Eine affige Aufgabe

Thema: Bananen und Gleichungssysteme

Einer meiner Vorsätze für dieses Jahr ist, meinen Internetkonsum besser im Griff zu haben, da ein maßgeblicher Teil der Zeit, die ich auf verschiedenen Plattformen verbringe, vermutlich anderweitig besser investiert wäre. Mir war jedoch klar, dass es wahrscheinlich nicht nachhaltig funktionieren würde, einfach nur meine Zeit im Internet zu verringern. Also habe ich versucht, zunächst einmal mein Surfverhalten so umzugestalten, dass ich beispielsweise weniger Youtube-Videos schaue und stattdessen etwas sinnvolleres tue. Ich habe deshalb begonnen, Quizze zu spielen, um ein wenig Gehirnjogging zu betreiben und nebenbei auch mein Allgemeinwissen ein wenig auszuweiten.

Auf der Quizseite Jetpunk gibt es etliche davon zu verschiedenen Themen wie Geographie, Popkultur oder Sprachen. Ich bin jedoch auf eines zum Thema Bananen gestoßen, das eine vergleichsweise schwierige Frage beinhaltet, und zwar diese hier:

"A rope over the top of a fence has the same length on each side, and weighs one-third of a pound per foot. On one end hangs a monkey holding a banana, and on the other end a weight equal to the weight of the monkey. The banana weighs 2 ounces per inch. The length of the rope in feet is the same as the age of the monkey, and the weight of the monkey in ounces is as much as the age of the monkey's mother. The combined ages of the monkey and its mother are 30 years. One-half the weight of the monkey, plus the weight of the banana is one-fourth the sum of the weights of the rope and the weight. The monkey's mother is one-half as old as the monkey will be when it is three times as old as its mother was when she was one-half as old as the monkey will be when it is as old as its mother will be when she is four times as old as the monkey was when it was twice as old as its mother was when she was one-third as old as the monkey was when it was as old as its mother was when she was three times as old as the monkey was when it was one-fourth as old as it is now. How long is the banana?"

In die deutsche Sprache übersetzt bedeutet das:

"Ein Seil, das über einen Zaun gespannt ist, ist auf beiden Seiten gleich lang und wiegt ein Drittel Pfund pro Fuß. An einem Ende hängt ein Affe mit einer Banane, am anderen Ende ein Gewicht, das dem Gewicht des Affen entspricht. Die Banane wiegt 2 Unzen pro Zoll. Die Länge des Seils in Fuß entspricht dem Alter des Affen, und das Gewicht des Affen in Unzen entspricht dem Alter seiner Mutter. Zusammen sind Affe und Mutter 30 Jahre alt. Die Hälfte des Gewichts des Affen plus das Gewicht der Banane ergibt ein Viertel der Summe aus Seil und Gewicht. Die Mutter des Affen ist halb so alt wie der Affe sein wird, wenn er dreimal so alt ist wie seine Mutter, als sie halb so alt war wie der Affe, wenn er so alt ist wie seine Mutter, wenn sie viermal so alt ist wie der Affe, als er doppelt so alt war wie seine Mutter, als sie ein Drittel so alt war wie der Affe, als er so alt war wie seine Mutter, als sie dreimal so alt war wie der Affe, als er ein Viertel so alt war wie jetzt. Wie lang ist die Banane?"

Ich gehe davon aus, dass jene Person, die das Quiz erstellt hat, diese Frage als Scherz eingebaut hat. Meines Erachtens grenzt es an ein Wunder, wenn man es schafft, diese Aufgabe im Rahmen der Zeit, die für die Beantwortung zur Verfügung steht, spontan zu lösen. Da nach Ablauf des Timers stets alle richtigen Antworten angezeigt werden, weiß ich, dass die Banane anscheinend 5,75 Zoll lang sein muss. Dieses Maß entspricht umgerechnet ungefähr 15 Zentimetern und somit in etwa der durchschnittlichen Länge der Tropenfrucht. Das ist aber auch schon das einzige realistische an dieser Aufgabe.

