichtlich sein sollte:

Veranschaulichung nur scheinbar gleich großer Anteile (Bildquelle: abgeändert nach DGB einblick 07/15)

Diese Abbildung stammt aus einem Infoschreiben des deutschen Gewerkschaftsbundes. Vermutlich wurde hier nicht etwa die Fläche, sondern lediglich die Länge der Stücke als Vergleichskriterium herangezogen und selbst das ist nicht einwandfrei gelungen. So sind beispielsweise drei Stücke, die jeweils vier Prozent entsprechen, aneinandergereiht immer noch länger als ein zwölf Prozent-Stück. Das Gleiche gilt auch für die zwanzig Prozent Ganz abgesehen von der Tatsache, dass ihre Flächen nicht einmal ansatzweise jene des vermeintlich gleich großen Stücks abdecken.

Finde die Fehler. (Bildquelle: abgeändert nach Diercke)

Noch absurder wird das bei diesem Beispiel aus einem Schulatlas: Wenn wir ein Stück, das acht Prozent entsprechen soll, in ein anderes hineingeben können, das nur fünf Prozent entspricht, dürfen wir es mit der Geometrie wohl nicht allzu genau nehmen. In diesem Fall kann auch nicht die Länge als Ersatzmaß dienen, da acht Prozent wahlweise gleich lang wie fünf oder dreizehn Prozent erscheint.

Mir geht es jedoch weder darum, Schulbuchverlage anzupatzen, noch darum, diese Schieflage bei der Verteilungsgerechtigkeit schönzureden. Ich will lediglich darauf aufmerksam machen, dass gewisse Design-Entscheidungen mit Vorsicht zu genießen sind. Immerhin entsteht in Abbildungen wie diesen der Eindruck, dass die Ausprägung noch stärker ist, als die Berechnungen ergeben haben.

Nichtsdestotrotz werde ich in meinem Unterricht davon Gebrauch machen, Bananen zur Veranschaulichung zu nutzen. Das Tolle daran ist nämlich, dass man diese Zerlegung natürlich auch mit echten Früchten machen kann. Die Kinder bekommen dafür von mir in Zweierteams jeweils eine solche gepaart mit einem Buttermesser, wodurch sich die Verletzungsgefahr in Grenzen halten sollte, sowie einen Schmierzettel als Unterlage. Ich beispielsweise habe für derartige Zwecke einen Stapel Papier bei meinem Arbeitsplatz liegen, auf den ich u. a. einseitig bedruckte Fehldrucke, nicht benötigte Kopiern, etc. ablege.

Anschließend sollen sie die Banane entsprechend ihrer Vermutung in die sieben Stücke zerschneiden, bevor die Auflösung durch die Lehrperson kommt. Dabei soll die Länge eines Stücks den jeweiligen Anteil der Stakeholder widerspiegeln, d. h. wir ignorieren das oben beschriebene Problem der ungleich geformten Frucht und nutzen stattdessen den Vorteil einer einprägsameren Methode, bei die Lernenden nicht nur zuhören und schreiben, sondern auch selbst etwas tun müssen:

Eine weniger klebrige Alternative wäre, stattdessen mit Centmünzen zu arbeiten. Allerdings müsste die Lehrperson dafür Kleingeld in Klassenstärke bereitstellen, was nicht allzu praktikabel erscheint. In diesem Fall würde ich stattdessen empfehlen einen fiktiven Kaufpreis zu nennen, von dem die Lernenden dann entsprechende Teilbeträge abzwacken und diese aufschreiben (wir ignorieren in diesem Fall den Umstand, dass es um einen Kilopreis und nicht um einen Stückpreis geht - wie z. B. hier).

Die beiden Varianten könnten auch miteinander kombiniert werden. Ich erachte sie als altersadäquat für die fünfte Schulstufe, da es in beiden Fällen kein Problem darstellt, wenn die Kinder noch keine Prozentrechnung kennen. Selbstverständlich müssen jedoch Begriffe wie Import, Export, etc. im Vorhinein erläutert werden, damit klar ist, was zugeordnet werden soll. Vielleicht bleibt danach ja sogar noch Zeit, um zu thematisieren, wie mit fehlerbehafteten Veranschaulichungen getrickst werden kann.

Johannes C. Huber (hat nun auch als Lehrer in der Schule jeden Tag eine Banane als Jause dabei)