Wir sollten den Kontext der Aufgabe nicht hinterfragen. (Bildquelle: Pixlr)

Nun könnte ich mich natürlich darüber freuen, dass ich das Quiz gleich im Anschluss noch einmal gespielt habe und somit auch die fehlende Frage beantworten konnte, um alle Punkte zu bekommen. Allerdings gehöre ich zu den wahrscheinlich sehr wenigen Leuten, die am Ende auch wissen möchten, ob das tatsächlich stimmt und wie man darauf kommt. Wir können den überladenen Angabentext in mehrere Gleichungen übersetzen, also suche ich mir zunächst einmal ein paar passende Variablen aus, um nicht den Überblick zu verlieren:

• length banana     l_b
• length rope         l_r
• weight banana    w_b
• weight monkey  w_m
• weight rope        w_r
• age monkey       m_y
• age mother         m_o
  

Abgesehen davon benötigen wir noch ein paar Umwandlungen für die angloamerikanischen Maße:

• 1 ft (foot ... Fuß) ≙ 12 " (inch ... Zoll)
• 1 lb (pound ... Pfund) ≙ 16 oz (ounces ... Unzen)
  

Wir können dem ersten Satz: "A rope over the top of a fence has the same length on each side, and weighs one-third of a pound per foot." folgende Maßangabe für das Gewicht des Seils entnehmen, wobei es viele verschiedene Möglichkeiten gibt, dieses umzuwandeln: 

w_r = ⅓ lb/ft ≙ ⅓ lb/12" ≙ ¹⁶⁄₃ oz/ft ≙ ¹⁶⁄₃ oz/12" = ⁴⁄₃ oz/3" = 4 oz/9"

Der zweite Satz "On one end hangs a monkey holding a banana, and on the other end a weight equal to the weight of the monkey." verrät uns, dass das Gegengewicht am anderen Ende des Seils einfach gleich schwer ist wie der Affe, wobei die Banane anscheinend gekonnt ignoriert wird. In dem dritten Satz "The banana weighs 2 ounces per inch." steckt wieder eine Maßangabe, wobei wir die Länge der Banane, die wir noch nicht kennen, als Platzhalter verwenden:

w_b = 2 · l_b

Im vierten Satz "The length of the rope in feet is the same as the age of the monkey, and the weight of the monkey in ounces is as much as the age of the monkey's mother." stecken zwei weitere Maßangaben bei denen wir die beiden Altersangaben des Affen und seiner Mutter einsetzen:

l_r = m_y
w_m = m_o

Aufgrund den darauffolgendenen Satzes "The combined ages of the monkey and its mother are 30 years." wissen wir außerdem etwas über die Summe der beiden Altersangaben:

m_y + m_o = 30

Im nächsten Satz "One-half the weight of the monkey, plus the weight of the banana is one-fourth the sum of the weights of the rope and the weight." steckt eine weitere Gleichung, die wir durch ein paar elementare Umformungen auch gleich ein wenig vereinfachen können:

w_m/2 + w_b = (w_r + w_m)/4
w_m/2 + w_b = w_r/4 + w_m/4
w_m/4 + w_b = w_r/4

Zuguterletzt kommt der schwierigste Satz "The monkey's mother is one-half as old as the monkey will be when it is three times as old as its mother was when she was one-half as old as the monkey will be when it is as old as its mother will be when she is four times as old as the monkey was when it was twice as old as its mother was when she was one-third as old as the monkey was when it was as old as its mother was when she was three times as old as the monkey was when it was one-fourth as old as it is now." Zu Beginn steht, dass wir das aktuelle Alter der Mutter m_o durch eine andere Größe ausdrücken.

Um diese Angabe zu entschlüsseln, arbeiten wir von hinten nach vorne. Ganz am Ende steht der Satzteil "...when it was one-fourth as old as it is now." Unsere Ausgangsbasis ist also das aktuelle Alter des Affen m_y und die Angabe weist folgende Struktur auf: m_o = m_y · x. Wir müssen also im Grunde nur herausfinden, aus welchen Faktoren x, wenn auch äußert kompliziert beschrieben, zusammengesetzt ist.

Der erste Faktor ist ein Viertel und im Satzteil davor wird erwähnt, dass die Mutter dreimal so alt war wie diese Altersangabe, weshalb wir außerdem den Faktor drei benötigen. Der Satzteil davor entspricht einfach dem Faktor eins, weil es um das gleiche Alter geht und im nächsten steckt der Faktor ein Drittel. Wenn wir diese Vorgehensweise bis zum Satzanfang durchziehen, kommen wir auf folgende Verkettung für das aktuelle Alter der Mutter:

 m_o = m_y · ¼ · 3 · 1 · ⅓ · 2 · 4 · 1 · ½ · 3 · ½ = 3 · m_y/2

Wenn wir diesen Ausdruck in die Gleichung mit der Summe der beiden Altersangaben einsetzen und diese nach m_y auflösen, erhalten wir das aktuelle Alter des Affen m_y = 12. Dieses Ergebnis setzen wir erneut in dieselbe Gleichung ein, um auch das Alter der Mutter m_o = 18 zu ermitteln. Dadurch wissen wir außerdem, dass der Affe achtzehn Unzen wiegt und das Seil zwölf Fuß lang ist.

Wir können also im nächsten Schritt das Gewicht des Seils berechnen und kommen auf vier Pfund bzw. vierundsechzig Unzen für das gesamte Seil. Diese Werte können wir wiederum in die folgende Gleichung einsetzen, um das Gewicht der Banane zu berechnen:

 w_m/4 + w_b = w_r/4
18/4 + w_b = 64/4
4,5 + w_b = 16
w_b = 11,5

Um zum Schluss noch die eigentliche Frage: "How long is the banana?" zu beantworten, formen wir die Maßangabe mit dem Gewicht der Banane um und setzen unser Ergebnis ein:

l_b = 11,5 : 2 = 5,75

Diese Aufgabe ist eine relativ große Bestellung und die Verschachtelungen im letzten Satz haben es in sich, aber falls wir sorgfältig arbeiten, kommen wir tatsächlich auf die Musterlösung.

Johannes C. Huber (fragt sich, warum das Gewicht der Banane im zweiten Satz vernachlässigt wird)

Mathemagische Kartentricks Teil 3

Thema: Kartentricks und Stundeneinstiege

Im Rahmen meiner Masterarbeit beschäftige ich mich mit dem Einsatz mathemagischer Kartentricks im Schulunterricht. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

In diesem Beitrag möchte ich ein paar vergleichsweise einfache Tricks vorstellen, die schnell durchgeführt werden können und unter Umständen auch ein wenig gemein sind, weil die Auflösung z. B. darauf aufbaut, dass unser Publikum einen Denkfehler macht oder die Erklärung zu Beginn falsch versteht.

Aus fünf mach vier

Für den ersten Trick benötigen wir nur die vier Fünfer eines Standard-Decks. Das Ziel ist dabei, die Karten so aufzulegen, dass auf jeder Karte nur noch vier Symbole zu sehen sind. Zu Beginn versuchen die meisten Leute zunächst einmal, die Karten so aufzufächern, dass jeweils eines der Symbole für die Spielfarbe abgedeckt ist. Das funktioniert allerdings für die oberste Karte nicht. Für die Lösung des Problems müssen wir Teile der Karten gewissermaßen im Kreis übereinander legen:

 
Des Rätsels Lösung. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Das Gebilde ist sogar rotationssymmetrisch, falls wir vier Fünfer der gleichen Spielfarbe verwenden:

Eine punktsymmetrische Lösung (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Die goldene Mitte

Für den nächsten Trick genügen sogar drei Karten, die wir nebeneinander auflegen. Das Ziel ist dabei, die mittlere Karte zu entfernen, ohne sie zu berühren. Der Teufel steckt im Detail, da wir einfach die linke oder rechte Karte entfernen können, sodass es schlichtweg keine mittlere Karte mehr gibt. Das erinnert an die vermeintliche Unklarheit, welche Schiene bei einem Backofen mit vier Schienen die mittlere sein soll.

Wie man es dreht und wendet

Beim letzten Trick verwenden wir das gesamte Deck, um die Spannung zu steigern. Wir lassen jemanden aus dem Publikum eine Karte ziehen, die uns nicht gezeigt und danach wieder im Deck platziert wird. Danach kann unser Gegenüber das Deck beliebig oft mischen. Anschließend gehen wir das Kartendeck der Reihe nach durch und betrachten die Karten, bevor wir sie wieder zu einem Stapel zusammenschieben. Nun verkünden wir, dass wir mit unserem nächsten Handgriff die gesuchte Karte umdrehen werden und fragen, ob jemand dagegen wetten möchte. Für uns spielt es tatsächlich keine Rolle, um welche Karte es sich handelt. Wichtig ist nur, dass unser Gegenüber auf die Wette eingeht. In der Regel wird unsere Ankündigung nämlich so interpretiert, dass wir einzig und allein die gesuchte Karte umdrehen. Das haben wir allerdings nicht behauptet, weshalb wir einfach den ganzen Stapel umdrehen und die Wette gewinnen.

Johannes C. Huber (streut derartige Tricks gerne als Denksport zu Beginn einer Unterrichtsstunde ein)

Mathemagische Kartentricks Teil 2

Thema: Kartentricks und Zahlensysteme

Im Rahmen meiner Masterarbeit beschäftige ich mich mit dem Einsatz mathemagischer Kartentricks im Schulunterricht. Auf meinem Blog stelle ich diese nun in unregelmäßigen Abständen vor.

In diesem Beitrag möchte ich einen Trick namens "The name of the card is..." vorstellen, den Michael E. Matthews in einem Artikel erläutert. Obwohl ich die gewissermaßen poetische Herangehensweise bei der Gestaltung des Tricks bewundere, hat mich bei der englischsprachigen Originalversion gestört, dass einer der Buchstaben nur mithilfe eines Tricks zum Vorschein kommt, weil statt einem zweiten T bei "TEN OF HEARTS" ein Ī verwendet wird, indem man einen Strich über das I schreibt. Ich habe mir deshalb eine deutschsprachige Version überlegt, bei der das nicht nötig ist.

Bevor der Trick vorgeführt wird, muss das Karo Ass an der achtzehnten Position des Kartenstapels liegen. Nun erzählen wir dem Publikum, dass wir vorhersagen können, welche Karte später aus dem Deck gezogen wird. Diese Vorhersage schreiben wir auf ein Stück Papier, das wir anschließend in einen Umschlag oder in eine Box geben. Als Nächstes soll sich jemand aus dem Publikum eine dreistellige Zahl mit drei unterschiedlichen Ziffern aussuchen. Danach sollen die größt- und die kleinstmögliche Zahl mit den drei Ziffern der Zahl gebildet werden. Anschließend wird die kleinere Zahl von der größeren subtrahiert und zum Schluss wird die Quersumme vom Ergebnis gebildet.

Wir schauen uns das am Beispiel der Zahl 231 an. Die größtmögliche Zahl, die wir mit den drei Ziffern bilden können, ist 321 und die kleinstmögliche 123. Wir rechnen also 321 - 123 und erhalten die Differenz 198. Die Ziffernsumme des Ergebnisses ist 1 + 9 + 8 = 18. Nun zieht die Person aus dem Publikum also die Karte an dieser Position aus dem Deck. Dabei muss darauf geachtet werden, dass zunächst nur das Publikum die Karte sehen kann.

Um zu überprüfen, ob wir richtig getippt haben, nimmt die Person anschließend die Vorhersage aus dem Umschlag und liest sie laut vor. Unglücklicherweise klingt diese recht kryptisch: DIESE KARTE IST OFTMALS EINS. Wir helfen ein wenig nach, indem wir ein paar der Buchstaben durchstreichen:  DIESE KARTE IST OFTMALS EINS. Bei der gezogenen Karte handelt es sich also um das Karo Ass.

 
 Diese Karte ist oftmals eins. (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Der Grund dafür, dass der Trick funktioniert, hängt mit unserem Zahlensystem zusammen. Wir können jede Dezimalzahl a_n…a₂a₁a₀ in erweiterter Notation als Polynomfunktion aufschreiben können:

10ⁿa_n + … + 10²a₂ + 10¹a₁ + 10⁰a₀ = 10ⁿa_n + … + 100a₂ + 10a₁ + a₀

Wir können also eine beliebige dreistellige Zahl a₂a₁a₀ stattdessen als 100a₂ + 10a₁ + a₀ schreiben. Wenn wir nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon ausgehen, dass diese bereits die größtmögliche ist, die wir mit den drei verschiedenen Ziffern a₂, a₁ und a₀ bilden können, dann ist 100a₀ + 10a₁ + a₂ dementsprechend die kleinstmögliche. Wir bilden nun die Differenz der beiden Zahlen und erhalten als Ergebnis 100a₂ + 10a₁ + a₀ - (100a₀ + 10a₁ + a₂) = 100a₂ + 10a₁ + a₀ - 100a₀ - 10a₁ - a₂ = 99(a₂ - a₀). Die einzigen möglichen Werte für (a₂ - a₀) sind die Zahlen von zwei bis neun, d. h. die einzigen möglichen Ergebnisse sind 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 und 891, weshalb die Ziffernsumme in jedem Fall gleich 18 ist und dadurch immer die Karte an der entsprechenden Position gezogen wird.

Im Zuge einer Erprobung in der Schule kam auch die Frage auf, ob man nicht einfach einen Satz formulieren kann, bei dem es gar keine Rolle spielt, um welche Karte es sich handelt, damit man sich die Vorbereitung sparen kann. Ich habe mich deshalb auf die Suche nach einem solchen Satz gemacht und mir dabei ein paar durchaus ambitionierte Ziele gesetzt:

1. Der Satz klingt zumindest halbwegs natürlich, ist grammatikalisch richtig und möglichst kurz.
   
2. Jeder benötigte Buchstabe kommt tatsächlich im Satz vor, d. h. wir müssen nicht schummeln, indem wir beispielsweise zusätzliche Striche einfügen oder Zeichen miteinander kombinieren.
3. Jede Karte des Decks ist unverändert im Satz versteckt, d. h. die jeweils benötigten Buchstaben können in der richtigen Reihenfolge gefunden werden.

Als Ausgangsbasis für meine weitere Vorgehensweise schauen wir uns zunächst einen vergleichsweise unspannenden Satz an, in dem alle Spielfarben explizit genannt werden: "Diese Karte ist entweder Pik, Herz, Kreuz oder Karo." Die Kartenfarbe Karo ist hier am einfachsten zu verstecken, weil im Wort "Karte" bereits drei der vier dafür nötigen Buchstaben vorkommen. Wir können den vierten und letzten Buchstaben ergänzen, indem wir statt "Karo" ein anderes Wort hinzufügen: "Diese KARte ist Offensichtlich entweder Pik, Herz oder Kreuz."

Im nächsten Schritt verstecken wir die Farbe Herz: "Diese Karte HiER ist ganZ offensichtlich entweder Pik oder Kreuz.", danach die Farbe Kreuz: "Diese KaRtE hier Unten ist ganZ offensichtlich Pik." und schließlich noch die Farbe Pik, indem wir den Satz ein wenig poetischer formulieren: "Diese PIttoresKe Karte hier unten ist ganz offensichtlich...". Es ist also im Grunde gar nicht so schwierig, die Begriffe in einem Satz zu verstecken, aber wenn das für alle siebzehn Begriffe* funktionieren soll, gestaltet sich die Sache schon ein bisschen schwieriger.

Es hat lange gedauert, aber nach etlichen Umformulierungen bin ich schließlich fündig geworden und ich denke, das Ergebnis kann sich sehen lassen. Der folgende Satz enthält zunächst einmal alle nötigen Buchstaben für die vier Spielfarben und ist sogar noch ein wenig kürzer als der vorherige: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos." Wenn wir diesen anschließend mit einem Nebensatz ergänzen, können wir tatsächlich alle 52 Karten des Decks einbauen:

Ass: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem ZAhlenwert entSprechen und oftmalS dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Zwei: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem ZahlenWErt entsprechen und oftmals dürfte sIe auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Drei: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals DüRfte sie auch EIn farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Vier: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges BildmotiV zIERen."

Fünf: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oFtmals dÜrfte sie auch eiN Farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Sechs: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entSprECHen und oftmalS dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Sieben: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn SIE könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zierEN."

Acht: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie AuCH ein farbenfreudiges BildmoTiv zieren."

Neun: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert eNtsprEchen UNd oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Zehn: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprEcHeN und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudiges Bildmotiv zieren."

Bube: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farBenfreUdiges Bildmotiv ziEren."

Dame: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie könnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals Dürfte sie Auch ein farbenfreudiges BildMotiv ziEren."

König: "Penible Kartensuche ist hier zwecklos, denn sie KÖNnte einem Zahlenwert entsprechen und oftmals dürfte sie auch ein farbenfreudIGes Bildmotiv zieren."

Ich gehe einerseits davon aus, dass der Satz unter Umständen auch noch weiter gekürzt werden kann, und andererseits, dass es wahrscheinlich noch viele weitere, möglicherweise natürlicher klingende und auch kürzere, Sätze mit den nötigen Buchstaben gibt. Selbstverständlich macht ein solcher Satz den eigentlich spannenden, weil mathematischen Teil des Tricks obsolet, aber dafür kann er auch in Verbindung mit anderen Vorhersagetricks eingesetzt werden.

Johannes C. Huber (schätzt vor allem die mathematische Funktionsweise des Tricks)

* Wir benötigen zuerst die vier Spielfarben Pik, Herz, Kreuz und Karo, gefolgt von den dreizehn Rängen Ass, Zwei, Drei, Vier, Fünf, Sechs, Sieben, Acht, Neun, Zehn, Bube, Dame und König in jeweils beliebiger Reihenfolge.

Das kleine sechs mal sieben

Thema: Spielkarten und Multiplikation

Viele Lehrpersonen beklagen, dass die Kinder in der Volksschule die Malreihen nicht mehr ausreichend üben. Uns fällt beispielsweise auf, dass manche von ihnen bei Schularbeiten immer noch mit den Fingern zählen. Leider kostet sie das in der Regel unverhältnismäßig viel Zeit, die ihnen dann bei der Bearbeitung anderer Aufgaben fehlt. Es ist also wichtig, dass wir einfache Multiplikationen ohne langes Nachdenken im Kopf lösen können, damit ausreichend Rechenleistung für schwierigere Probleme übrig bleibt.

Der griechische Mathematiker Euklid soll einst gesagt haben: "Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik." und wollte damit zum Ausdruck bringen, dass wir gewisse Fähigkeiten nur durch ausreichend Übung erlangen können. Das gilt insbesondere für die Grundlagen, die wir in der Volksschule lernen und auf denen alles weitere fußt. Deshalb werden auch heute noch trotz Taschenrechnern, Tablets und seit geraumer Zeit auch KI die Malreihen auswendig gelernt.

Manchen Kindern macht das durchaus Spaß, aber andere empfinden es als Qual, weil sie sich so viele Zahlen merken müssen. Doch wie viele verschiedene Rechnungen sind eigentlich nötig, um das kleine Einmaleins zu beherrschen? Wie wir gleich sehen werden, geht die Antwort auf diese vermeintlich einfache Frage über den Stoff der Volksschule hinaus.

Eine Kollegin wollte zu Beginn des Schuljahres herausfinden, wie gut die Kinder aus ihrer ersten Klasse mit dem Multiplizieren zurechtkommen. Dafür hat sie entsprechende Rechnungen auf kleine Karteikarten geschrieben und jedem Kind dieselben gegeben, indem sie diese nacheinander aufgedeckt hat. Ich fand die Idee toll und wollte mir selbst solche Karten basteln. Zufälligerweise habe ich sogar ein Deck mit leeren Spielkarten zum selbst Gestalten herumliegen, das sich perfekt dafür eignet:

Spielkartenrohlinge (Bildquelle: Johannes C. Huber)

Der Vollständigkeit halber wollte ich ein Deck haben, in dem alle Multiplikationen des kleinen Einmaleins vorkommen. Dieses besteht aus insgesamt 10 · 10 = 100 Rechnungen, weil jede Zahl von eins bis zehn für ihre jeweilige Malreihe nochmal mit eins bis zehn multipliziert wird:

Das Problem ist allerdings, dass mein Deck nur aus 45 statt der üblichen 52 Karten besteht, d. h. selbst dann, wenn ich die Vorder- und Rückseiten beschrifte, wären es immer noch 10 Multiplikationen zu wenig. Ich muss mir also eine andere Möglichkeit überlegen, wie sich das ausgehen könnte. Glücklicherweise gibt es eine nützliche Eigenschaft der Multiplikation, die wir bereits in der fünften Schulstufe genauer kennenlernen: Das sogenannte Kommutativ- oder auch Vertauschungsgesetz. Da es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge wir die Faktoren aufschreiben, sind es in Wirklichkeit wesentlich weniger voneinander unterscheidbare Multiplikationen.

Wenn wir mit der Einserreihe beginnen, sind es zunächst einmal zehn unterschiedliche Rechnungen, aber eine Rechnung der Zweierreihe, und zwar 1 · 2, kommt bereits als 2 · 1 in der Einserreihe vor und kann deshalb weggelassen werden. Die beiden Rechnungen 1 · 3 und 2 · 3 der Dreierreihe kommen als 3 · 1 und 3 · 2 in der Einser- bzw. Zweierreihe vor und so weiter. Für die Berechnung der entsprechenden Anzahl bietet sich die Gaußsche Summenformel an: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 5 · 11 = 55:

Kommutativität reduziert wir die Menge der Rechnungen im kleinen Einmaleins auf fast die Hälfte...

Wir haben aber noch nicht das Ende der Fahnenstange erreicht. Wenn wir uns stattdessen die Ergebnisse anschauen, fällt uns auf, dass viele Multiplikationen des kleinen Einmaleins auf dasselbe hinauslaufen:

...und Primfaktoren reduzieren sie noch weiter auf die Antwort nach dem Leben, dem Universum und allem.

In der sechsten Schulstufe lernen wir, dass die meisten Zahlen aus Primfaktoren zusammengesetzt sind. Falls wir uns also nur auf einzigartige Ergebnisse beschränken, bleiben noch 42 voneinander unterscheidbare Multiplikationen, die wir mithilfe der Potenzschreibweise, die wir in der siebten Schulstufe kennenlernen, recht kompakt aufschreiben können:

Die wirklichen Multiplikationen des kleinen Einmaleins.

Ich habe mich im Endeffekt dafür entschieden, die Vorder- und Rückseiten der Karten mit den beiden Varianten der jeweiligen Multiplikation zu beschriften und dabei den überwiegenden Teil der Einserreihe wegzulassen, weil sie keine große Herausforderung darstellt. Da außerdem die Reihenfolge bei den zehn Quadratzahlen ohnehin keinen Unterschied macht, habe ich sie jeweils in Zweierpaaren auf fünf Karten untergebracht, wodurch mir sogar ein paar Karten als Ersatz übrig geblieben sind.

Johannes C. Huber (freut sich darauf, die Karten in der Praxis zu testen)